גרסה מ־15:30, 21 בפברואר 2011

תוכן עניינים

1 אינטגרציה

אינטגרציה

הגדרה שגוייה: אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. עם זאת, האינטגרל נותן אינדיקציה טובה לשטח זה.

דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף

נתון הגרף (1). נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).

ברור שסכום שטחי המלבנים גדול משטח הגרף. נחלק את הקטע $[0,1]$ :

0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1

(באופן כללי $x_k=k/n$ )

מעל כל תת קטע קטן $[x_{k-1},x_k]$ נבנה "מלבן חוסם" שגובהו $\left({k\over n}\right)^2=x_k^2$ . ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם $\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$

כמו כן, מעל כל קטע קטן $[x_{k-1},x_k]$ נבנה "מלבן חסום" שגובהו $\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2$ ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום $\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש- $\underline S\le A\le\overline S$ , ז"א $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ . הדבר נכון לכל $n\in\mathbb N$ ולכן נוכל להשאיף את $n\to\infty$ ולקבל $\frac13\le A\le\frac13$ , לכן $A=\frac13$ . $\blacksquare$

הגדרה: תהי $f(x)$ מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה $F(x)$ קדומה ל-f ב-I אם $\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)$ .

דוגמה: אם $f(x)=x^2$ אז $F(x)=\frac{x^3}3$ .

משפט 0

אם $F(x)$ ו- $G(x)$ קדומות ל- $f(x)$ בקטע I אז קיים קבוע c כך ש- $F(x)=G(x)+c$

הוכחה

נגדיר $H(x)=F(x)-G(x)$ ולכן $\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0$ . לפי תוצאה ממשפט לגרנג' $F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c$ . $\blacksquare$

הגדרה: תהי $f(x)\ge0$ רציפה בקטע $[a,b]$ . נסמן ב- $\int\limits_a^b f(x)dx$ את השטח שמתחת לגרף.

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)

תהי $f(x)\ge0$ מוגדרת ורציפה ב- $[a,b]$ .

לכל $x\in[a,b]$ נגדיר $A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt$ אזי $\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)$ .
אם $F(x)$ קדומה ל- $f(x)$ ב- $[a,b]$ אז $\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)$ .

הוכחה

גרף (3). רואים ש- $A(a)=0$ וננסה להוכיח ש- $A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt$ . יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה $A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}$ . בציור: $A(x+\Delta x)-A(x)$ = שטח הארובה, $\Delta x$ = בסיס הארובה, לכן $\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}$ = הגובה הממוצע של הארובה. לכן $A'(x)$ = הגובה הממוצע כאשר $\Delta x\to0$ = $f(x)$ . $\blacksquare$
נתונה פונקציה קדומה $F(x)$ . מחלק 1 ידוע גם ש- $A(x)$ פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש- $F(x)=A(x)+c$ . לכן $F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx$ . $\blacksquare$

האינטגרל לפי דרבו

הקדמה - הגדרות

תהי $f(x)$ מוגדרת וחסומה ע"י $m:=\inf f(x)$ ו- $M:=\sup f(x)$ בקטע $[a,b]$ . נגדיר את התנודה של f ע"י $\Omega=M-m$ . כעת נגדיר חלוקה P של $[a,b]$ :

a=x_0<x_1<\dots<x_n=b

עוד נגדיר לכל $k$ את אורך תת קטע מספר k להיות $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$ ואת הפרמטר של P להיות $\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k$ .

לכל k כך ש- $1\le k\le n$ נגדיר $M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}$ וכן $m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}$ .

גרף (4).

בהתאם לכך נגדיר:

שטח חוסם - הסכום העליון: $\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k$
שטח חסום - הסכום התחתון: $\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k$

משפט 1

בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים $m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)$ .

הוכחה

$\sum_{k=1}^n\Delta x_k$ = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a	$\sum_{k=1}^n m\Delta x_k$	$=$	$m(b-a)$
לכל k מתקיים $m\le m_k$ .	$\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P)$	$\le$
	$\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\overline S(f,P)$	$\le$
	$\sum_{k=1}^n M\Delta x_k$	$\le$
	$M(b-a)$	$=$

$\blacksquare$

נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים $\overline S(f,P),\underline S(f,P)$ חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).

לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" $\overline{\int}_a^b f(x)dx:=\inf_P \overline S(f,P)$ ו"האינטגרל התחתון" $\underline\int_a^b f(x)dx:=\sup_P \underline S(f,P)$ .

הגדרת האינטגרל לפי דרבו

תהי $f(x)$ מוגדרת וחסומה ב- $[a,b]$ . נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב- $[a,b]$ אם $\underline\int_a^b f(x)dx=\overline{\int}_a^b f(x)dx$ ואם הם שווים אז נגדיר $\int\limits_a^b f(x)dx$ להיות הערך המשותף של $\underline\int f$ ו- $\overline{\int} f$ .

דוגמה

בקטע $[a,b]$ כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה $D(x)=\begin{cases}q&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ . נקח חלוקה כלשהי ל- $[a,b]$ : $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ .

לכל k מתקיים $M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1$ וכן $m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0$ . לכן $\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a$ ואילו $\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0$ .

מכאן $\underline\int_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0$ ו- $\overline{\int}_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)=b-a$ . הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. $\blacksquare$

הגדרה: תהי P חלוקה של קטע $[a,b]$ . חלוקה Q של $[a,b]$ נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.

משפט 2

תהי $f(x)$ מוגדרת וחסומה ב- $[a,b]$ . תהי P חלוקה של $[a,b]$ ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז

$0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega$

$0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega$

(נזכיר ש- $\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k$ ו- $\Omega=\sup_{x\in[a,b]} f(x)-\inf_{x\in[a,b]} f(x)$ )

כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ- $r\lambda(P)\Omega$ .

הוכחה

מקרה ראשון: $r=1$ . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת $x_i'$ כך ש- $x_{i-1}<x_i'<x_i$ עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר $M_i':=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}$ ו- $M_i'':=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}$ כעת בכל תת קטע $[x_{k-1},x_k]$ מתקיים $k\not=i$ - לא שינינו כלום. לכן $\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=\underbrace{M_i\Delta x_i}_{(1)}-\underbrace{(M_i'(x_i'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_i'))}_{(2)}$

תרומת קטע i ל- $\overline S(f,P)$
תרומת קטע i ל- $\overline S(f,Q)$

לפי עצם ההגדרות

M_i\ge M_i',M_i''

ולפיכך

\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\bigg(\Delta x_i-\Big((x_i'-x_{i-1})+(x_i-x_i')\Big)\bigg)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11"

גרסה מ־15:30, 21 בפברואר 2011

תוכן עניינים

אינטגרציה

דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף

משפט 0

הוכחה

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)

הוכחה

האינטגרל לפי דרבו

הקדמה - הגדרות

משפט 1

הוכחה

הגדרת האינטגרל לפי דרבו

דוגמה

משפט 2

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-== אינטגרציה ==
+=אינטגרציה=
-'''הגדרה שגוייה:''' אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות).
+'''הגדרה שגוייה:''' אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. עם זאת, האינטגרל נותן אינדיקציה טובה לשטח זה.
-דוגמת חישוב (ידני) של השטח:
+====דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף====
-(1)
+נתון הגרף (1). נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).
-ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר).
+ברור שסכום שטחי המלבנים גדול משטח הגרף. נחלק את הקטע <math>[0,1]</math>:
+{{left|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}}
+(באופן כללי <math>x_k=k/n</math>)
-נחלק את הקטע <math>[0,1]</math>:
+מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם <math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>
-<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>
+כמו כן, מעל כל קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math> ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום <math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>
-<math>x_k=k/n</math>
+כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל
+<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}}
-מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math>
-נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם <math>
+'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.
+''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>.
+===משפט 0===
+אם <math>F(x)</math> ו-<math>G(x)</math> קדומות ל-<math>f(x)</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>
+====הוכחה====
+נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגרנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}
-line S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>
-כמו כן, מעל כל קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math> ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום <math>\underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>
+'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> את השטח שמתחת לגרף.
-כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>.
+===המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)===
+תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.
+# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>.
+# אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)</math>.
-(2)
+====הוכחה====
+<ol>
+<li>גרף (3). רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt</math>.
-ז"א <math>\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>.
+יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בציור: <math>A(x+\Delta x)-A(x)</math> = שטח הארובה, <math>\Delta x</math> = בסיס הארובה, לכן <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובה.
-הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math>. לכן נוכל להשאיף <math>n\to\infty</math> לקבל
-<math>\frac13\le A\le\frac13</math> ולכן <math>A=\frac13</math>
-=== בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך ===
+לכן <math>A'(x)</math> = הגובה הממוצע כאשר <math>\Delta x\to0</math> =<math>f(x)</math>. {{משל}}
+</li>
+<li>נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math>. מחלק 1 ידוע גם ש-<math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>. לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx</math>. {{משל}}
+</li>
+</ol>
-'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.
+==האינטגרל לפי דרבו==
+===הקדמה - הגדרות===
+תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f(x)</math> ו- <math>M:=\sup f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>:
+{{left|<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}}
+עוד נגדיר לכל <math>k</math> את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>.
-''דוגמה:''
+לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר
-...
+<math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>.
-'''משפט 0:''' אם <math>F(x)</math> ו-<math>G(x)</math> קדומות ל-<math>f(x)</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>
+גרף (4).
-'''הוכחה:''' נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> לכן <math>H'(x)=F'(x)-G'(x)</math>
+בהתאם לכך נגדיר:
+* שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>
+* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>
-....
+===משפט 1===
+בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.
-לפי תוצאה ממשפט לגראנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>
+====הוכחה====
+{|
+{{=|l=m(b-a)
+   |r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k
+   |c=<math>\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a
+}}
+{{=|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P)
+   |o=\le
+   |c=לכל k מתקיים <math>m\le m_k</math>.
+}}
+{{=|r=\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\overline S(f,P)
+   |o=\le
+}}
+{{=|r=\sum_{k=1}^n M\Delta x_k
+   |o=\le
+}}
+{{=|r=M(b-a)
+}}
+|}
 {{משל}}
-----
+נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
-'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>.
-...
-המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>f(x)=A'(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>.
-) אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)</math>.
-----
-'''הוכחה:''' (א) (3)
-רואים <math>A(a)=0</math>
-המטרה <math>A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt</math>.
-<math>A(x)</math> עולה
-כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>
-בציור <math>A(x+\Delta x)-A(x)</math> = השטח הארובה
-<math>\Delta x</math> = בסיס הארובה
-לכן <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובה.
-כאשר <math>\Delta x\to0</math> זה שואף ל-<math>f(x)</math> שהיא <math>A(x)</math>.
-(ב) נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math> אבל מחלק א ידוע שגם <math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>
-לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}_{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx</math>
-=== הגישה של דרבו ===
-תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה <math>m\le F(x)\le M</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>
-<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>
-עוד נגדיר לכל <math>k</math> אורך תת קטע מספר k = <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math>
-והפרמטר של P, <math>\lambda(P)</math> מוגדר ע"י <math>\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math>
-לכל k, <math>1\le k\le n</math> נגדיר
-<math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>.
-(4)
-בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם"
-הסכום העליון
-<math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>
-ושטח חסום תחתון
-<math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>
-<math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\Delta x_k</math>
-משפט 1: עבור כל חלוקה P
-<math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>
-הוכחה: <math>m(b-a)=m\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> (כי <math>\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a)
-<math>=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k\le \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> (כי לכל k מתקיים <math>m\le m_k</math>)
-<math>=\underline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\overline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M\Delta x_k=M\sum_{k=1}^n \Delta x_k=M(b-a)</math>
-לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
-לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)</math>  ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)</math>.
+לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx:=\inf_P \overline S(f,P)</math>  ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f(x)dx:=\sup_P \underline S(f,P)</math>.
-=== הגדרת האינטגרל לפי דרבו ===
+===הגדרת האינטגרל לפי דרבו===
-תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math> נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\overline\int\limits_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline\int f</math>.
+תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\overline{\int}_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>.
-----
-דוגמהף בקטע <math>[a,b]</math> כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>f(x)=\begin{cases}q\quad x\in\mathbb Q\\0\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.
-נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>
-<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> לכל k
-<math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>
+====דוגמה====
+בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}q&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.
+נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.
-לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 1\Delta x_k=b-a</math>
+לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>.
-ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0</math>.
+מכאן <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. {{משל}}
-מכאן <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.
-הגדרה: תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
-משפט 2: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
+'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
+===משפט 2===
+תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
+{{left|
 <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math>
-<math>0\le\underline S(f,P)-\underline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math>
-(כאשר <math>\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math> ו-<math>\Omega=\sup\{f(x)\}-\inf\{f(x)\}</math>)
+<math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>
+}}
+(נזכיר ש-<math>\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math> ו-<math>\Omega=\sup_{x\in[a,b]} f(x)-\inf_{x\in[a,b]} f(x)</math>)
-ז"א הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>\lambda(P)</math>
+כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>r\lambda(P)\Omega</math>.
-הוכחה: מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math>. כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math>. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i'=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i\}</math> ו-<math>M_i''=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>
+====הוכחה====
-כעת בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> מתקיים <math>k\not=i</math>. לא שינינו כלום.
+מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i':=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i'':=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>
-לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=\underbrace{M_Delta x_i}_{(1)}-\underbrace{(M_i'(x_i'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_i'))}_{(2)}</math>
+כעת בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> מתקיים <math>k\not=i</math> - לא שינינו כלום. לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=\underbrace{M_i\Delta x_i}_{(1)}-\underbrace{(M_i'(x_i'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_i'))}_{(2)}</math>
 # תרומת קטע i ל-<math>\overline S(f,P)</math>
 # תרומת קטע i ל-<math>\overline S(f,Q)</math>
-לפי עצם ההגדרות <math>M_i\ge M_i'</math> ו-<math>M_i\ge M_i''</math>
+לפי עצם ההגדרות <math>M_i\ge M_i',M_i''</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\bigg(\Delta x_i-\Big((x_i'-x_{i-1})+(x_i-x_i')\Big)\bigg)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}}
-לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\ge M_i\Delta x_i-(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i'))=M_i(\Delta x_i-((x_i'-x_{i-1})+(x_i-x_i')))=M_i(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1}))=0</math>