הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ (←‏אינטגרלים)
שורה 44: שורה 44:
 
* אם <math>f</math> בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
 
* אם <math>f</math> בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
 
* שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
 
* שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
−
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית חסומה ע"י <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math>.
+
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math>.
 
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|</math>.
 
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|</math>.
 
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|</math>.
 
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|</math>.

גרסה מ־13:21, 27 ביולי 2011

במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:

  • c הוא קבוע.
  • f,g פונקציות.
  • הקטע הנתון הוא הקטע הסגור [a,b].
  • אם מצויין שלפונקציה יש תכונה מסויימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "f חסומה" = "f חסומה ב-[a,b]").
  • P היא חלוקה \{x_0,x_1,\dots,x_n\} של הקטע הנתון כך ש-a=x_0<x_1<\dots<x_n=b.
  • Q היא העדנה של P.
  • P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\} היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה P כך ש-\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k] ו-\forall 2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k.

אינטגרלים

  • אם F ו-G קדומות ל-f בנקודה כלשהי אז קיים c כך ש-F(x)=G(x)+c.
  • אם f חסומה ב-[a,b] אזי m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a).
  • אם |Q|=|P|+r (כלומר, Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות) ו-f חסומה בקטע אזי 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega וכן 0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega.
  • לכל חלוקה Q של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של P), אם f חסומה בקטע אזי \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q).
  • לכל f אינטגרבילית מתקיים \underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f.
  • תהי f חסומה. אזי \underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) וגם \overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P).
  • נניח ש-f חסומה. f אינטגרבילית אם"ם \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0.
  • נניח ש-f חסומה. f אינטגרבילית אם"ם לכל \varepsilon>0 קיימת חלוקה P של [a,b] כך ש-\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon.
  • אם f רציפה אז f אינטגרבילית.
  • הכללה: אם f רציפה וחסומה בקטע הפתוח (a,b) אזי f אינטגרבילית.
  • הכללה להכללה: אם f רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי f אינטגרבילית.
  • אם f מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
  • נניח ש-a<c<b. אזי f אינטגרבילית ב-[a,b], ב-[a,c] וב-[c,b] אם"ם היא אינטגרבילית ב-[a,b], ואם כן אז \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f.
  • הכללה: עבור f כנ"ל ו-a=x_0,x_1,\dots,x_n=b (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים \int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f.
  • אם f חסומה אז \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P). יתר על כן, \underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P') ו-\overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P').
  • הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
  • לינאריות: עבור f,g אינטגרביליות מתקיים \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g.
  • מונוטוניות: אם f,g אינטגרביליות וכן \forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x) אזי \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g.
  • חיוביות: בפרט מתקיים שאם f אינטגרביליות ואי-שלילית אזי \int\limits_a^b f\ge0.
  • הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם |f| אינטגרבילית אז f אינטגרבילית ו-\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|.
  • אם f אינטגרבילית וחסומה אז m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a).
  • מקרה פרטי: אם \forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M ו-f אינטגרבילית אז \left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a).
  • מקרה פרטי: אם f(x)=M (פונקציה קבועה) אז \int\limits_a^b f=M(b-a).
  • המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי f אינטגרבילית ותהי F כך ש-\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f. אזי F רציפה וכן לכל נקודה ב-[a,b] שבה f רציפה, F קדומה ל-f (כלומר, F גזירה ב-[a,b] ו-F'=f).
  • נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי f רציפה. אזי \int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a).
  • לכל f רציפה יש פונקציה קדומה.
  • אינטגרציה בחלקים: נניח כי f',g' רציפות. אזי \int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx.
  • \int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g
  • שיטת ההצבה: \int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}.
  • \int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)
  • כל פונקציה רציונלית \frac pq כך ש-\deg(p)<\deg(q) ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים \frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k} כאשר A,B,C,x_0\in\mathbb R ול-x^2+bx+c אין שורשים ממשיים.
  • נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-f אי-שלילית בין a ל-b סביב ציר ה-x הוא \int\limits_a^b \pi f^2.
  • אם f רציפה אז הממוצע שלה בקטע [a,b] הוא \frac1{b-a}\int\limits_a^b f.
  • אם f בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע [a,b] הוא \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx.
  • שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של f רציפה סביב ציר ה-x בקטע [a,b] הוא \int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx.
  • תהא f בעלת נגזרת n-ית רציפה. אזי \int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n כאשר P_n הוא פיתוח טיילור מסדר n של f והשארית היא \int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!} עבור \min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\} כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב x_0.
  • תהא f בעלת נגזרת רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h. אזי \int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k) והשארית חסומה ע"י \frac{b-a}2Mh כאשר M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|.
  • תהא f בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h. אזי \int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k) והשארית חסומה ע"י \frac5{12}(b-a)Mh^2 כאשר M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|.
  • תהא f בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h ו-n זוגי. אזי \int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right) והשגיאה חסומה ע"י \frac{b-a}{180}Mh^4 כאשר M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|.
  • תהיינה f,g אינטגרביליות ב-[a,\infty). אזי f+cg אינטגרבילית ב-[a,\infty) ומתקיים \int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty) ויהי b>a. אזי f אינטגרבילית ב-[a,\infty) אם"ם f אינטגרבילית ב-[b,\infty) ואם כן \int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f.
  • f מונוטונית עולה ב-[a,\infty). אזי \lim_{x\to\infty} f(x) קיים אם"ם \sup_x f(x)<\infty ואם כן \lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x).
  • f אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty). אזי \int\limits_a^\infty f מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_a^R f חסומים מלעיל, ואם לא אז \int\limits_a^\infty f=\infty.
  • מבחן ההשוואה: נניח ש-f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-[a,\infty) וכן \forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x). אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.
  • מבחן ההשוואה הגבולי: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-[a,\infty) וכן \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R. אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.
  • מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
  • המבחן האינטגרלי לטורים: תהא f אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-[k,\infty) עבור k\in\mathbb N כלשהו. אזי \int\limits_k^\infty f מתכנס אם"ם \sum_{n=k}^\infty f(n) מתכנס.
  • הכללה: בפרט מתקיים \sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n).
  • תהא f מוגדרת ב-[a,\infty). \lim_{x\to\infty} f(x) קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty). אזי \int\limits_a^\infty f מתכנס אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty). אם |f| אינטגרבילית בקטע אזי גם f אינטגרבילית בו.
  • מבחן דיריכלה: תהא f רציפה ב-[a,\infty) ונניח שהאינטגרלים החלקיים \int\limits_a^b f חסומים כאשר b\to\infty. כמו כן תהא g מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-[a,\infty) ו-\lim_{x\to\infty}g(x)=0. אזי \int\limits_a^\infty f\cdot g מתכנס.
  • סכימה בחלקים: \sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N כאשר S_n=\sum_{k=1}^n a_k.
  • משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור \sum_{n=1}^N a_n יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-\{b_n\} סדרה מונוטונית כך ש-b_n\to0. אזי \sum_{n=1}^\infty a_nb_n מתכנס.
  • אם f,g אינטגרביליות ב-(a,b] אזי לכל c מתקיים \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g.
  • עבור a<c<b ו-f אינטגרבילית מקומית ב-(a,b], f אינטגרבילית בקטע אם"ם f אינטגרבילית ב-(a,c], ואם כן \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f.
  • תהי f מונוטונית ב-(a,b]. אזי \lim_{x\to a^+}f(x) קיים אם"ם f חסומה ב-(a,b].
  • אם f אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-(a,b] אז f אינטגרבילית ב-(a,b] אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_c^b f חסומים כאשר c\to a^+.
  • מבחן ההשוואה: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-(a,b] וכן \forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x). אם \int\limits_a^b g מתכנס אזי \int\limits_a^b f מתכנס.
  • מבחן ההשוואה הגבולי: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-(a,b] וקיים \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}. אם \int\limits_a^b g מתכנס אז \int\limits_a^b f מתכנס.
  • מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-(a,b]. אזי \int\limits_a^b f מתכנס אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-(a,b]. אם \int\limits_a^b |f| מתכנס אז \int\limits_a^b f מתכנס.
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:אור_שחף/133_-_רשימת_משפטים&oldid=11724