משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11

אינטגרציה

הגדרה שגוייה: אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות).

דוגמת חישוב (ידני) של השטח:

(1)

ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר).

נחלק את הקטע $[0,1]$:

$0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1$

$x_k=k/n$

מעל כל תת קטע קטן $[x_{k-1},x_k]$

נבנה "מלבן חוסם" שגובהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(k\over n\right)^2=x_k^2 . ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \bar S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left(k\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}

כמו כן, מעל כל קטע קטן $[x_{k-1},x_k]$ נבנה "מלבן חסום" שגובהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(k-1\over n\right)^2=x_{k-1}^2

ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(k-1\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-$\underline S\le A\le\bar S$.

(2)

ז"א $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$. הדבר נכון לכל $n\in\mathbb N$. לכן נוכל להשאיף $n\to\infty$ לקבל $\frac13\le A\le\frac13$ ולכן $A=\frac13$

בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך!

הגדרה: תהי $f(x)$ מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה $F(x)$ קדומה ל-f ב-I אם $\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)$.

דוגמה: ...

משפט 0: אם $F(x)$ ו-$G(x)$ קדומות ל-$f(x)$ בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-$F(x)=G(x)+c$

הוכחה: נגדיר $H(x)=F(x)-G(x)$ לכן $H'(x)=F'(x)-G'(x)$

....

לפי תוצאה ממשפט לגראנג' $F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c$

$\blacksquare$

---

הגדרה: תהי $f(x)\ge0$ רציפה בקטע $[a,b]$. ...

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי $f(x)\ge0$ מוגדרת ורציפה ב-$[a,b]$. לכל $x\in[a,b]$ נגדיר $A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt$ אזי $f(x)=A'(x)$ לכל $x\in[a,b]$.

2) אם $F(x)$ קדומה ל-$f(x)$ ב-$[a,b]$ אז $\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)$.

---

הוכחה: (א) (3) רואים $A(a)=0$ המטרה $A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt$.

$A(x)$ עולה

כעת לפי ההגדרה $A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}$

בציור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): A(x+\Delta x}-A(x)

= השטח הארובה

$\Delta x$ = בסיס הארובה לכן $\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}$ = הגובה הממוצע של הארובה.

כאשר $\Delta x\to0$ זה שואף ל-$f(x)$ שהיא $A(x)$.

(ב) נתונה פונקציה קדומה $F(x)$ אבל מחלק א ידוע שגם $A(x)$ פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-$F(x)=A(x)+c$

לכן $F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx$

הגישה של דרבו

תהי $f(x)$ מוגדרת וחסומה $m\le F(x)\le M$ בקטע $[a,b]$. נגדיר את התנודה של f ע"י $\Omega=M-m$. כעת נגדיר חלוקה P של $[a,b]$

$a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$

עוד נגדיר לכל $k$ אורך תת קטע מספר k = $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$

והפרמטר של P, $\lambda(P)$ מוגדר ע"י $\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k$

לכל k, $1\le k\le n$ נגדיר $M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}$ וכן $m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}$.

(4)

בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם" 0הסכום העליון $\bar S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k$ ושטח חסום תחתון $\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k$

$\bar S(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\Delta x_k$

משפט 1: עבור כל חלוקה P

$m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\bar S(f,P)\le M(b-a)$

הוכחה: $m(b-a)=m\sum_{k=1}^n\Delta x_k$ (כי \sum_{k=1}^n\Delta x_k = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a)

$=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k\le \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k$ (כי לכל k מתקיים $m\le m_k$)

$=\underline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\bar S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M\Delta x_k=M\sum_{k=1}^n \Delta x_k=M(b-a)$

לפי משפט 1 המספרים $\bar S(f,P),\underline S(f,P)$ חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).

לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)

 ו"האינטגרל התחתון" עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)

.

הגדרת האינטגרל לפי דרבו

תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב-$[a,b]$ נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב-$[a,b]$ אם עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\bar\int\limits_a^b f(x)dx

ואם הם שווים אז נגדיר $\int\limits_a^b f(x)dx$ להיות הערך המשותף של $\underline\int f$ ו-עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \bar\int f

.

---

דוגמהף בקטע $[a,b]$ כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה $f(x)=\begin{cases}q\quad x\in\mathbb Q\\0\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}$. נקח חלוקה כלשהי ל-$[a,b]$

$a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ לכל k

$M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1$ וכן $m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0$

לכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \bar S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 1\Delta x_k=b-a

ואילו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0 .

מכאן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0

ו-עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)=b-a

. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.

הגדרה: תהי P חלוקה של קטע $[a,b]$. חלוקה Q של $[a,b]$ נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.

משפט 2: תהי $f(x)$ מוגדרת וחסומה ב-$[a,b]$. תהי P חלוקה של $[a,b]$ ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז

$0\le\bar S(f,P)-\bar S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega$ $0\le\underline S(f,P)-\underline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega$

(כאשר $\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k$ ו-$\Omega=\sup\{f(x)\}-\inf\{f(x)\}$)

ז"א הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-$\lambda(P)$