גרסה מ־11:44, 2 במרץ 2011

נושא ראשון:
אינטגרציה

הערה: האינטגרל הוא לא שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.

תוכן עניינים

1 דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף
2 משפט 0
- 2.1 הוכחה
3 המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)
- 3.1 הוכחה
4 האינטגרל לפי דרבו

דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף

נתון הגרף (1) של y=x². נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).

ברור שסכום שטחי המלבנים גדול משטח הגרף. נחלק את הקטע $[0,1]$ :

0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1

(באופן כללי $x_k=k/n$ )

מעל כל תת קטע קטן $[x_{k-1},x_k]$ נבנה "מלבן חוסם" שגובהו $\left({k\over n}\right)^2=x_k^2$ . ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם $\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$

כמו כן, מעל כל קטע קטן $[x_{k-1},x_k]$ נבנה "מלבן חסום" שגובהו $\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2$ ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום $\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש- $\underline S\le A\le\overline S$ , ז"א $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ . הדבר נכון לכל $n\in\mathbb N$ ולכן נוכל להשאיף את $n\to\infty$ ולקבל $\frac13\le A\le\frac13$ , לכן $A=\frac13$ . $\blacksquare$

הגדרה: תהי $f(x)$ מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה $F(x)$ קדומה ל-f ב-I אם $\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)$ .

דוגמה: אם $f(x)=x^2$ אז $F(x)=\frac{x^3}3$ .

משפט 0

אם $F(x)$ ו- $G(x)$ קדומות ל- $f(x)$ בקטע I אז קיים קבוע c כך ש- $F(x)=G(x)+c$

הוכחה

נגדיר $H(x)=F(x)-G(x)$ ולכן $\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0$ . לפי תוצאה ממשפט לגרנג' $F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c$ . $\blacksquare$

הגדרה: תהי $f(x)\ge0$ רציפה בקטע $[a,b]$ . נסמן ב- $\int\limits_a^b f(x)dx$ את השטח שמתחת לגרף.

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)

תהי $f(x)\ge0$ מוגדרת ורציפה ב- $[a,b]$ .

לכל $x\in[a,b]$ נגדיר $A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt$ אזי $\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)$ .
אם $F(x)$ קדומה ל- $f(x)$ ב- $[a,b]$ אז $\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)$ .

הוכחה

גרף (3). רואים ש- $A(a)=0$ וננסה להוכיח ש- $A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt$ . יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה $A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}$ . בציור: $A(x+\Delta x)-A(x)$ = שטח הארובה, $\Delta x$ = בסיס הארובה, לכן $\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}$ = הגובה הממוצע של הארובה. לכן $A'(x)$ = הגובה הממוצע כאשר $\Delta x\to0$ = $f(x)$ . $\blacksquare$
נתונה פונקציה קדומה $F(x)$ . מחלק 1 ידוע גם ש- $A(x)$ פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש- $F(x)=A(x)+c$ . לכן $F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx$ . $\blacksquare$

האינטגרל לפי דרבו

הקדמה - הגדרות

תהי $f(x)$ מוגדרת וחסומה ע"י $m:=\inf f(x)$ ו- $M:=\sup f(x)$ בקטע $[a,b]$ . נגדיר את התנודה של f ע"י $\Omega=M-m$ . כעת נגדיר חלוקה P של $[a,b]$ :

a=x_0<x_1<\dots<x_n=b

עוד נגדיר לכל $k$ את אורך תת קטע מספר k להיות $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$ ואת הפרמטר של P להיות $\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k$ .

לכל k כך ש- $1\le k\le n$ נגדיר $M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}$ וכן $m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}$ .

גרף (4).

בהתאם לכך נגדיר:

שטח חוסם - הסכום העליון: $\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k$
שטח חסום - הסכום התחתון: $\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k$

משפט 1

בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים $m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)$ .

הוכחה

$\sum_{k=1}^n\Delta x_k$ = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a	$\sum_{k=1}^n m\Delta x_k$	$=$	$m(b-a)$
לכל k מתקיים $m\le m_k$ .	$\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P)$	$\le$
	$\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\overline S(f,P)$	$\le$
	$\sum_{k=1}^n M\Delta x_k$	$\le$
	$M(b-a)$	$=$

$\blacksquare$

נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים $\overline S(f,P),\underline S(f,P)$ חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).

לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" $\overline{\int}_a^b f(x)dx:=\inf_P \overline S(f,P)$ ו"האינטגרל התחתון" $\underline\int_a^b f(x)dx:=\sup_P \underline S(f,P)$ .

הגדרת האינטגרל לפי דרבו

תהי $f(x)$ מוגדרת וחסומה ב- $[a,b]$ . נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב- $[a,b]$ אם $\underline\int_a^b f(x)dx=\overline{\int}_a^b f(x)dx$ ואם הם שווים אז נגדיר $\int\limits_a^b f(x)dx$ להיות הערך המשותף של $\underline\int f$ ו- $\overline{\int} f$ .

דוגמה

בקטע $[a,b]$ כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה $D(x)=\begin{cases}q&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ . נקח חלוקה כלשהי ל- $[a,b]$ : $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ .

לכל k מתקיים $M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1$ וכן $m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0$ . לכן $\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a$ ואילו $\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0$ .

מכאן $\underline\int_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0$ ו- $\overline{\int}_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)=b-a$ . הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. $\blacksquare$

הגדרה: תהי P חלוקה של קטע $[a,b]$ . חלוקה Q של $[a,b]$ נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.

משפט 2

תהי $f(x)$ מוגדרת וחסומה ב- $[a,b]$ . תהי P חלוקה של $[a,b]$ ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז

$0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega$

$0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega$

(נזכיר ש- $\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k$ ו- $\Omega=\sup_{x\in[a,b]} f(x)-\inf_{x\in[a,b]} f(x)$ )

כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ- $r\lambda(P)\Omega$ .

הוכחה

מקרה ראשון: $r=1$ . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת $x_i'$ כך ש- $x_{i-1}<x_i'<x_i$ עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר $M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}$ ו- $M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}$ . כמו כן, לא שינינו כל תת קטע $[x_{k-1},x_k]$ עבור $k\not=i$ כלשהו. לכן $\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)$

לפי ההגדרות

M_i\ge M_i^+,M_i^-

ולפיכך

\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}

את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:

כמו כן,

\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\le M_i(x_i-x_{i-1})-m_i(x_i-x_{i-1})\\&=(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\&\le\Omega(x_i-x_{i-1})\\&\le\underbrace{r}_{=1}\lambda(P)\Omega\end{align}

מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר $\Omega\lambda(P)$ בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק $0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\Omega\lambda(P)$ .

ההוכחה לסכום תחתון דומה. $\blacksquare$

מסקנה 1

נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של $[a,b]$ . אזי $\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)$ .

הוכחה

נבנה עידון משותף, ז"א $R=P\cup Q$ . לפי משפט 2 מתקיים $\underline S(f,P)\le\underline S(f,R)\le \overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)$ . $\blacksquare$

מסקנה 2

עבור f כנ"ל מתקיים $\underline\int_a^b f(x)dx\le\overline{\int}_a^b f(x)dx$ .

הוכחה

מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של $[a,b]$ מתקיים $\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)$ ולכן $\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)$ . כמו כן, לפי ההגדרה $\underline\int_a^b f(x)dx=\sup_Q\underline S(f,Q)$ ו- $\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx$ . $\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-=אינטגרציה=
+{{כותרת נושא|אינטגרציה|נושא ראשון}}
-'''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. עם זאת, האינטגרל נותן אינדיקציה טובה לשטח זה ומאפשר לחשב אותו.
+'''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.
+===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף===
-====דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף====
 נתון הגרף (1) של y=x<sup>2</sup>. נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).
@@ שורה 24: / שורה 23: @@
 ''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>.
-===משפט 0===
+==משפט 0==
 אם <math>F(x)</math> ו-<math>G(x)</math> קדומות ל-<math>f(x)</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>
-====הוכחה====
+===הוכחה===
 נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגרנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}
@@ שורה 35: / שורה 34: @@
 '''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> את השטח שמתחת לגרף.
-===המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)===
+==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה|(בצורה אינטואיטיבית)}}==
 תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.
 # לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>.
 # אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)</math>.
-====הוכחה====
+===הוכחה===
 <ol>
 <li>גרף (3). רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt</math>.
@@ שורה 52: / שורה 51: @@
 </ol>
-==האינטגרל לפי דרבו==
+=האינטגרל לפי דרבו=
-===הקדמה - הגדרות===
+==הקדמה - הגדרות==
 תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f(x)</math> ו- <math>M:=\sup f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>:
 {{left|<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}}
@@ שורה 67: / שורה 66: @@
 * שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math>
-===משפט 1===
+==משפט 1==
 בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.
-====הוכחה====
+===הוכחה===
 {|
 {{=|l=m(b-a)
@@ שורה 95: / שורה 94: @@
 לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx:=\inf_P \overline S(f,P)</math>  ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f(x)dx:=\sup_P \underline S(f,P)</math>.
-===הגדרת האינטגרל לפי דרבו===
+==הגדרת האינטגרל לפי דרבו==
 תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\overline{\int}_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>.
-====דוגמה====
+===דוגמה===
 בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}q&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>.
 נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.
@@ שורה 111: / שורה 110: @@
 '''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
-===משפט 2===
+==משפט 2==
 תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
 {{left|
@@ שורה 122: / שורה 121: @@
 כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>r\lambda(P)\Omega</math>.
-====הוכחה====
+===הוכחה===
 מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>.
 כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור <math>k\not=i</math> כלשהו. לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)</math>
@@ שורה 145: / שורה 144: @@
 עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f(x)dx\le\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>.
 ====הוכחה====
-מסקנה 1 אומרת שלכ שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\sup_Q\underline S(f,Q)</math> ו-<math>\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. {{משל}}
+מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\sup_Q\underline S(f,Q)</math> ו-<math>\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. {{משל}}

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11"

גרסה מ־11:44, 2 במרץ 2011

תוכן עניינים

דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף

משפט 0

הוכחה

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)

הוכחה

האינטגרל לפי דרבו

הקדמה - הגדרות

משפט 1

הוכחה

הגדרת האינטגרל לפי דרבו

דוגמה

משפט 2

הוכחה

מסקנה 1

הוכחה

מסקנה 2

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים