משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11

הגדרה: אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות $\int\limits_a^b f$ שלמדנו עד עכשיו - גבול של סכומי רימן וסכומי דרבו. אם f רציפה ניתן, לפעמים, לחשב את האינטגרל לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ. השלב העיקרי בחישוב זה הוא מציאת הפונקציה הקדומה, ולכן הגדירו אינטגרל לא מסויים - ללא גבולות - $\int f$, שפתרונו פשוט $F(x)+c$ עבור F פונקציה קדומה ל-f.

טבלה של אינטגרלים פשוטים:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): \begin{array}{l|l} f(x) & \int f(x)\mathrm dx\text{\color{gray}+constant}\\ \hline c & cx\\ x^\alpha\quad(\alpha\ne-1) & \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\\ x^{-1} & \ln|x|\\ \sin(x) & -\cos(x)\\ \cos(x) & \sin(x)\\ \sec^2(x) & \tan(x)\\ e^x & e^x\\ a^x\quad(1\ne a>0) & \frac{a^x}{\ln(a)}\\ \frac1{1+x^2} & \arctan\left(\frac xa\right)\\ \frac1\sqrt{1-x^2} & \arcsin(x)\\ \frac1\sqrt{a^2-x^2} & \arcsin\left(\frac xa\right) \end{array}

בדיקות

1. נבדוק $\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac1x$ (עבור $x\ne0$): לפי ההגדרה $\ln|x|=\begin{cases}\ln(x)&x>0\\\ln(-x)&x<0\end{cases}$. לכן עבור $x>0$ מתקיים $\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln(x)=\frac1x$ ועבור $x<0$, $\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln(-x)=-\frac1{-x}=\frac1x$. $\blacksquare$
2. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dx}\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)=\frac1a\frac1{1+\left(\frac xa\right)^2\frac1a\end{align}

1. $\frac\mathrm d{\mathrm dx}\arcsin\left(\frac xa\right)=\frac1\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}\frac1a=\frac1\sqrt{a^2-x^2}$

דוגמאות חישוב

1. $\int\sqrt x\mathrm dx=\int x^\frac12\mathrm dx=\frac{x^\frac32}{3/2}+c=\frac23x^\frac32+x$
2. $\int\frac1\sqrt{x-7}\mathrm dx=\int(x-7)^{-\frac12}\mathrm dx=2(x-7)^\frac12+c$
3. $\int\frac{\mathrm dx}{(3x-7)^12}=\int(3x-7)^{-12}\mathrm dx=\frac{(3x-7)^{-11}}{-11\cdot3}+c$ (מהפיכת כלל השרשרת)
4. $\int e^{-5x}\mathrm dx=\int\frac{e^{-5x}}{-5}+c$
5. $\int\sin\left(x^2\right)\mathrm dx\ne\frac{-cos(x^2)}{2}+c$ (למעשה, האינטגרל לא אלמנטרי)
6. $\int3^xe^x\mathrm dx=\int(3e)^x\mathrm dx=\frac{(3e)^x}{\ln(3e)}+c=\frac{(3e)^x}{1+\ln(3)}+c$
7. $\int\tan(x)\mathrm dx=\int(\sec^2(x)-1)\mathrm dx=\tan(x)-x+c$
8. $\int\frac{1+\cos(x)}{1+\cos^2(2x)}\mathrm dx=???$ (למרות שהפונקציה אלמנטרית אנו לא יודעים. המסר הוא שהאינטגרציה קשה)
9. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \frac{\mathrm dx}{(x-3)(x-4)}=\int\frac{(x-3)-(x-4)}{(x-3)(x-4)}\mathrm dx=\int\frac1\{\mathrm dx}{x-3}+\frac{\mathrm dx}{x-4}=\ln|x-3|+\ln|x-4|+c

כלל פשוט: האינטגרל לינארי, כלומר $\int(f+cg)=\int f+c\int g$.

אינטגרציה בחלקים

כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז $\frac\mathrm d{\mathrm dx}f(x)g(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$. אם f' ו-g' רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה:

$\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx$.

דוגמאות חישוב

1. $\int \underbrace{x}_{f(x)=x}\underbrace{\cos(x)}_{g'(x)=\cos(x)}\mathrm dx=x\sin(x)-\int1\sin(x)\mathrm dx=x\sin(x)+\cos(x)+c$. אם ננסה לפתור אינטגרל זה בדרך הפוכה $\int \underbrace{x}_{g'(x)=x}\underbrace{\cos(x)}_{f(x)=\cos(x)}\mathrm dx=\cos(x)\frac{x^2}2-\int-\sin(x)\frac{x^2}2\mathrm dx$, ואינטגרל זה יותר קשה מהאינטגרל המקורי.
2. $x^2e^{3x}\mathrm dx=\frac{x^2e^{3x}}3-\int\frac{2xe^{3x}}3\mathrm dx$. נעשה שוב אינטגרציה בחלקים: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\frac{2xe^{3x}}3\mathrm dx=\frac{xe^{3x}3-\int\frac{e^{3x}}3\mathrm dx=\frac{xe^{3x}3-\frac{e^{3x}}9+c

ובסה"כ $x^2e^{3x}\mathrm dx=\frac{x^2e^{3x}}3-\frac29xe^{3x}+\frac2{27}e^{3x}+c$

1. $\int x^3\ln(x)\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\int\frac1x\frac{x^4}4\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\frac{x^4}{16}+c$
2. $\int\ln(x)\mathrm dx=\int1\ln(x)\mathrm dx=x\ln(x)-\int\frac1xx\mathrm dx=x\ln(x)-x+c$
3. $\int e^x\cos(x)\mathrm dx=e^x\sin(x)-\int e^x\sin(x)\mathrm dx=e^x\sin(x)+e^x\cos(x)+\int e^x (-\cos(x))\mathrm dx$ ולכן $\int e^x\cos(x)\mathrm dx=\frac{e^x}2(\sin(x)+\cos(x))+c$

שיטת ההצבה או שינוי משתנים

נתחיל עם כלל השרשרת $\frac\mathrm d{\mathrm dx} f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$, לכן אם F קדומה ל-f אז $\frac\mathrm d{\mathrm dx} F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)$ ולפיכך $\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c$

יש דרך פורמלית לפתור $\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx$ ע"י "הצבה" $y=g(x)$. אם כן $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=g'(x)$. נעביר אגף $\mathrm dy=g'(x)\mathrm dx$. נחזור לאינטגרל ונקבל $\int f(y)\mathrm dy=F(y)+c=F(g(x))+c$

דוגמאות חישוב

1. $\int x^2 e^{x^3}\mathrm dx$. נציב $y=x^3$ ולכן $\mathrm dy = 3x^2\mathrm dx$ ולכן האינטגרל שווה ל-$\int e^y\frac13\mathrm dy=\frac13e^y+c=\frac13e^{x^3}+c$
2. $\int\frac{\ln(x)}x\mathrm dx$. נציב $y=\ln(x)$ ואז $\mathrm dy=\frac1x\mathrm dx$ והאינטגרל הוא $\int y\mathrm dy=\frac{y^2}2+c=\frac12(\ln(x))^2+c$
3. $\int\frac x\sqrt{x^2+1}\mathrm dx$. נציב $y=x^2+1$ והאינטגרל שווה ל-$\int\frac{\tfrac12\mathrm dy}\sqrt y= frac12\int y^{-\frac12}\mathrm dy=y^{\frac12}+c=\sqrt{x^2+1}+c$
4. $\int\tan(x)\mathrm dx=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\mathrm dx$ ועבור $y=\cos(x)$ נקבל $\int\frac{-\mathrm dy}y=-\ln|y|+c=-\ln|\cos(x)|+c$
5. $\int\cot(x)\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\mathrm dx=\ln|\sin(x)|+c$
6. $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx$. נציב $y=f(x)$ ונקבל $\int\frac{\mathrm dy}y=\ln|y|+c=\ln|f(x)|+c$. לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף $\int\tan(x)\mathrm dx=-\int\frac{\cos'(x)}{\cos(x)}\mathrm dx=-\ln|\cos(x)|+c$.
7. $\int\frac{f'(x)}{f^2(x)}\mathrm dx$. נציב $y=f(x)$ ונקבל $\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=-\frac1y+c=-\frac1{f(x)}+c$
8. $\int\frac{x^5\mathrm dx}\sqrt{1-x^3}$. נציב $y=1-x^3$ ואז $\frac{(1-y)\mathrm dy}{-3}=x^5\mathrm dx$. האינטגרל שווה ל-$\int\frac{\frac{1-y}{-3}\mathrm dy}\sqrt y=\int\left(\frac13\sqrt y-\frac1{\sqrt y}\right)\mathrm dy=\frac29\left(1-x^3\right)^{3/2}-\frac23\left(1-x^3\right)^{1/2}+c$
9. $\int\arcsin(x)\mathrm dx$ נציב $y=\arcsin(x)$ ומכאן ש-$\mathrm dx=\cos(y)\mathrm dy$ מכאן שהאינטגרל הוא עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \amthrm לא מוכרת): \int y\cos(y)\mathrm dy=y\sin(y)-\int1\sin(y)\amthrm dy=y\sin(y)+\cos(y)=x\arcsin(x)+\cos(\arcsin(x))+c

. גרף (1). דרך אחרת: $\int\arcsin(x)\mathrm dx=\int1\arcsin(x)\mathrm dx=x\arcsin(x)-\int\frac x\sqrt{1-x^2}\mathrm dx$. נגדיר $y=1-x^2$ ונקבל $\int\frac x\sqrt{1-x^2}=\int\frac{1/2\mathrm dy}\sqrt y=-\sqrt y+c=x\arcsin(x)+\frac1\sqrt{1-x^2}+c$

1. $\int e^\sqrt x\mathrm dx$. נציב $y=x^2$ לקבל $\int e^y2y\mathrm dy=2ye^t-\int2e^t\mathrm dy=2\sqrt xe^\sqrt x-2e^\sqrt x+c$.
2. $\int\sin(x)\cos(x)\mathrm dx$. נבחר $y=\sin(y)$ לקבל $\int y\mathrm dy=\frac12y^2+c=\frac12\sin^2(x)+c$. שיטה אחרת: $y=\cos(x)$ ו-עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \iny לא מוכרת): \iny-y\mathrm dy=-\frac12\cos^2(x)+c

. שיטה אחרונה: $=\int\frac12\sin(2x)\mathrm dx=-\frac14\cos(2x)+c$. קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: $-\frac12\cos^2(x)-\frac12\sin^2(x)=-\frac12(\cos^2(x)+\sin^2(x))=-\frac12$