משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.5.11

את רשימת המשפטים לאינטגרלים לא אמיתיים מסוג II לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-3.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.

אינטגרל לא אמיתי, סוג II (המשך)

דוגמה

$\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}\mathrm dx$ - מתכנס או מתבדר?

נסמן $f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}$. לפונקציה יש נקודת אי רציפות סליקה באפס כי $\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}x\cdot\frac x\sqrt x\cdot\frac1{\sqrt{|x-\pi|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0$. כמו כן יש סינגולריות רק ב-$\pi$ ונרשום: $I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f$.

f אי-שלילית בקטע $[0,\pi]$. לכן נגדיר $g(x):=\frac1\sqrt{x-\pi}$ ונחשב $\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\pi-x}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1\sqrt\pi\in\mathbb R$ ולכן $I_1$ מתכנס אם $\int\limits_0^\pi g$ מתכנס, מה שאכן מתקיים: $\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi$. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות $I_2$ (השוואה עם $\frac{-1}\sqrt{x-\pi}$). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. $\blacksquare$

נושא שני:
סדרות וטורים של פונקציות

הגדרה: תהי $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ סדרת פונקציות המוגדרות כולן בקטע $I$. לכל $x_0\in I$ נקבל סדרת מספרים $\{f_n(x_0)\}_{n=1}^\infty$ ואפשר לדון ב-$\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)$. נגדיר את "תחום ההתכנסות" $J\subseteq I$ של הסדרה כ-$J:=\left\{x\in I:\lim_{n\to\infty}f_n(x)\in\mathbb R\right\}$. כמו כן מוגדרת "פונקציה גבולית" $f:J\to\mathbb R$ כך ש-$f=\lim_{n\to\infty}f_n$.

יש 2 נקודות מבט בהן ניתן להסתכל על סדרת פונקציות:

1. סדרת פונקציות $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ היא פשוט אינסוף סדרות של מספרים $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$, עם $x\in I$ לכל סדרה. זהו מבט נקודתי.
2. סדרת פונקציות היא, כשמה, סדרה של פונקציות ששואפות לפונקציה חדשה - הפונקציה הגבולית. זהו מבט פונקציונלי.

הגדרה: נניח שיש לנו סדרת פונקציות $\{u_n\}_{n=1}^\infty$ על I. אפשר לבנות טור $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ כאשר התכנסות הטור נקבעת עפ"י הסכומים החלקיים $S_N(x)=\sum_{n=1}^N u_n(x)$ וה-$\{S_N\}_{N=1}^\infty$ סדרת פונקציות על I. תחום ההתכנסות ל-$S_N$, לפי ההגדרה, $J=\left\{x\in I:\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\in\mathbb R\right\}$. כמו כן הפונקציה הגבולית של הסדרה היא $S(x)=\lim_{N\to\infty}S_N(x)$.

דוגמאות

1. $\forall n\in\mathbb N:\ f_n(x)=x^n$. זאת סדרת פונקציות על $\mathbb R$ ומתקיים $f(x)=\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&|x|<1\\1&x=1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}$. לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע $J=(-1,1]$. נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב-$x=1$ אעפ"י שכל ה-$f_n$ רציפות בנקודה זו.
2. נחשב את הפונקציה הגבולית עבור $f_n(x)=\frac{n^2x}{1+(nx)^2}$. עבור $x=0$ מתקיים $\forall n:\ f_n(0)=0$. עבור $x\ne0$ נקבל $\lim_{n\to\infty}\frac{n^2x}{1+(nx)^2}=\lim\frac x{\frac1{n^2}+x^2}=\frac1x$. לכן הפונקציה הגבולית היא $f(x)=\begin{cases}0&x=0\\\frac1x&x\ne0\end{cases}$.
3. הטור הנדסי $\sum_{n=0}^\infty x^n$ שווה ל-$\begin{cases}\frac1{1-x}&|x|<1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}$. תחום ההתכנסות הוא $(-1,1)$.
4. נבדוק למה שווה הטור $\sum_{n=1}^\infty nx^n$ עבור $|x|<1$:
   $\begin{align}\sum_{n=1}^\infty nx^n&=\left(x+x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^3+\dots\right)+\dots\\&=\frac x{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\dots\\&=\frac x{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n\\&=\frac x{(1-x)^2}\end{align}$
   $\blacksquare$
   גישה אחרת (מבט פונקציונלי): נגדיר $S(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}$. אם יש צדק בעולם $S'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}$ ולכן $\sum_{n=1}^\infty nx^n=S(x)=x\cdot S'(x)=x\cdot\frac1{(1-x)^2}$, אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-$\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)$), ועוד לא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה נכון).
5. נגדיר $f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n$. לכן הפונקציה הגבולית היא $f(x)=\lim_{n\to\infty}\sin\left(n^2x\right)\frac1n=0$. אם יש צדק בעולם אז $f_n(x)\to0\implies f_n'(x)\to0'=0$, אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט $f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)$ ולכן $\lim_{n\to\infty}f_n'(x)$ לא קיים לאף $x\in\mathbb R$.
6. נתבונן בטור $S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ ונוכיח כי $\forall x\in\mathbb R:\ S(x)=e^x$. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: $e^x=P_N(x)+R_N(x)$ וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-$\forall x\in\mathbb R:\ P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}\ \and\ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}=\frac{e^c}{(N+1)!}x^{N+1}$ עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים $S(x)=\lim{N\to\infty}P_N(x)=\lim_{N\to\infty} e^x-R_N(x)$. כדי להראות ש-$S(x)=e^x$ נותר להוכיח ש-$\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0$. ובכן נקח $x\in\mathbb R$ כרצונינו ונשים לב כי $\forall N:\ 0\le|R_N(x)|\le\frac{e^{|x|}|x|^{N+1}}{(N+1)!}=e^{|x|}\frac{|x|}1\frac{|x|}2\frac{|x|}3\cdots\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor}\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor+1}\cdots\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor+(N+1-\lfloor x\rfloor)}\to0$
   וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. $\blacksquare$ עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: $S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$ ולכן $S'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=S(x)$. נגדיר $f(x)=S(x)\cdot e^{-x}$ ולכן $f'(x)=S'(x)e^{-x}+S(x)\left(-e^{-x}\right)=S(x)e^{-x}-S(x)e^{-x}=0$ ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן $c=f(x)$ ונובע ש-$S(x)=f(x)e^x=ce^x$. מהגדרת S נובע כי $S(0)=1$ ז"א $1=S(0)=ce^0=c$, ומכאן נובע ש-$S(x)=e^x$ ובפרט $e=e^1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}$. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).

---

טענה: e אינו רציונלי.

הוכחה: נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן $e=\frac pq$ עבור $p,q\in\mathbb N$. לכן $q!e=(q-1)!p\in\mathbb N$, אבל $q!e=\underbrace{q!+q!+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\dots+\frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\dots}_{<\sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n}=\frac1{q-1}<1}$, כלומר $q!e$ הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה. $\blacksquare$

הגדרה: תהי $\{f_n\}$ סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל $x\in I$ קיים הגבול $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$. ניתן שתי הגדרות שקולות לשאיפה של $f_n$ ל-f במידה ושווה ב-I:

• לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>n_0$ אז $|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon$ לכל $x\in I$.
• $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I} |f(x)-f_n(x)|=0$.