גרסה מ־11:19, 11 ביולי 2011

תוכן עניינים

1 האינטגרל לפי דרבו (המשך)
- 1.1 משפט 8
  - 1.1.1 הוכחה
  - 1.1.2 הכללה
- 1.2 משפט 9
2 האינטגרל לפי רימן

האינטגרל לפי דרבו (המשך)

משפט 8

נניח ש-f מוגדרת וחסומה בקטע $[a,c]$ ונניח ש- $a<b<c$ . אזי f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ וב- $[b,c]$ אם"ם היא אינטגרבילית ב- $[a,c]$ , ואם כן מתקיים $\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f$ .

הוכחה

$\implies$ : נתונה f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ וב- $[b,c]$ . נקח חלוקה כלשהי P של $[a,b]$ וחלוקה Q של $[b,c]$ ונגדיר $R=P\cup Q$ (כלומר R חלוקה של $[a,c]$ ). לכן מתקיים $\overline S(f,R)=\overline S(f,P)+\overline S(f,Q)$ . נשאיף $\lambda(P),\lambda(Q)\to0$ . לפי הנתון $\overline S(f,P)\to\int\limits_a^b f$ וגם $\overline S(f,Q)\to\int\limits_b^c f$ , לכן $\overline S(f,R)\to\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f$ . באותו אופן נקבל $\underline S(f,R)\to\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f$ . הראנו ש- $\overline S(f,R)-\underline S(f,R)\to0$ ולכן f אינטגרבילית ב- $[a,c]$ . ע"פ משפט 4 נסיק $\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f$ .

$\Longleftarrow$ : נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב $\overline S(f,R)=\overline S(f,P)+\overline S(f,Q)$ ו- $\underline S(f,R)=\underline S(f,P)+\underline S(f,Q)$ . נחסיר ונקבל: $\overline S(f,R)-\underline S(f,R)=\overline S(f,P)-\underline S(f,P)+\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)$ . כעת, אם $\varepsilon>0$ , האינטגרביליות של f על $[a,c]$ גוררת שעבור $\lambda(P)$ ו- $\lambda(Q)$ מספיק קטנים $\overline S(f,P)-\underline S(f,P),\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)<\varepsilon$ . קיום חלוקה P כזאת לכל $\varepsilon>0$ מוכיח ש-f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ וקיום חלוקה Q - ב- $[b,c]$ . השיוויון $\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f$ נובע מהחלק הקודם. $\blacksquare$

הכללה

אם $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ ואם f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ אז $\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f$ . ההוכחה באינדוקציה.

מוסכמות:

$\int\limits_a^a f=0$
אם $a<b$ ואם f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ נרשום $\int\limits_b^a f=-\int\limits_a^b f$

(אלה מוסכמות ולא משפטים כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, $\int\limits_b^a$ לא מוגדר עבור $a\le b$ )

עם מוסכמות אלה יתקיים:

$\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f$ באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם $c<a<b$ אז לפי משפט 8 $\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f$ . נבדוק: $\int\limits_c^a f=-\int\limits_a^c f\ \and\ \int\limits_c^b f=-\int\limits_b^c f$ ולכן $-\int\limits_b^c f=-\int\limits_a^c f+\int\limits_a^b f$ , מה שגורר $\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f$ .

משפט 9

תהי f מוגדרת וחסומה ב- $[a,b]$ . עוד נניח ש-f רציפה ב- $(a,b]$ . אזי f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ .

הוכחה

יהי $\varepsilon>0$ נתון. נגדיר $c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}$ . לפי הנתון f רציפה ב- $[c,b]$ , אזי ממשפט 6 היא אינטגרבילית ב- $[c,b]$ , לכן נוכל לבחור חלוקה P של $[c,b]$ כך ש- $\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2$ . כעת נגדיר חלוקה Q של $[a,b]$ ע"י $Q=\{a\}\cup P$ . עוד נגדיר $M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}$ וכן $m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}$ . נובע ש- $\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2=\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2=\varepsilon$ . נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ . $\blacksquare$

מסקנה 1

המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב- $(a,b)$ .

מסקנה 2

נניח ש-f חסומה ב- $[a,b]$ ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות $x_0,x_1,\dots,x_n$ כך ש- $a\le x_0<x_1<\dots<x_n\le b$ . אזי f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ .

הוכחה

עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב- $[x_{k-1},x_k]$ ורציפה ב- $(x_{k-1},x_k)$ . לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב- $[x_{k-1},x_k]$ . נסתמך על ההכללה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב- $[a,b]=\bigcup_{k=1}^n [x_{k-1},x_k]$ . $\blacksquare$

דוגמה לפונקציה רציפה למקוטעין

הגדרה: אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב- $[a,b]$ אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון.

נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב- $[a,b]$ אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב- $[a,b]$ אז היא אינטגרבילית שם.

האינטגרל לפי רימן

הקדמה - הגישה של רימן

ניתן לראות שסכום שטחי המלבנים הנוצרים מסכום רימן שווה בקירוב לשטח שמתחת לגרף.

נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב- $[a,b]$ . נבחר חלוקה P של $[a,b]$ : $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ . עוד נבחר לכל k מספר $c_k\in[x_{k-1},x_k]$ ונכנה כ-P' את התת חלוקה $a\le c_1<c_2<\dots<c_n\le b$ . ז"א $a=x_0\le c_1\le x_1\le c_2\le\dots\le c_n\le x_n=b$ . בהתאם לכך נבנה סכום רימן $S(f,P,P')=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k$ כאשר לכל k מתקיים $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$ .

$S(f,P,P')$ מקרב את השטח שמתחת לגרף, אך לא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לו.

נעיר שעל חלוקה אחת P של $[a,b]$ אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן $S(f,P,P')$ . עם זאת, יתקיים תמיד $\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)$ . יתר על כן, $\underline S(f,P)=\inf_{P'} S(f,P,P')$ ו- $\overline S(f,P)=\sup_{P'} S(f,P,P')$ .

הגדרת האינטגרל לפי רימן: תהי f מוגדרת וחסומה ב- $[a,b]$ . נאמר ש-f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ אם כאשר $\lambda(P)\to0$ כל סכומי רימן $S(f,P,P')$ שואפים לגבול אחד, שיסומן $\int\limits_a^b f$ .

משפט 10

תהי f מוגדרת וחסומה ב- $[a,b]$ . אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז ${\int\limits_R}_a^b f$ (לפי רימן) ${\int\limits_D}_a^b f=$ (לפי דרבו).

הוכחה

תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של $[a,b]$ : $\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)$ . כעת נשאיף $\lambda(P)\to0$ . כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, $\overline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f$ וכן $\underline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f$ לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש- $\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')$ קיים ושווה ל- ${\int\limits_D}_a^b f$ . ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים ${\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')={\int\limits_D}_a^b f$ .

לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים ${\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')$ . אם כן הוא גם שווה ל- $\lim_{\lambda(P)\to0} \sup_{P'} S(f,P,P')=\lim_{\lambda(P)\to0} \overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f$ ,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו ${\int\limits_R}_a^b f=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f$ . עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם הוכחנו ש- ${\int\limits_R}_a^b f={\int\limits_D}_a^b f$ . $\blacksquare$

משפט 11 (תכונות האינטגרל)

נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב- $[a,b]$ , ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:

(לינאריות): $f+cg$ אינטגרבילית ב- $[a,b]$ ומתקיים $\int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$ .
(מונוטוניות): אם $f(x)\ge g(x)$ לכל $x\in[a,b]$ אז $\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g$ . (חיוביות): בפרט, אם $\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0$ אז $\int\limits_a^b f\ge0$ .
(הכללה לאי-שיוויון המשולש): |f| אינטגרבילית ב- $[a,b]$ וגם $\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|$ .
אם $m\le f(x)\le M$ ב- $[a,b]$ אז $m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)$ ואם $|f(x)|\le M$ בקטע זה אז אז $\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)$ .
אם $f(x)=M$ (פונקציה קבועה) אז $\int\limits_a^b f= M(b-a)$ .

הוכחה

$S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k$ . נשאיף $\lambda(P)\to0$ . כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א $\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$ . עצם קיום הגבול אומר ש- $f+cg$ אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק $\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$ . $\blacksquare$

את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:

נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: $\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k$ . לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- $\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k$ . נשאיף $\lambda(P)\to0$ . סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק $\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g$ . $\blacksquare$
נעיר ש- $\Omega$ היא בעצם $\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}$ . כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש- $\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|$ . לכן $\Omega(|f|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le\sup_{x,y\in[a,b]}|f(x)-f(y)|=\Omega(f)$ . כעת תהי P חלוקה כלשהי של $[a,b]$ ואז $\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k$ . נעיר שלכל f, $M_k(f)-m_k(f)$ היא התנודה של f בקטע $[x_{k-1},x_k]$ ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע:
$\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(|f|)-m_k(|f|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\end{align}$
כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהי $\varepsilon>0$ נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של $[a,b]$ כך ש- $\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\le\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\to0$ ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון $\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|$ . לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים $\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right|\le\sum_{k=1}^n |f(c_k)|\Delta x_k$ . נשאיף $\lambda(P)\to0$ ונקבל ש- $\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b|f|$ . $\blacksquare$
נתון $m\le f(x)\le M$ . לפי משפט 1, לכל חלוקה P של $[a,b]$ מתקיים $m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)$ . נשאיף את $\lambda(P)\to0$ כדי להסיק $m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)$ . אם נתון $|f(x)|\le M$ אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר $\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|\le M(b-a)$ . $\blacksquare$
לפי הנתון $M\le f(x)\le M$ . לכן, עפ"י סעיף 4 $M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)$ ויש שיוויון. $\blacksquare$

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 ===הוכחה===
-<math>\Longleftarrow</math>: נתונה f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וב-<math>[b,c]</math>. נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math> וחלוקה Q של <math>[b,c]</math> ונגדיר <math>R=P\cup Q</math> (כלומר R חלוקה של <math>[a,c]</math>). לכן מתקיים <math>\overline S(f,R)=\overline S(f,P)+\overline S(f,Q)</math>. נשאיף <math>\lambda(P),\lambda(Q)\to0</math>. לפי הנתון <math>\overline S(f,P)\to\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\overline S(f,Q)\to\int\limits_b^c f</math>, לכן <math>\overline S(f,R)\to\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. באותו אופן נקבל <math>\underline S(f,R)\to\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. הראנו ש-<math>\overline S(f,R)-\underline S(f,R)\to0</math> ולכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,c]</math>. ע"פ משפט 4 נסיק <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>.
+<math>\implies</math>: נתונה f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וב-<math>[b,c]</math>. נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math> וחלוקה Q של <math>[b,c]</math> ונגדיר <math>R=P\cup Q</math> (כלומר R חלוקה של <math>[a,c]</math>). לכן מתקיים <math>\overline S(f,R)=\overline S(f,P)+\overline S(f,Q)</math>. נשאיף <math>\lambda(P),\lambda(Q)\to0</math>. לפי הנתון <math>\overline S(f,P)\to\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\overline S(f,Q)\to\int\limits_b^c f</math>, לכן <math>\overline S(f,R)\to\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. באותו אופן נקבל <math>\underline S(f,R)\to\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. הראנו ש-<math>\overline S(f,R)-\underline S(f,R)\to0</math> ולכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,c]</math>. ע"פ משפט 4 נסיק <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>.
-<math>\implies</math>: נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב <math>\overline S(f,R)=\overline S(f,P)+\overline S(f,Q)</math> ו-<math>\underline S(f,R)=\underline S(f,P)+\underline S(f,Q)</math>. נחסיר ונקבל: <math>\overline S(f,R)-\underline S(f,R)=\overline S(f,P)-\underline S(f,P)+\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)</math>. כעת, אם <math>\varepsilon>0</math>, האינטגרביליות של f על <math>[a,c]</math> גוררת שעבור <math>\lambda(P)</math> ו-<math>\lambda(Q)</math> מספיק קטנים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P),\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)<\varepsilon</math>. קיום חלוקה P כזאת לכל <math>\varepsilon>0</math> מוכיח ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וקיום חלוקה Q - ב-<math>[b,c]</math>. השיוויון <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math> נובע מהחלק הקודם. {{משל}}
+<math>\Longleftarrow</math>: נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב <math>\overline S(f,R)=\overline S(f,P)+\overline S(f,Q)</math> ו-<math>\underline S(f,R)=\underline S(f,P)+\underline S(f,Q)</math>. נחסיר ונקבל: <math>\overline S(f,R)-\underline S(f,R)=\overline S(f,P)-\underline S(f,P)+\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)</math>. כעת, אם <math>\varepsilon>0</math>, האינטגרביליות של f על <math>[a,c]</math> גוררת שעבור <math>\lambda(P)</math> ו-<math>\lambda(Q)</math> מספיק קטנים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P),\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)<\varepsilon</math>. קיום חלוקה P כזאת לכל <math>\varepsilon>0</math> מוכיח ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וקיום חלוקה Q - ב-<math>[b,c]</math>. השיוויון <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math> נובע מהחלק הקודם. {{משל}}
 ===הכללה===
@@ שורה 19: / שורה 19: @@
 # <math>\int\limits_a^a f=0</math>
 # אם <math>a<b</math> ואם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> נרשום <math>\int\limits_b^a f=-\int\limits_a^b f</math>
-(אלה מוסכמות ולא אקסיומות כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, <math>\int\limits_b^a</math> לא מוגדר עבור <math>a\le b</math>)
+(אלה מוסכמות ולא משפטים כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, <math>\int\limits_b^a</math> לא מוגדר עבור <math>a\le b</math>)
 עם מוסכמות אלה יתקיים:
-<math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math> באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם <math>c<a<b</math> אז לפי משפט 8 <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. נבדוק: <math>\int\limits_a^c f=-\int\limits_a^c f\ \and\ \int\limits_b^c f=-\int\limits_c^b f</math> ולכן <math>-\int\limits_b^c f=-\int\limits_a^c f+\int\limits_a^b f</math>, מה שנכון כי <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>.
+<math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math> באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם <math>c<a<b</math> אז לפי משפט 8 <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. נבדוק: <math>\int\limits_c^a f=-\int\limits_a^c f\ \and\ \int\limits_c^b f=-\int\limits_b^c f</math> ולכן <math>-\int\limits_b^c f=-\int\limits_a^c f+\int\limits_a^b f</math>, מה שגורר <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>.
 ==משפט 9==
-תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. עוד נניח ש-f רציפה ב-<math>(a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
+תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. עוד נניח ש-f רציפה ב-<math>(a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
 ===הוכחה===
-יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>.
+יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>. לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math>, אזי ממשפט 6 היא אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math>, לכן נוכל לבחור חלוקה P של <math>[c,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2</math>. כעת נגדיר חלוקה Q של <math>[a,b]</math> ע"י <math>Q=\{a\}\cup P</math>. עוד נגדיר <math>M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}</math> וכן <math>m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}</math>. נובע ש-<math>\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2=\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}
-גרף (1)
-לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math>. לפי משפט 6 היא אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math>, לכן נוכל לבחור חלוקה P של <math>[c,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2</math>. כעת גדיר חלוקה Q של <math>[a,b]</math> ע"י <math>Q=\{a\}\cup P</math>. עוד נגדיר <math>M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}</math> וכן <math>m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}</math>. נובע ש-<math>\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2<\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}
 ===מסקנה 1===
@@ שורה 38: / שורה 34: @@
 ===מסקנה 2===
-נניח ש-f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות <math>x_0,x_1,\dots,x_n</math> כך ש-<math>a\le x_0<x_1<\dots<x_n\le b</math> אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
+נניח ש-f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות <math>x_0,x_1,\dots,x_n</math> כך ש-<math>a\le x_0<x_1<\dots<x_n\le b</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
 ====הוכחה====
-עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math> ורציפה ב-<math>(x_{k-1},x_k)</math>. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math>. נסתמך על מסקנה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]=\bigcup_{k=1}^n [x_{k-1},x_k]</math>. {{משל}}
+עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math> ורציפה ב-<math>(x_{k-1},x_k)</math>. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math>. נסתמך על ההכללה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]=\bigcup_{k=1}^n [x_{k-1},x_k]</math>. {{משל}}
+[[קובץ:פונקציה רציפה למקוטעין.png|ימין|ממוזער|300px|דוגמה לפונקציה רציפה למקוטעין]]
 '''הגדרה:''' אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
-גרף (2)
 נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב-<math>[a,b]</math> אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אז היא אינטגרבילית שם.
@@ שורה 54: / שורה 49: @@
 =האינטגרל לפי רימן=
 ==הקדמה - הגישה של רימן==
-נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נבחר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נבחר מספרים <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ונכנה כ-{{ltr|P'}} את התת חלוקה <math>a\le c_1<c_2<\dots<c_n\le b</math>. ז"א <math>a=x_0\le c_1\le x_1\le c_2\le\dots\le c_n\le x_n=b</math>. בהתאם לכך נבנה סכום רימן <math>S(f,P,P')=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math> כאשר לכל k מתקיים <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math>.
+[[קובץ:האינטגרל לפי רימן.png|שמאל|400px|ממוזער|ניתן לראות שסכום שטחי המלבנים הנוצרים מסכום רימן שווה בקירוב לשטח שמתחת לגרף.]]
+נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נבחר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נבחר לכל k מספר <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ונכנה כ-{{ltr|P'}} את התת חלוקה <math>a\le c_1<c_2<\dots<c_n\le b</math>. ז"א <math>a=x_0\le c_1\le x_1\le c_2\le\dots\le c_n\le x_n=b</math>. בהתאם לכך נבנה סכום רימן <math>S(f,P,P')=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math> כאשר לכל k מתקיים <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math>.
-גרף (3)
-<math>S(f,P,P')</math> מקרב את השטח שמתחת לגרף, ולא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לשטח שמתחת לגרף.
+<math>S(f,P,P')</math> מקרב את השטח שמתחת לגרף, אך לא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לו.
 נעיר שעל חלוקה אחת P של <math>[a,b]</math> אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math>. עם זאת, יתקיים תמיד <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'} S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'} S(f,P,P')</math>.
-'''הגדרת רימן:''' תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> כל סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math> שואפים לגבול אחד, שיסומן <math>\int\limits_a^b f</math>.
+'''הגדרת האינטגרל לפי רימן:''' תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> כל סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math> שואפים לגבול אחד, שיסומן <math>\int\limits_a^b f</math>.
 ==משפט 10==
@@ שורה 69: / שורה 63: @@
 ===הוכחה===
-תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של <math>[a,b]</math>:
+תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה {{ltr|P'}} של <math>[a,b]</math>:
 <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. כעת נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, <math>\overline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f</math> וכן <math>\underline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f</math> לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math> קיים ושווה ל-<math>{\int\limits_D}_a^b f</math>. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')={\int\limits_D}_a^b f</math>.
-לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math>. אם כן הוא גם שווה ל-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} \sup_{P'} S(f,P,P')=\lim_{\lambda(P)\to0} \overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו <math>{\int\limits_R}_a^b f=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f</math>. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם מצאנו: <math>{\int\limits_R}_a^b f={\int\limits_D}_a^b f</math>. {{משל}}
+לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math>. אם כן הוא גם שווה ל-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} \sup_{P'} S(f,P,P')=\lim_{\lambda(P)\to0} \overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו <math>{\int\limits_R}_a^b f=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f</math>. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם הוכחנו ש-<math>{\int\limits_R}_a^b f={\int\limits_D}_a^b f</math>. {{משל}}
 ==משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}}==
-נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-[a,b], ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
+נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-<math>[a,b]</math>, ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
-# {{הערה|(לינאריות):}} <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-[a,b] ומתקיים <math>\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
+# {{הערה|(לינאריות):}} <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
 # {{הערה|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>
 \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.
-# {{הערה|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} אם f <!-- זו לא טעות - f צריכה להיות אינטגרבילית ולא |f|. ראו את ההוכחה למשפט --> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>.
+# {{הערה|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} |f| אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וגם <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>.
 # אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>|f(x)|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>.
 # אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>.
@@ שורה 89: / שורה 83: @@
 <ol start="2">
 <li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li>
-<li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. לכן <math>\Omega(|f|)=\sup\left\{\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|:\ x,y\in[a,b]\right\}\le\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math>. <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע: {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(|f|)-m_k(|f|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\end{align}</math>}}
+<li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. לכן <math>\Omega(|f|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le\sup_{x,y\in[a,b]}|f(x)-f(y)|=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> ואז <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע: {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(|f|)-m_k(|f|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\end{align}</math>}}
 כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\le\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\to0</math> ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים <math>\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right|\le\sum_{k=1}^n |f(c_k)|\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> ונקבל ש-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b|f|</math>. {{משל}}</li>
 <li>נתון <math>m\le f(x)\le M</math>. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. נשאיף את <math>\lambda(P)\to0</math> כדי להסיק <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. אם נתון <math>|f(x)|\le M</math> אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|\le M(b-a)</math>. {{משל}}</li>
 <li>לפי הנתון <math>M\le f(x)\le M</math>. לכן, עפ"י סעיף 4 <math>M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ויש שיוויון. {{משל}}</li>
 </ol>

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11"

גרסה מ־11:19, 11 ביולי 2011

תוכן עניינים

האינטגרל לפי דרבו (המשך)

משפט 8

הוכחה

הכללה

משפט 9

הוכחה

מסקנה 1

מסקנה 2

הוכחה

האינטגרל לפי רימן

הקדמה - הגישה של רימן

משפט 10

הוכחה

משפט 11 (תכונות האינטגרל)

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים