גרסה אחרונה מ־14:35, 21 ביולי 2011

תוכן עניינים

1 האינטגרל המסויים (המשך)
- 1.1 דוגמאות
2 יישומים של אינטגרציה

האינטגרל המסויים (המשך)

דוגמאות

.
- שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב $t=x^3\implies\frac{\mathrm dt}3=\mathrm dx$ . לכן $\int=\int\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{x=0}^2=\left[\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0}^2=\frac{e^8-1}3$ . $\blacksquare$
- דרך ב - נחליף את הגבולות במהלך החישוב: $t=x^3\implies t|_{x=0}=0,\ t|_{x=2}=8$ ולכן $\int=\int\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3$ . $\blacksquare$
נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. $x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrt{r^2-x^2}$ . לכן השטח הוא $S=2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\ \mathrm dx$ . נציב $x=r\sin(\theta)$ ואז
$\begin{align}S&=2\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta\\&=2\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=2r^2\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\frac{\cos(2\theta)+1}2\mathrm d\theta\\&=2r^2\left[\frac{\frac12\sin(2\theta)+\theta}2\right]_{\theta=-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\\&=2r^2\left(\frac14\cdot0+\frac\pi4-\frac14\cdot0+\frac\pi4\right)\\&=\pi r^2\end{align}$
$\blacksquare$ הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה $x=r\sin(\theta)$ היינו צריכים לבחור $\theta$ כך ש- $x=r$ , אבל עבור מעגל שרדיוסו r מתחלק ב-4 עם שארית 1 היינו יכולים לבחור גם $\theta=\frac{r\pi}2$ כי אז $x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\frac{r\pi}2\right)=r$ , ועבור $x=-r$ יכולנו לבחור $-\frac{r\pi}2$ . אם כן היינו מוצאים
$\begin{align}S&=\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta\\&=2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=2r^2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm d\theta\\&=r\pi r^2\end{align}$
הטעות נובעת מכך שקבענו ש- $\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta)$ , מה שנכון רק כאשר $\cos(\theta)\ge0$ . הטווח של האינטגרציה היה $\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]$ , שכולל תחומים בהם $\cos(\theta)<0$ . בתחומים אלה צריך לבחור $\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=-r\cos(\theta)$ ולחלק את הקטע $\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]$ לתחומים שונים לפי הסימן של $\cos(\theta)$ .

יישומים של אינטגרציה

שטח
אם בקטע $[a,b]$ מתקיים $f(x)\le g(x)$ כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא $\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx$ .
נפח של גוף סיבוב

נסובב את השטח מתחת לגרף $y=f(x)$ בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור $f(x)=c$ קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו: $\pi c^2(b-a)$ . כעת נניח ש- $f(x)\ge0$ רציפה ב- $[a,b]$ ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. נקח חלוקה כלשהי P של $[a,b]$ , $a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b$ . תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל $[x_{k-1},x_k]$ מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום $M_k$ ומינימום $m_k$ בקטע זה. נסמן ב- $V_k$ הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים $\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})$ . יוצא שהנפח בסה"כ הוא $V=\sum_{k=1}^n V_k$ ומתקיים $\sum_{k=1}^n\pi m_k^2\Delta x_k\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2\Delta x_k$ . נשים לב שהסכום בצד ימין הוא בדיוק $\overline S(\pi f^2,P)$ ובצד שמאל $\underline S(\pi f^2,P)$ עבור החלוקה P. נשאיף $\lambda(P)\to0$ וכיוון ש-f רציפה גם $\pi f^2$ רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: $V=\int\limits_a^b \pi f^2$ .

דוגמאות
1. נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r:
  $\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}$
  $\blacksquare$
2. נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. בסרטוט משמאל יש גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. הפונקציה היא $y=\frac rhx+0$ ולפיכך הנפח הוא
  $\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}$
  כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. $\blacksquare$
ממוצע
תהא f מוגדרת ורציפה ב- $[a,b]$ ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל $n\in\mathbb N$ נגדיר חלוקה $P_n$ של הקטע לקטעים שווים $a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b$ . כאשר $\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n$ . הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא $\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)$ . לפי בחירת $P_n$ , לכל k מתקיים $x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}$ ונובע: $\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k$ (כאשר $\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k$ הוא סכום רימן). נשאיף $n\to\infty$ ומכיוון שבמקרה כזה $\lambda(P_n)\to0$ מצאנו שהממוצע של f שואף ל- $\frac1{b-a}\int\limits_a^b f$ . באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת (אינטואיטיבית): אם $f(x)\ge0$ רציפה אז $\frac1{b-a}\int\limits_a^b f$ הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.
אורך הגרף

עבור פונקציה f רציפה ב- $[a,b]$ נעשה חלוקה $P_n$ של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות $q_0,q_1,\dots,q_n$ , כאשר לכל k $q_k=(x_k,f(x_k))$ . קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י $L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)$ , כאשר $d(A,B)$ הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל- $\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}$ . לכן אורך הגרף L מקיים $\forall n:\ L(P_n)\le L$ ואפשר להגדיר את L ע"י $L=\sup_n L(P_n)$ . לפי זה L תמיד מוגדר $0<L\le\infty$ .
דוגמה: נגדיר $f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac1x\right)&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}$ . היא רציפה בקטע הסגור $[0,1]$ אבל אורך הגרף הוא $\infty$ .
נניח ש-f' קיימת ורציפה ב- $[a,b]$ ונקח חלוקה P כלשהי. כבר ראינו ש-
$\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}$
(ע"פ משפט לגראנז' יש $c_k$ כאלה כך ש- $\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)$ ) והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה $\sqrt{1+f'(x)^2}$ . היה נתון ש- $f'(x)$ רציפה ולכן גם $\sqrt{1+f'(x)^2}$ רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל $\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx$ . השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף $L=\sup_n L(P_n)$ . נוכיח זאת: נגדיר $I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx$ וכן $L=\sup_n L(P_n)$ ונניח $L<\infty$ . יהי $\varepsilon>0$ נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של $[a,b]$ כך ש- $0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2$ . אם Q' עידון של Q אז $L(Q)\le L(Q')\le L$ ולכן $0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2$ . כעת נתון ש- $f'$ רציפה ולכן $\sqrt{1+f'(x)^2}$ אינטגרבילית ב- $[a,b]$ . לפיכך קיימת $\delta>0$ כך שאם P חלוקה כלשהי של $[a,b]$ כך ש- $\lambda(P)<\delta$ ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז $|I-S|<\frac\varepsilon2$ . לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש- $\lambda(P)<\delta$ . כבר למדנו ש- $L(P)$ הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק $|I-L|=|I-S+L(P)-L|\le|I-S|+|L(P)-L|<\varepsilon$ ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ- $\varepsilon$ ומכאן נובע שהם שווים. $\blacksquare$

@@ שורה 12: / שורה 12: @@
 =יישומים של אינטגרציה=
 <ol>
-<li>אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.</li>
+<li>
-<li>נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math> עבור חלוקה P. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: <math>\int\limits_a^b \pi f^2=V</math>.
+==שטח==
-==דוגמאות==
+אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.</li>
+<li>
+==נפח של גוף סיבוב==
+[[קובץ:נפח גוף סיבוב.png|ימין|ממוזער|250px]]
+נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו: <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2\Delta x_k\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2\Delta x_k</math>. נשים לב שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math> עבור החלוקה P. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: <math>V=\int\limits_a^b \pi f^2</math>.
+===דוגמאות===
 # נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}}
-# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}}
+# [[קובץ:נפח חרוט.png|ימין|ממוזער|300px]]נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. בסרטוט משמאל יש גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. הפונקציה היא <math>y=\frac rhx+0</math> ולפיכך הנפח הוא {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}}
 </li>
-<li>תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li>
+<li>
-<li>אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן אורך הגרף L מקיים <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5).
+==ממוצע==
+תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li>
+<li>
+==אורך הגרף==
+[[קובץ:קירוב אורך גרף.png|ימין|300px]]
+עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן אורך הגרף L מקיים <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />''דוגמה:'' נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac1x\right)&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.
-נניח ש-{{ltr|f'}} רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונקח חלוקה P כלשהי. כבר ראינו ש-{{left|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math>) והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>|I-S|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>|I-L|=|I-S+S-L|=|I-S+L(P)-L|\le|I-S|+|L(P)-L|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li>
+נניח ש-{{ltr|f'}} קיימת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונקח חלוקה P כלשהי. כבר ראינו ש-{{left|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math>) והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>|I-S|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>|I-L|=|I-S+L(P)-L|\le|I-S|+|L(P)-L|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li>
 </ol>

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11"

גרסה אחרונה מ־14:35, 21 ביולי 2011

תוכן עניינים

האינטגרל המסויים (המשך)

דוגמאות

יישומים של אינטגרציה

שטח

נפח של גוף סיבוב

דוגמאות

ממוצע

אורך הגרף

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים