משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11

אינטגרציה

הגדרה שגוייה: אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות).

דוגמת חישוב (ידני) של השטח:

(1)

ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר).

נחלק את הקטע $[0,1]$ :

$0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1$

$x_k=k/n$

מעל כל תת קטע קטן $[x_{k-1},x_k]$

נבנה "מלבן חוסם" שגובהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(k\over n\right)^2=x_k^2 . ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \bar S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left(k\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}

כמו כן, מעל כל קטע קטן $[x_{k-1},x_k]$ נבנה "מלבן חסום" שגובהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(k-1\over n\right)^2=x_{k-1}^2

ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(k-1\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש- $\underline S\le A\le\bar S$ .

(2)

ז"א $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ . הדבר נכון לכל $n\in\mathbb N$ . לכן נוכל להשאיף $n\to\infty$ לקבל $\frac13\le A\le\frac13$ ולכן $A=\frac13$

בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך!

הגדרה: תהי $f(x)$ מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה $F(x)$ קדומה ל-f ב-I אם $\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)$ .

דוגמה: ...

משפט 0: אם $F(x)$ ו- $G(x)$ קדומות ל- $f(x)$ בקטע I אז קיים קבוע c כך ש- $F(x)=G(x)+c$

הוכחה: נגדיר $H(x)=F(x)-G(x)$ לכן $H'(x)=F'(x)-G'(x)$

....

לפי תוצאה ממשפט לגראנג' $F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c$

$\blacksquare$

הגדרה: תהי $f(x)\ge0$ רציפה בקטע $[a,b]$ . ...

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי $f(x)\ge0$ מוגדרת ורציפה ב- $[a,b]$ . לכל $x\in[a,b]$ נגדיר $A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt$ אזי $f(x)=A'(x)$ לכל $x\in[a,b]$ .