משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11

את משפט 3 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-24.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.

טורי חזקות (המשך)

משפט 4

נניח שלטור $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ יש רדיוס התכנסות $R>0$, אזי:

1. f גזירה אינסוף פעמים בקטע $(x_0-R,x_0+R)$ ולכל $k\in\mathbb N\cup\{0\}$ מתקיים $f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}$. רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזור הוא R.
2. לכל $k\in\mathbb N\cup\{0\}$, $a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$, ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב $x_0$.

הוכחה

1. באינדוקציה, בעזרת משפט 3.
2. הוכחנו בסעיף 1 ש-$f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}$. נציב $x=x_0$ ונקבל $f^{(k)}(x_0)=\frac{k!}{(k-k)!}a_k+\underbrace{\frac{(k+1)!}{(k+1-k)!}a_{k+1}(x_0-x_0)}_{=0}+\dots=k!a_k$, כלומר $a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$. $\blacksquare$

מסקנה (משפט היחידות לטורי חזקות)

נניח ששני טורי חזקות בקטע שלם, כלומר $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n$ לכל $x\in(a,b)\ne\varnothing$, אזי $\forall n:\ a_n=b_n$.

הוכחה

נגדיר פונקציה גבולית $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n$. עפ"י סעיף 2 של משפט 4 מתקיים $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}=b_n$. $\blacksquare$

הערה

חשוב לא להתבלבל: יתכן בהחלט מצב בו $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_1)^n$ אבל $a_n\ne b_n$ עבור n כלשהו.

דוגמאות

1. נמצא טור מקלורין של $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ עבור הפונקציה $f(x)=\frac1{1-x}$: ידוע לנו ש-$\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$ עבור $|x|<1$. לפי משפט 4 טור זה הוא בהכרח טור טיילור של f סביב 0, כלומר זה טור מקלורן של f. $\blacksquare$
2. נמצא טור טיילור של $f(x)=\frac1{1-x}$ סביב $x_0=\frac12$, ז"א $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n$.
   דרך 1:
   $\begin{align}f(x)&=(1-x)^{-1}\\f'(x)&=(1-x)^{-2}\\f''(x)&=2(1-x)^{-3}\\f^{(3)}(x)&=6(1-x)^{-4}\\f^{(n)}(x)&=n!(1-x)^{-n-1}\end{align}$
   נציב $x=\frac12$ לקבל $f\left(\frac12\right)=2,\ \dots,\ f^{(n)}\left(\frac12\right)=n!2^{n+1}$ ולכן הטור הוא $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n=\sum_{n=0}^\infty2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n$. לצערנו עדיין לא ניתן לדעת בוודאות שהטור אכן מתכנס ל-f כי לא וידאנו שהשארית שואפת ל-0.
   דרך 2: $\frac1{1-x}=\frac1{\frac12-\left(x-\frac12\right)}=2\frac1{1-2\left(x-\frac12\right)}=2\sum_{n=0}^\infty\left(2\left(x-\frac12\right)\right)^n$. בניסיון השני קיבלנו את אותה התוצאה מהר יותר, והפעם אנו גם יודעים שהטור מתכנס ל-f כאשר $\left|2\left(x-\frac12\right)\right|<1$, כלומר כש-$\left|x-\frac12\right|<\frac12$. $\blacksquare$
   נסכם: $\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n$ בקטע $(0,1)$ ויש כאן שני טורי חזקות שונים לגמרי שמתכנסים לאותה פונקציה. זה לא סותר את משפט היחידות כי לטורים אלה יש מרכז שונה.
3. נמצא את טור מקלורין של $f(x)=\arctan(x)$, ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.
   דרך 1: טור מקלורין הוא $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$, כאשר
   $\begin{align}f(x)&=\arctan(x)\\f'(x)&=\frac1{1+x^2}\\f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}\end{align}$
   מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.
   דרך 2: תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציה $g(x)=\frac1{1+x^2}$ ואז נוכל לקבל את הטור עבור $\arctan(x)$ ע"י אינגרציה איבר-איבר. כעת: $\frac1{1+x^2}=\frac1{1-\left(-x^2\right)}=\sum_{n=0}^\infty \left(-x^2\right)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}$ עבור $\left|-x^2\right|<1$, ז"א $|x|<1$. עתה נעשה אינטגרציה: $\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_0^x(-1)^nt^{2n}\mathrm dt$ לכל $|x|<1$, ולכן $\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$. עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של $\arctan$ בתחום $(-1,1)$. $\blacksquare$ אם מותר להציב $x=1$ אז נקבל את המשוואה היפה $\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\dots$, אבל מכיוון שלא מתקיים $|1|<1$ צריך להוכיח זאת (אך נעיר שלפי הוכחות שלא נפרט הטענה נכונה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-$\frac\pi6=\frac{\frac1\sqrt3}1-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^3}3+\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^5}5-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^7}7+\dots=\frac1\sqrt3\left(1-\frac1{3\cdot3}+\frac1{3^2\cdot5}-\frac1{3^3\cdot7}+\dots\right)$.
4. מצאו את טור טיילור ל-$\ln(x)$ סביב $x_0=1$ וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-$\ln(x)$.
   דרך 1: לפי הנוסחה לטור טיילור נקבל $\sum_{n=0}^\infty\frac{\ln^{(n)}(1)}(x-1)^n$ ואז נבדוק מתי השארית $R_N(x)$ שואפת ל-0.
   דרך 2: $\ln(x)=\int\limits_1^x\frac{\mathrm dt}t$ ולכן תחילה נפתח $\frac1x$: $\frac1x=\frac1{1-(-x+1)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(x-1)^n$ כאשר $|x-1|<1$. כעת $\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_1^x(-1)^n(x-1)^n\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty$ בתחום $|x-1|<1$. $\blacksquare$ עבור $x=2$ לא מתקיים $|x-1|<1$, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל $\ln(2)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots$ (נעיר שזה נכון).
5. (תרגיל ממבחן) נגדיר $f(x)=x^7e^{-x^2}$. מצאו $f^{(19)}(0)$: לכל $t\in\mathbb R$ מתקיים $e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}$ ונציב $t=-x^2$ לקבל $f(x)=x^7e^{-x^2}=x^7\sum_{n=0}^\infty{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n+7}$. לפי משפט 4 מתקיים המקדם $a_{19}$ של $x^{19}$ מקיים $a_{19}=\frac{(-1)^6}{6!}=\frac{f^{(19)}(0)}{19!}$ ולכן $f^{(19)}(0)=\frac{19!}{6!}$. $\blacksquare$