משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

התכנסות במידה שווה (המשך)

תזכורת: תהי \{f_n\} סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל x\in I קיים הגבול f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x) (כלומר, הפונקציה הגבולית מוגדרת בכל I). הגדרנו ש-f_n\to f במידה שווה ב-I אם לכל \varepsilon>0 קיים n_0\in\mathbb N כך שאם n>n_0 אז |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon לכל x\in I.

הערה

אם f_n\to f במ"ש על I אז לכל x\in I ברור שמתקיים f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x), כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.

משפט 1

יהיו קבוצת הפונקציות \{f_n\} והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:

  • f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x) במ"ש ב-I
  • \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon

הוכחה

ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)| אז יש להוכיח כי \lim_{n\to\infty} a_n=0. אבל אם \varepsilon>0 ידוע כי קיים n_0\in\mathbb N כך שלכל n>n_0 מתקיים |f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2 לכל x\in I. נובע מיד שאם n>n_0 אז 0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon ולכן \forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon והוכחנו a_n\to0, כדרוש.

לצד השני יהי \varepsilon>0 נתון. ידוע כי קיים n_0\in\mathbb N כך שלכל n>n_0 מתקיים \sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon ולכן \forall n>n_0:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon עבור x\in I. \blacksquare

דוגמה

גרף חזקות שונות של x.png

בקטע [0,1) ברור כי \lim_{n\to\infty}x^n=0.

נראה כי ההתכנסות נקודתית ולא במ"ש: \forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|=1\ne0. \blacksquare

נעיר כי בקטע [0,r] עבור r<1 דווקא יש התכנסות במ"ש: \forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,r]}|x^n-0|=r^n ולכן \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}r^n=0, כדרוש. \blacksquare

משפט 2

נניח ש-\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x) במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה x_0\in I כל f_n רציפה ב-x_0. אזי גם f רציפה ב-x_0.

הוכחה

יהי \varepsilon>0 נתון. f_n\to f במ"ש ב-I ולכן קיים n טבעי מסויים כך שלכל x\in I מתקיים |f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon3. f_n רציפה ב-x_0 ולכן קיים \delta>0 כך שאם |x-x_0|<\delta אז |f_n(x)-f_n(x_0)|<\frac\varepsilon3 נובע שאם |x-x_0|<\delta אז |f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon. \blacksquare

מסקנה

בתנאים של משפט 2, אם כל f_n רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.

דוגמה

בקטע [0,1] ברור כי \lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}. כאן כל x^n רציפה ב-[0,1] ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.

משפט 3

נניח שלכל n f_n מוגדרת ואינטגרבילית ב-I=[a,b] ונניח שקיים f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים \int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n.

הוכחה

לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה-f_n רציפות למקוטעין), ונסתפק בהוכחה לכך ש-\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n. שקול להוכיח ש-\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f-\int\limits_a^b f_n=0. ובכן יהי \varepsilon>0 נתון. כיוון ש-f_n\to f במ"ש על I \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \sup_{x\in[a,b]}|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon{b-a}. נובע שלכל n>n_0 \left|\int\limits_a^b(f-f_n)\right|\le\int\limits_a^b|f-f_n|\le(b-a)\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<(b-a)\frac\varepsilon{b-a}=\varepsilon. מכאן נובע ש-\lim_{n\to\infty}\left|\int\limits_a^b (f-f_n)\right|=0. \blacksquare

דוגמה

פונקציה בין n ל-0.png

משמאל נתונה הפונקציה f_n עבור n\in\mathbb N כלשהו.

נוכיח כי \forall x\in[0,1]:\ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0: עבור x=0 לכל n f_n(0)=0 ולכן \lim_{n\to\infty} f_n(0)=0. אם x\in(0,1] אז קיים n_0\in\mathbb N כך ש-\frac2{n_0}<x ולכן לכל n>n_0 מתקיים \frac2n<\frac2{n_0}<x, מה שגורר כי f_n(x)=0 לכל n\in\mathbb N ונובע ש-\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0. בזה הוכחנו את הטענה ש-0=\lim_{n\to\infty}f_n(x) נקודתית ב-[0,1]. \blacksquare נעיר שההתכנסות "מאוד" לא במ"ש כי \sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=n\to\infty.

נוכיח כי \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx (כאשר f(x)=0 היא הפונקציה הגבולית): לכל n
\int\limits_0^1 f_n= השטח מתחת לגרף =\frac12\cdot n\cdot\frac2n=1\ne0
\blacksquare

השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם f_n\to f במ"ש ב-I אז f_n'\to f' ב-I. דוגמה נגדית: נגדיר f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n.

  • נוכיח ש-\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0 במ"ש בכל \mathbb R: \forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin\left(n^2x\right)}n-0\right|=\sup_{x\in\mathbb R}\frac{\left|\sin\left(n^2x\right)\right|}n=\frac1n\to0.
  • נוכיח f_n'\not\to0'=0: לכל n ולכל x\in\mathbb R מתקיים f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right) ועבור x\in\mathbb R כלשהו \lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty} n\cos\left(n^2x\right) שאינו קיים. \blacksquare

משפט 4

תהי \{f_n\} סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות f_n' בקטע [a,b]. נניח שהסדרה \{f_n\} מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) x_0\in[a,b] והסדרה \{f_n'\} מתכנסת במ"ש ל-g ב-[a,b]. אזי \lim_{n\to\infty} f_n(x) קיים לכל x\in[a,b] ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-[a,b]. יתר על כן \forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x).

הוכחה

נקח x\in[a,b] כלשהי. לכל n הפונקציה f_n' רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'. נעביר אגף: f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'. כעת נתון שקיים \lim_{n\to\infty} f_n(x_0), נקרא לו \alpha. יתר על כן נתון ש-\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t) במ"ש ב-[a,b] וכל שכן \lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t) במ"ש בתת הקטע בין x_0 ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g נובע שלכל x\in[a,b] קיים f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x). לפי הנתון כל f_n' רציפה ו-g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t) במ"ש על [a,b]. לכן משפט 2 נותן ש-g רציפה ב-[a,b] וכיוון שלכל x\in[a,b] מתקיים f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g החלק הראשון של המשפט היסודי נותן f'=g לכל x\in[a,b]. \blacksquare