גרסה מ־12:58, 24 ביולי 2011

במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:

$c$ הוא קבוע.
$f,g$ פונקציות.
כל אחת מהקבוצות הבאות היא קבוצת כל הפונקציות המקיימות תכונה מסויימת בקבוצה $A$ :

$C(A)$ היא קבוצת כל הפונקציות הרציפות ב- $A$ .
$\mbox{Mo}(A)$ - מונוטוניות.

$\mbox{MO}(A)$ - מונוטוניות במובן הצר.

$\mbox{Bo}(A)$ - חסומות.

החסם העליון של פונקציה ב- $\mbox{Bo}(I)$ הוא $M$ והתחתון - $m$ .

$\mbox{Po}(A)$ - אי-שליליות.

$\mbox{PO}(A)$ - חיוביות.

$\mbox{INT}(A)$ - אינטגרביליות.

$\mbox{Int}(A)$ - אינטגרביליות מקומית.

אם קיימת לפונקציה פונקציה קדומה היא תסומן בעזרת האות הגדולה המתאימה (למשל, הפונקציה הקדומה של $f$ היא $F$ ).
$P$ היא חלוקה $\{x_0,x_1,\dots,x_n\}$ של הקטע הנתון כך ש- $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ .

$Q$ היא העדנה של $P$ .
$P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}$ היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה $P$ כך ש- $\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]$ .

אינטגרלים

אם $F$ ו- $G$ קדומות ל- $f$ בנקודה כלשהי אז קיים $c$ כך ש- $F(x)=G(x)+c$ .
$\forall f\in\mbox{Bo}([a,b]):\ m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)$ .
אם $|Q|=|P|+r$ (כלומר, $Q$ מתקבלת מ- $P$ ע"י הוספת $r$ נקודות) ו- $f\in\mbox{Bo}([a,b])$ אזי $0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega$ וכן $0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega$ .
לכל חלוקה $Q$ של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של $P$ ), אם $f\in\mbox{Bo}([a,b])$ אזי $\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)$ .
לכל $f\in\mbox{INT}([a,b])$ מתקיים $\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f$ .
תהי $f\in\mbox{Bo}([a,b])$ . אזי $\underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)$ וגם $\overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)$ .
נניח ש- $f\in\mbox{Bo}([a,b])$ . $f\in\mbox{INT}([a,b])$ אם"ם $\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0$ .
נניח ש- $f\in\mbox{Bo}([a,b])$ . $f\in\mbox{INT}([a,b])$ אם"ם לכל $\varepsilon>0$ קיימת חלוקה $P$ של $[a,b]$ כך ש- $\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon$ .
אם $f\in C([a,b])$ אז $f\in\mbox{INT}([a,b])$ .

הכללה: אם $f\in C((a,b))\cap\mbox{Bo}((a,b))$ אזי $f\in\mbox{INT}([a,b])$ .

הכללה להכללה: אם $f\in C([a,b]\setminus A)\cap\mbox{Bo}([a,b])$ כאשר $A$ קבוצה סופית אזי $f\in\mbox{INT}([a,b])$ .

אם $f\in\mbox{Mo}([a,b])$ אז $f\in\mbox{INT}([a,b])$ .
נניח ש- $a<c<b$ . אזי $f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\Big(\mbox{INT}([a,c])\cup\mbox{INT}([c,b])\Big)$ אם"ם $f\in\mbox{INT}([a,b])$ , ואם כן אז $\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f$ .

הכללה: עבור $f$ כנ"ל ו- $a=x_0,x_1,\dots,x_n=b$ (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים $\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f$ .

אם $f\in\mbox{Bo}([a,b])$ אז $\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)$ . יתר על כן, $\underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P')$ ו- $\overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P')$ .
הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
לינאריות: $\forall f,g\in\mbox{INT}([a,b]):\ \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$ .
מונוטוניות: אם $f,g\in\mbox{INT}([a,b])$ וכן $\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)$ אז $\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g$ .

חיוביות: בפרט מתקיים שאם $f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Po}([a,b])$ אזי $\int\limits_a^b f\ge0$ .

הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם $|f|\in\mbox{INT}([a,b])$ אז $f\in\mbox{INT}([a,b])$ ו- $\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|$ .
אם $f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Bo}([a,b])$ אז $m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)$ .

מקרה פרטי: אם $\forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M$ ו- $f\in\mbox{INT}([a,b])$ אז $\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)$ .

מקרה פרטי: אם $f(x)=M$ (פונקציה קבועה) אז $\int\limits_a^b f=M(b-a)$ .

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי $f\in\mbox{INT}([a,b])$ ותהי $F$ כך ש- $\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f$ . אזי $F\in C([a,b])$ וכן לכל נקודה ב- $[a,b]$ שבה $f$ רציפה, $F$ קדומה ל- $f$ (כלומר, $F$ גזירה ב- $[a,b]$ ו- $F'=f$ ).
נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי $f\in C([a,b])$ . אזי $\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)$ .
לכל $f\in C([a,b])$ יש פונקציה קדומה.
אינטגרציה בחלקים: נניח כי $f',g'$ רציפות. אזי $\int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx$ .

$\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g$

שיטת ההצבה: $\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}$ .

$\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)$

כל פונקציה רציונלית $\frac pq$ כך ש- $\deg(p)<\deg(q)$ ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים $\frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}$ כאשר $A,B,C,x_0\in\mathbb R$ ול- $x^2+bx+c$ אין שורשים ממשיים.
נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- $f\in\mbox{Po}([a,b])$ בין $a$ ל- $b$ סביב ציר ה- $x$ הוא $\int\limits_a^b \pi f^2$ .
הממוצע של $f\in C([a,b])$ בקטע $[a,b]$ הוא $\frac1{b-a}\int\limits_a^b f$ .
אורך הגרף של $f\in C([a,b])$ בקטע $[a,b]$ הוא $\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx$ .
שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של $f\in C([a,b])$ סביב ציר ה- $x$ בקטע $[a,b]$ הוא $\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx$ .
תהינה $f,g\in\mbox{INT}([a,\infty))$ . אזי $f+cg\in\mbox{INT}([a,\infty))$ ומתקיים $\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g$ .
תהא $f\in\mbox{Int}([a,\infty))$ ויהי $b>a$ . אזי $f\in\mbox{INT}([a,\infty))$ אם"ם $f\in\mbox{INT}([b,\infty))$ ואם כן $\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f$ .
$f\in\mbox{Mo}_\text{up}([a,\infty))$ . אזי $\lim_{x\to\infty} f(x)$ קיים אם"ם $\sup_x f(x)<\infty$ ואם כן $\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x)$ .
$f\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))$ . אזי $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים $\int\limits_a^R f$ חסומים מלעיל, ואם לא אז $\int\limits_a^\infty f=\infty$ .
מבחן ההשוואה: נניח ש- $f,g\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))$ וכן $\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)$ . אם $\int\limits_a^\infty g$ מתכנס אז $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס.
מבחן ההשוואה הגבולי: $f,g\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))$ וכן $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R$ . אם $\int\limits_a^\infty g$ מתכנס אז $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס.

מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

המבחן האינטגרלי לטורים: תהא $f\in\mbox{Po}([k,\infty))\cap\mbox{Mo}_\text{down}([k,\infty))\cap\mbox{Int}([k,\infty))$ עבור $k\in\mathbb N$ כלשהו. אזי $f\in\mbox{INT}([k,\infty))$ אם"ם $\sum_{n=k}^\infty f(n)$ מתכנס.

הכללה: בפרט מתקיים $\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)$ .

תהא $f$ מוגדרת ב- $[a,\infty)$ . $\lim_{x\to\infty} f(x)$ קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
תהא $f\in\mbox{Int}([a,\infty))$ . אזי $f\in\mbox{INT}([a,\infty))$ אם"ם $\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon$ .
תהא $f\in\mbox{Int}([a,\infty))$ . אם $|f|\in\mbox{INT}([a,\infty))$ אז $f\in\mbox{INT}([a,\infty))$ .
מבחן דיריכלה: תהא $f\in C([a,\infty))$ ונניח שהאינטגרלים החלקיים $\int\limits_a^b f$ חסומים כאשר $b\to\infty$ . כמו כן תהא $g\in\mbox{Mo}([a,\infty))\cap C^1([a,\infty))$ ו- $\lim_{x\to\infty}g(x)=0$ . אזי $f\cdot g\in\mbox{INT}([a,\infty))$ .
סכימה בחלקים: $\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N$ כאשר $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$ .
משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור $\sum_{n=1}^N a_n$ יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש- $\{b_n\}$ סדרה מונוטונית כך ש- $b_n\to0$ . אזי $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ מתכנס.
אם $f,g\in\mbox{INT}((a,b])$ אז לכל $c$ מתקיים $\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$ .
עבור $a<c<b$ ו- $f\in\mbox{Int}((a,b])$ , $f\in\mbox{INT}((a,b])$ אם"ם $f\in\mbox{INT}((a,c])$ , ואם כן $\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f$ .
תהי $f\in\mbox{Mo}((a,b])$ . אזי $\lim_{x\to a^+}f(x)$ קיים אם"ם $f\in\mbox{Bo}((a,b])$ .
אם $f\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])$ אז $f\in\mbox{Int}((a,b])$ אם"ם האינטגרלים החלקיים $\int\limits_c^b f$ חסומים כאשר $c\to a^+$ .
מבחן ההשוואה: $f,g\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])$ וכן $\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)$ . אם $g\in\mbox{INT}((a,b])$ אז $f\in\mbox{INT}((a,b])$ .
מבחן ההשוואה הגבולי: $f,g\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])$ וקיים $\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}$ . אם $g\in\mbox{INT}((a,b])$ אז $f\in\mbox{INT}((a,b])$ .

מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

תהא $f\in\mbox{Int}((a,b])$ . אזי $f\in\mbox{INT}((a,b])$ אם"ם $\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon$ .
תהא $f\in\mbox{Int}((a,b])$ . אם $|f|\in\mbox{INT}((a,b])$ אז $f\in\mbox{INT}((a,b])$ .

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"

גרסה מ־12:58, 24 ביולי 2011

אינטגרלים

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

גרסה מ־08:29, 22 במאי 2011 (הצגת מקור) אור שחף (שיחה \| תרומות) → מעבר להשוואת הגרסאות הקודמת	גרסה מ־12:58, 24 ביולי 2011 (הצגת מקור) אור שחף (שיחה \| תרומות) מ (משתמש:אור שחף/133 - שונות/רשימת משפטים הועבר למשתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים) מעבר להשוואת הגרסאות הבאה ←
(אין הבדלים)