משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11

מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)

3. שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של $[a,b]$: $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$, כאשר $x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n=h$. חלוקת הקטע $[a,b]$ משרה חלוקת הגרף $y=f(x)$. נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל $[x_{k-1},x_k]$ יש רוחב h ושני גבהים $f(x_{k-1}),\ f(x_k)$. לכן שטח אותו טרפז הוא $\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h$, והקירוב לאינטגרל הוא
   $\begin{align}\sum_{k=1}^n \frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h&=h\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_1)}2+\dots+\frac{f(x_n)}2\right)\\&=\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_n)}2\right)h+h\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\end{align}$

   נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g $I(g)=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} g(x)\mathrm dx$ וכן $T(g)$ הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים $[x_{k-1},x_k]$ ונעריך את הטעות בו, השווה ל-$\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\mathrm dx-\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h=I(f)-T(f)$. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.

   כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב-$[a,b]$ ונסמן $M=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|$. נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה $x_{k-1}$: $f(x)=\underbrace{f(x_{k-1})+f'(x_{k-1})(x-x_{k-1})}_{P(x)}+\underbrace{\frac{f''(c)}2 (x-x_{k-1})^2}_{R(x)}$, כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.

   לסיכום, עד כה הראינו כי $I(f)=I(P)+I(R)$ ו-$T(f)=T(P)+T(R)$. לכן השארית $I(f)-T(f)$ היא $I(P)-T(P)+I(R)-T(R)$, ומכיוון ש-P לינארית $I(P)-T(P)=0$, כלומר השארית היא $I(R)-T(R)$. נחשב:
   $\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}$
   וכן
   $\begin{align}T(R)&=\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k-1}-x_{k-1})^2+\frac{f''(c)}2 h^2}2h\\&=\frac{f''(c)(x_k-x_{k-1})^2}4h\\&\le\frac{Mh^3}4\end{align}$

   בסה"כ הטעות בקטע $[x_{k-1},x_k]$ חסומה ע"י $\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6$. יש n קטעים כאלה, לכן $|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)$.

4. כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את $\int\limits_a^b f$ בעזרת חלוקה שווה $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n$, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא $S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)$. למעשה, סימפסון מקרב $\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f$ ע"י $\frac h3\Big(f(x_{k-1}+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)$

   לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):

   • נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי $[-R,R]$ אזי $\int\limits_{-R}^R f=0$.

     הוכחה

     נסמן $I_1=\int\limits_{-R}^0 f\ \and\ I_2=\int\limits_0^R f$ ולכן $I_1+I_2=\int\limits_{-R}^R f$. ב-$I_1$ נציב $t=-x\implies \mathrm dt=-\mathrm dx$ ונקבל $I_1=\int\limits_{-(-R)}^{-0} f(-t)(-\mathrm dt)=-\left(-\int\limits_0^R -f(t)\mathrm dt\right)=-I_2$. $\blacksquare$
   • נניח ש-f רציפה בסביבה של $x_0$ וגזירה בסביבה מנוקבת של $x_0$. עוד נניח שקיים $\lim_{x\to x_0}f'(x)=L$. אזי $f'(x_0)$ קיים ושווה ל-L.

     הוכחה

     לפי ההגדרה, אם f גזירה ב-$x_0$ אזי $f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$, ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל-$\lim_{x\to x_0} f'(c)$ עבור $c$ כלשהו בין $x$ ל-$x_0$. לכן, כאשר $x\to x_0$ גם $c\to x_0$ ונקבל $L=\lim_{c\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$. $\blacksquare$

   נחזור לכלל סימפסון.

   שלב א

   נניח ש-$h>0$ ו-$p(x)$ פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש-$\int\limits_{-h}^h p=\frac h3\left(p(-h)+4p(0)+p(h)\right)\implies I(p)=S(p)$ (כאשר לכל f אינטגרבילית ב-$[-h,h]$ הגדרנו $I(f)=\int\limits_{-h}^h f$).