גרסה מ־19:23, 9 במאי 2011

תוכן עניינים

1 התכנסות במידה שווה (המשך)

התכנסות במידה שווה (המשך)

תזכורת: תהי $\{f_n\}$ סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל $x\in I$ קיים הגבול $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ (כלומר, הפונקציה הגבולית מוגדרת בכל I). הגדרנו ש- $f_n\to f$ במידה שווה ב-I אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>n_0$ אז $|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon$ לכל $x\in I$ .

הערה

אם $f_n\to f$ במ"ש על I אז לכל $x\in I$ ברור שמתקיים $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ , כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.

משפט 1

יהיו קבוצת הפונקציות $\{f_n\}$ והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:

$f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ במ"ש ב-I
$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon$

הוכחה

ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את $a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|$ אז יש להוכיח כי $\lim_{n\to\infty} a_n=0$ . אבל אם $\varepsilon>0$ ידוע כי קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $n>n_0$ מתקיים $|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2$ לכל $x\in I$ . נובע מיד שאם $n>n_0$ אז $0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$ ולכן $\forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon$ והוכחנו $a_n\to0$ , כדרוש.

לצד השני יהי $\varepsilon>0$ נתון. ידוע כי קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $n>n_0$ מתקיים $\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon$ ולכן $\forall n>n_0:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon$ עבור $x\in I$ . $\blacksquare$

דוגמה

בקטע $[0,1)$ ברור כי $\lim_{n\to\infty}x^n=0$ .

נראה כי ההתכנסות נקודתית ולא במ"ש: $\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|=1\ne0$ . $\blacksquare$

נעיר כי בקטע $[0,r]$ עבור $r<1$ דווקא יש התכנסות במ"ש: $\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,r]}|x^n-0|=r^n$ ולכן $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}r^n=0$ , כדרוש. $\blacksquare$

משפט 2

נניח ש- $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$ במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה $x_0\in I$ כל $f_n$ רציפה ב- $x_0$ . אזי גם f רציפה ב- $x_0$ .

הוכחה

מסקנה

בתנאים של משפט 2, אם כל $f_n$ רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.

דוגמה

בקטע $[0,1]$ ברור כי $\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}$ . כאן כל $x^n$ רציפה ב- $[0,1]$ ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.

משפט 3

נניח שלכל n $f_n$ מוגדרת ואינטגרבילית ב- $I=[a,b]$ ונניח שקיים $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים $\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n$ .

הוכחה

לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה- $f_n$ רציפות למקוטעין), ונסתפק בהוכחה לכך ש- $\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n$ . שקול להוכיח ש- $\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f-\int\limits_a^b f_n=0$ . ובכן יהי $\varepsilon>0$ נתון. כיוון ש- $f_n\to f$ במ"ש על I $\exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \sup_{x\in[a,b]}|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon{b-a}$ . נובע שלכל $n>n_0$ $\left|\int\limits_a^b(f-f_n)\right|\le\int\limits_a^b|f-f_n|\le(b-a)\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<(b-a)\frac\varepsilon{b-a}=\varepsilon$ . מכאן נובע ש- $\lim_{n\to\infty}\left|\int\limits_a^b (f-f_n)\right|=0$ . $\blacksquare$

דוגמה

משמאל נתונה הפונקציה $f_n$ עבור $n\in\mathbb N$ כלשהו.

נוכיח כי $\forall x\in[0,1]:\ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$ : עבור $x=0$ לכל n $f_n(0)=0$ ולכן $\lim_{n\to\infty} f_n(0)=0$ . אם $x\in(0,1]$ אז קיים $n_0\in\mathbb N$ כך ש- $\frac2{n_0}<x$ ולכן לכל $n>n_0$ מתקיים $\frac2n<\frac2{n_0}<x$ , מה שגורר כי $f_n(x)=0$ לכל $n\in\mathbb N$ ונובע ש- $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$ . בזה הוכחנו את הטענה ש- $0=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ נקודתית ב- $[0,1]$ . $\blacksquare$ נעיר שההתכנסות "מאוד" לא במ"ש כי $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=n\to\infty$ .

נוכיח כי

\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx

(כאשר

f(x)=0

היא הפונקציה הגבולית): לכל n

\int\limits_0^1 f_n=

השטח מתחת לגרף

=\frac12\cdot n\cdot\frac2n=1\ne0

\blacksquare

השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם $f_n\to f$ במ"ש ב-I אז $f_n'\to f'$ ב-I. דוגמה נגדית: נגדיר $f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n$ .

נוכיח ש- $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$ במ"ש בכל $\mathbb R$ : $\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin\left(n^2x\right)}n-0\right|=\sup_{x\in\mathbb R}\frac{\left|\sin\left(n^2x\right)\right|}n=\frac1n\to0$ .
נוכיח $f_n'\not\to0'=0$ : לכל n ולכל $x\in\mathbb R$ מתקיים $f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)$ ועבור $x\in\mathbb R$ כלשהו $\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty} n\cos\left(n^2x\right)$ שאינו קיים. $\blacksquare$

משפט 4

תהי $\{f_n\}$ סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות $f_n'$ בקטע $[a,b]$ . נניח שהסדרה $\{f_n\}$ מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) $x_0\in[a,b]$ והסדרה $\{f_n'\}$ מתכנסת במ"ש ל-g ב- $[a,b]$ . אזי $\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ קיים לכל $x\in[a,b]$ ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב- $[a,b]$ . יתר על כן $\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)$ .

הוכחה

נקח $x\in[a,b]$ כלשהי. לכל n הפונקציה $f_n'$ רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר $f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'$ . נעביר אגף: $f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'$ . כעת נתון שקיים $\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)$ , נקרא לו $\alpha$ . יתר על כן נתון ש- $\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)$ במ"ש ב- $[a,b]$ וכל שכן $\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)$ במ"ש בתת הקטע בין $x_0$ ל-x. נסיק ממשפט 3 ש- $\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g$ נובע שלכל $x\in[a,b]$ קיים $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g$ והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש- $\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)$ . לפי הנתון כל $f_n'$ רציפה ו- $g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)$ במ"ש על $[a,b]$ . לכן משפט 2 נותן ש- $g$ רציפה ב- $[a,b]$ וכיוון שלכל $x\in[a,b]$ מתקיים $f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g$ החלק הראשון של המשפט היסודי נותן $f'=g$ לכל $x\in[a,b]$ . $\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 =התכנסות במידה שווה {{הערה|(המשך)}}=
+'''תזכורת:''' תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל <math>x\in I</math> קיים הגבול <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> (כלומר, הפונקציה הגבולית מוגדרת בכל I). הגדרנו ש-<math>f_n\to f</math> במידה שווה ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>.
 ==הערה==
 אם <math>f_n\to f</math> במ"ש על I אז לכל <math>x\in I</math> ברור שמתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>, כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.
@@ שורה 8: / שורה 11: @@
 * <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math>
 ===הוכחה===
-ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon/2</math> לכל <math>x\in I</math>. נובע מיד שאם <math>n>n_0</math> אז <math>0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon/2<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon</math> והוכחנו <math>a_n\to0</math>, כדרוש.
+ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. נובע מיד שאם <math>n>n_0</math> אז <math>0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon</math> והוכחנו <math>a_n\to0</math>, כדרוש.
-לצד השני יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> ולכן לכל <math>n>n_0</math>, <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>. {{משל}}
+לצד השני יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> עבור <math>x\in I</math>. {{משל}}
 ==דוגמה==
-בקטע <math>[0,1)</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math>. טענה: הגבול נקודתי ולא במ"ש. הוכחה: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|<1</math>. {{משל}} נעיר כי בקטע <math>[0,r]</math> עבור <math>r<1</math> דווקא '''יש''' התכנסות במ"ש. הוכחה: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,r]}|x^n-0|=r^n</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}r^n=0</math>, כדרוש. {{משל}}
+[[קובץ:גרף חזקות שונות של x.png|ממוזער|300px|ימין]]
+בקטע <math>[0,1)</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math>.
+נראה כי ההתכנסות נקודתית ולא במ"ש: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|=1\ne0</math>. {{משל}}
+נעיר כי בקטע <math>[0,r]</math> עבור <math>r<1</math> דווקא '''יש''' התכנסות במ"ש: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,r]}|x^n-0|=r^n</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}r^n=0</math>, כדרוש. {{משל}}
 ==משפט 2==
 נניח ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)</math> במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math>. אזי גם f רציפה ב-<math>x_0</math>.
 ===הוכחה===
-יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I קיים n טבעי מסויים כך שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon/3</math>. כעת נתון ש-<math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> ולכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x-x_0|<\delta</math> אז <math>|f_n(x)-f_n(x_0)|<\varepsilon/3</math> נובע שאם <math>|x_0-x|<\delta</math> אז <math>|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<\varepslon/3+\varepslon/3+\varepslon/3=\varepsilon</math>. {{משל}}
+יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I ולכן קיים n טבעי מסויים כך שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon3</math>. <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> ולכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x-x_0|<\delta</math> אז <math>|f_n(x)-f_n(x_0)|<\frac\varepsilon3</math> נובע שאם <math>|x-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon</math>. {{משל}}
 ===מסקנה===
 בתנאים של משפט 2, אם כל <math>f_n</math> רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.
-====דוגמה====
+===דוגמה===
-בקטע <math>[0,1]</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}</math>. כאן כל <math>x^n</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.
+בקטע <math>[0,1]</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}</math>. כאן כל <math>x^n</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.
 ==משפט 3==
@@ שורה 29: / שורה 38: @@
 ===הוכחה===
-לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה-<math>f_n</math> רציפות למקוטעין). נוכיח רק ש-<math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>. שקול להוכיח ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f-\int\limits_a^b f_n=0</math>. ובכן יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I <math>\exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \sup_{x\in[a,b]}|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon{b-a}</math>. נובע שלכל <math>n>n_0</math> <math>\left|\int\limits_a^b(f-f_n)\right|\le\int\limits_a^b|f-f_n|\le(b-a)\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<(b-a)\frac\varepsilon{b-a}=\varepsilon</math>. מכאן נובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}\left|\int\limits_a^b (f-f_n)\right|=0</math>. {{משל}}
+לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה-<math>f_n</math> רציפות למקוטעין), ונסתפק בהוכחה לכך ש-<math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>. שקול להוכיח ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f-\int\limits_a^b f_n=0</math>. ובכן יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I <math>\exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \sup_{x\in[a,b]}|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon{b-a}</math>. נובע שלכל <math>n>n_0</math> <math>\left|\int\limits_a^b(f-f_n)\right|\le\int\limits_a^b|f-f_n|\le(b-a)\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<(b-a)\frac\varepsilon{b-a}=\varepsilon</math>. מכאן נובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}\left|\int\limits_a^b (f-f_n)\right|=0</math>. {{משל}}
 ===דוגמה===
-גרף (0,0), (1/n,n), (2/n,0), (...,0)
+[[קובץ:פונקציה בין n ל-0.png|300px|ימין]]
+משמאל נתונה הפונקציה <math>f_n</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו.
-טענה: לעל <math>x\in[0,1]</math> אז <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>. הוכחה: עבור <math>x=0</math> לכל n <math>f_n(0)=0</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0</math>. אם <math>x\in(0,1]</math> אז קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך ש-<math>2/n_0<x</math> עבור כל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>2/n<2/n_0<x</math> ולכן <math>f_n(x)=0</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math> ונובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>. בזה הוכחנו את הטענה ש-<math>0=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> נקודתית ב-<math>[0,1]</math>. נעיר שההתכנסות מאוד לא במ"ש כי עבור n כלשהו <math>a_n=\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=n\to\infty</math>.
-טענה: <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx</math> (כאשר <math>f(x)=0</math> היא הפונקציה הגבולית).
-הוכחה: לכל n השטח מתחת לגרף = <math>\int\limits_0^1 f_n</math> = 1 = <math>n\frac2n\frac12</math> שלא שואף ל-0.
+נוכיח כי <math>\forall x\in[0,1]:\ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>: עבור <math>x=0</math> לכל n <math>f_n(0)=0</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty} f_n(0)=0</math>. אם <math>x\in(0,1]</math> אז קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך ש-<math>\frac2{n_0}<x</math> ולכן לכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\frac2n<\frac2{n_0}<x</math>, מה שגורר כי <math>f_n(x)=0</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math> ונובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>. בזה הוכחנו את הטענה ש-<math>0=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> נקודתית ב-<math>[0,1]</math>. {{משל}} נעיר שההתכנסות "מאוד" לא במ"ש כי <math>\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=n\to\infty</math>.
-השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז <math>f_n'\to f'</math> ב-I.
+נוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx</math> (כאשר <math>f(x)=0</math> היא הפונקציה הגבולית): לכל n {{left|<math>\int\limits_0^1 f_n=</math> השטח מתחת לגרף <math>=\frac12\cdot n\cdot\frac2n=1\ne0</math>}} {{משל}}
-דוגמה נגדית: <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math> טענה: <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0</math> במ"ש בכל <math>\mathbb R</math>. הוכחה: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin\left(n^2x\right)}n-0\right|=\sup_{x\in\mathbb R}\left{|\sin\left(n^2x\right)|}n=\frac1n\to0</math>. טענה: <math>f_n'\not\to0'=0</math>. הוכחה: לכל n ולכל <math>x\in\mathbb R</math> מתקיים <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ועבור <math>x\in\mathbb R</math> כלשהו <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty} n\cos\left(n^2x\right)</math> שאינו קיים. {{משל}}
+השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז <math>f_n'\to f'</math> ב-I. דוגמה נגדית: נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>.
+* נוכיח ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0</math> במ"ש בכל <math>\mathbb R</math>: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin\left(n^2x\right)}n-0\right|=\sup_{x\in\mathbb R}\frac{\left|\sin\left(n^2x\right)\right|}n=\frac1n\to0</math>.
+* נוכיח <math>f_n'\not\to0'=0</math>: לכל n ולכל <math>x\in\mathbb R</math> מתקיים <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ועבור <math>x\in\mathbb R</math> כלשהו <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty} n\cos\left(n^2x\right)</math> שאינו קיים. {{משל}}
 ==משפט 4==
-תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרת רציפה <math>f_n'</math> בקטע <math>[a,b]</math>. הסדרה <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) <math>x_0\in[a,b]</math> והסדרה <math>\{f_n'\}</math> מתכנסת במ"ש ל-g ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> קיים לכל <math>x\in[a,b]</math> ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-<math>[a,b]</math>. יתר על כן <math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>.
+תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות <math>f_n'</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נניח שהסדרה <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) <math>x_0\in[a,b]</math> והסדרה <math>\{f_n'\}</math> מתכנסת במ"ש ל-g ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> קיים לכל <math>x\in[a,b]</math> ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-<math>[a,b]</math>. יתר על כן <math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>.
 ===הוכחה===
-נקח <math>x\in[a,b]</math> כלשהי. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>. נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in[a,b]</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math> לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> וכיוון שלכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math>. החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. {{משל}}
+נקח <math>x\in[a,b]</math> כלשהי. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>, נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in[a,b]</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>. לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> וכיוון שלכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. {{משל}}

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11"

גרסה מ־19:23, 9 במאי 2011

תוכן עניינים

התכנסות במידה שווה (המשך)

הערה

משפט 1

הוכחה

דוגמה

משפט 2

הוכחה

מסקנה

דוגמה

משפט 3

הוכחה

דוגמה

משפט 4

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים