משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.6.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

השתנות חסומה (המשך)

הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב-[a,b] ותהי P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} חלוקה של [a,b] (a=x_0<x_1<\dots<x_n=b). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|. כמו כן נגדיר את \overset b\underset aV f, המסומן גם כ-\overset b\underset aT f ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור \sup_P\ v(f,P). אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-[a,b].

דוגמה: באחת מההרצאות הקודמות הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב-\mathbb R.

משפט 1

נניח ש-g ו-h הן פונקציות מונוטוניות עולות ב-[a,b] ונגדיר f=g-h לכל נקודה ב-[a,b]. אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע.

הוכחה

נבחר חלוקה כלשהי P של [a,b] שנקודותיה הן a=x_0<x_1<\dots<x_n=b. לכן

\sum_{k=1}^n\vert f(x_k)-f(x_{k-1})\vert = v(f,P)
\sum_{k=1}^n\vert g(x_k)-g(x_{k-1})-(h(x_k)-h(x_{k-1}))\vert =
\sum_{k=1}^n\vert g(x_k)-g(x_{k-1})\vert+\sum_{k=1}^n\vert h(x_k)-h(x_{k-1})\vert \le
g,h מונוטוניות עולות, לכן: \sum_{k=1}^n\Big(g(x_k)-g(x_{k-1})\Big)+\sum_{k=1}^n\Big(h(x_k)-h(x_{k-1})\Big) =
הטורים הללו טלסקופיים: g(b)-g(a)+h(b)-h(a) =

תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן \overset b\underset aV f=\sup_P\ v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)<\infty. \blacksquare

משפט 2

תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-[a,b]. אזי קיימות פונקציות עולות g,h ב-[a,b] כך ש-\forall x\in[a,b]:\ f(x)=g(x)-h(x).

הקדמה להוכחה

לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים:

תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן a=x_0<x_1<\dots<x_m=b. כמו כן נגדיר לכל x את x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x<0\end{cases} ו-x^-=\begin{cases}0&x>0\\-x&x\le 0\end{cases}. לכן תמיד x^+,x^-\ge 0 ומתקיים x=x^+-x^- ו-|x|=x^++x^-. עתה נגדיר p=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+ ו-n=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-. לכן v(f,Q)=p+n. עוד נגדיר P=\sup_Q\ p ו-N=\sup_Q\ n. נסמן T=\overset b\underset aV f ו-t=v(f,Q), לכן מתקיים t=p+n ו-T=\sup_Q\ t. נעיר שלכל Q מתקיים t=p+n\le P+N ולפיכך T\le P+N. לבסוף, נשים לב ש-P,N\le T (כי n,p\ge0 ולכן \sup\ p,\sup\ n\le\sup\ (p+n)).

למה

בסימונים הנ"ל:

  1. f(b)-f(a)=P-N
  2. T=P+N
הוכחת הלמה
  1. מתקיים
    \begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+-\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-\\&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=f(b)-f(a)\end{align}
    נסיק ש-p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N ולכן P=\sup_Q\ p\le f(b)-f(a)+N. הראנו כבר ש-N\le T<\infty ולכן מותר להעביר אגף: P-N\le f(b)-f(a). כמו כן נסיק ש-n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a)) ולכן N\le P-(f(b)-f(a)). עתה נעביר אגף לקבל P-N\ge f(b)-f(a) ולכן P-N=f(b)-f(a). \blacksquare
  2. מתקיים T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N). נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל T\ge 2P+N-P=N+P. כבר הראנו ש-T\le N+P ולכן T=N+P. \blacksquare

הוכחה

לכל x\in[a,b] נגדיר g(x)=\overset x\underset aP f, כאשר \overset x\underset aP f=\sup_Q\ p וכל Q היא חלוקה של הקטע [a,x]. באופן דומה נגדיר h(x)=\overset x\underset aN f. לפי סעיף 1 של הלמה, \forall x\in[a,b]:\ f(x)-f(a)=\overset x\underset aP f-\overset x\underset aN f=g(x)-h(x) ולכן f(x)=g(x)-(h(x)-f(a)). לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן g(x)=\sup_Q\ \sum_{k=1}^m(f(x_k)-f(x_{k-1}))^+ ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש-(f(x_k)-f(x_{k-1}))^\pm\ge0 ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם h-f(a) מונוטונית עולה). \blacksquare

מסקנה 1

תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-[a,b]. אזי לכל x_0\in[a,b) קיים \lim_{x\to x_0^+} f(x) ולכל x_0\in(a,b] קיים \lim_{x\to x_0^-} f(x).

הוכחה

נגדיר g,h עולות כך ש-f=g-h. קל לראות שהן חסומות ב-[a,b] (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמטיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע. \blacksquare

מסקנה 2

תהי f פונקציה בעלת השתנות חסומה ב-[a,b]. אזי f אינטגרבילית ב-[a,b].

הוכחה

תהנה g,h מונוטוניות כך ש-f=g-h. לפיכך הן אינטגרביליות בקטע ולכן גם הפרשן הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע. \blacksquare