תוכן עניינים

1 התכנסות במידה שווה (המשך)

התכנסות במידה שווה (המשך)

הערה

אם $f_n\to f$ במ"ש על I אז לכל $x\in I$ ברור שמתקיים $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ , כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.

משפט 1

יהיו קבוצת הפונקציות $\{f_n\}$ והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:

$f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ במ"ש ב-I
$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon$

הוכחה

ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את $a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|$ אז יש להוכיח כי $\lim_{n\to\infty} a_n=0$ . אבל אם $\varepsilon>0$ ידוע כי קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $n>n_0$ מתקיים $|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon/2$ לכל $x\in I$ . נובע מיד שאם $n>n_0$ אז $0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon/2<\varepsilon$ ולכן $\forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon$ והוכחנו $a_n\to0$ , כדרוש.

לצד השני יהי $\varepsilon>0$ נתון. ידוע כי קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $n>n_0$ מתקיים $\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon$ ולכן לכל $n>n_0$ , $|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon$ לכל $x\in I$ . $\blacksquare$

דוגמה

בקטע $[0,1)$ ברור כי $\lim_{n\to\infty}x^n=0$ . טענה: הגבול נקודתי ולא במ"ש. הוכחה: $\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|<1$ . $\blacksquare$ נעיר כי בקטע $[0,r]$ עבור $r<1$ דווקא יש התכנסות במ"ש. הוכחה: $\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,r]}|x^n-0|=r^n$ ולכן $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}r^n=0$ , כדרוש. $\blacksquare$

משפט 2

נניח ש- $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$ במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה $x_0\in I$ כל $f_n$ רציפה ב- $x_0$ . אזי גם f רציפה ב- $x_0$ .

הוכחה

מסקנה

בתנאים של משפט 2, אם כל $f_n$ רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.

דוגמה

בקטע $[0,1]$ ברור כי $\lim_{n\to\infty}=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}$ . כאן כל $x^n$ רציפה ב- $[0,1]$ ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.

משפט 3

נניח שלכל n $f_n$ מוגדרת ואינטגרבילית ב- $I=[a,b]$ ונניח שקיים $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים $\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n$ .

הוכחה

לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה- $f_n$ רציפות למקוטעין). נוכיח רק ש- $\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n$ . שקול להוכיח ש- $\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f-\int\limits_a^b f_n=0$ . ובכן יהי $\varepsilon>0$ נתון. כיוון ש- $f_n\to f$ במ"ש על I $\exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \sup_{x\in[a,b]}|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon{b-a}$ . נובע שלכל $n>n_0$ $\left|\int\limits_a^b(f-f_n)\right|\le\int\limits_a^b|f-f_n|\le(b-a)\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<(b-a)\frac\varepsilon{b-a}=\varepsilon$ . מכאן נובע ש- $\lim_{n\to\infty}\left|\int\limits_a^b (f-f_n)\right|=0$ . $\blacksquare$

דוגמה

גרף (0,0), (1/n,n), (2/n,0), (...,0)

טענה: לעל $x\in[0,1]$ אז $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$ . הוכחה: עבור $x=0$ לכל n $f_n(0)=0$ ולכן $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$ . אם $x\in(0,1]$ אז קיים $n_0\in\mathbb N$ כך ש- $2/n_0<x$ עבור כל $n>n_0$ מתקיים $2/n<2/n_0<x$ ולכן $f_n(x)=0$ לכל $n\in\mathbb N$ ונובע ש- $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$ . בזה הוכחנו את הטענה ש- $0=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ נקודתית ב- $[0,1]$ . נעיר שההתכנסות מאוד לא במ"ש כי עבור n כלשהו $a_n=\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=n\to\infty$ .

טענה: $\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx$ (כאשר $f(x)=0$ היא הפונקציה הגבולית).

הוכחה: לכל n השטח מתחת לגרף = $\int\limits_0^1 f_n$ = 1 = $n\frac2n\frac12$ שלא שואף ל-0.

השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם $f_n\to f$ במ"ש ב-I אז $f_n'\to f'$ ב-I.

דוגמה נגדית: $f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n$ טענה: $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$ במ"ש בכל $\mathbb R$ . הוכחה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin\left(n^2x\right)}n-0\right|=\sup_{x\in\mathbb R}\left{|\sin\left(n^2x\right)|}n=\frac1n\to0 . טענה: $f_n'\not\to0'=0$ . הוכחה: לכל n ולכל $x\in\mathbb R$ מתקיים $f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)$ ועבור $x\in\mathbb R$ כלשהו $\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty} n\cos\left(n^2x\right)$ שאינו קיים. $\blacksquare$

משפט 4

תהי $\{f_n\}$ סדרת פונקציות בעלות נגזרת רציפה $f_n'$ בקטע $[a,b]$ . הסדרה $\{f_n\}$ מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) $x_0\in[a,b]$ והסדרה $\{f_n'\}$ מתכנסת במ"ש ל-g ב- $[a,b]$ . אזי $\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ קיים לכל $x\in[a,b]$ ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב- $[a,b]$ . יתר על כן $\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)$ .

הוכחה

נקח $x\in[a,b]$ כלשהי. לכל n הפונקציה $f_n'$ רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר $f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'$ . נעביר אגף: $f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'$ . כעת נתון שקיים $\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ . נקרא לו $\alpha$ . יתר על כן נתון ש- $\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)$ במ"ש ב- $[a,b]$ וכל שכן $\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)$ במ"ש בתת הקטע בין $x_0$ ל-x. נסיק ממשפט 3 ש- $\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g$ נובע שלכל $x\in[a,b]$ קיים $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g$ והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש- $\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)$ לפי הנתון כל $f_n'$ רציפה ו- $g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)$ במ"ש על $[a,b]$ . לכן משפט 2 נותן ש- $g$ רציפה ב- $[a,b]$ וכיוון שלכל $x\in[a,b]$ מתקיים $f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g$ . החלק הראשון של המשפט היסודי נותן $f'=g$ לכל $x\in[a,b]$ . $\blacksquare$