הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
 
שורה 25: שורה 25:
 
*אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math> . יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו- <math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math> .
 
*אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math> . יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו- <math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math> .
 
*הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
 
*הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
*'''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b[f+cg]=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> .
+
*'''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> .
 
*'''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x)</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math> .
 
*'''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x)</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math> .
 
:*'''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math> .
 
:*'''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math> .
שורה 38: שורה 38:
 
:*<math>\int\limits_a^b f\cdot g'=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math>
 
:*<math>\int\limits_a^b f\cdot g'=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math>
 
*'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math> .
 
*'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math> .
:*<math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))dg</math>
+
:*<math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f</math>
 
*כל פונקציה רציונאלית <math>\frac{p}{q}</math> כך ש- <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N</math> ול- <math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים.
 
*כל פונקציה רציונאלית <math>\frac{p}{q}</math> כך ש- <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N</math> ול- <math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים.
 
*נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- <math>f</math> אי-שלילית בקטע <math>[a,b]</math> סביב ציר ה- <math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b\pi f(x)^2dx</math> .
 
*נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- <math>f</math> אי-שלילית בקטע <math>[a,b]</math> סביב ציר ה- <math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b\pi f(x)^2dx</math> .

גרסה אחרונה מ־14:21, 6 במרץ 2019

במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן:

  • c הוא קבוע.
  • f,g פונקציות.
  • הקטע הנתון הוא הקטע הסגור [a,b] .
  • אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "f חסומה" = "f חסומה ב- [a,b]").
  • P היא חלוקה \{x_0,x_1,\dots,x_n\} של הקטע הנתון כך ש- a=x_0<x_1<\dots<x_n=b .
  • Q היא העדנה של P .
  • P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\} היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה P כך ש- \forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k] ו- \forall2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k .

אינטגרלים

  • אם F,G קדומות ל- f בנקודה כלשהי אז קיים c כך ש- F(x)=G(x)+c .
  • אם f חסומה ב- [a,b] אזי m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a) .
  • אם |Q|=|P|+r (כלומר, Q מתקבלת מ- P ע"י הוספת r נקודות) ו- f חסומה בקטע אזי 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega וכן 0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega .
  • לכל חלוקה Q של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של P), אם f חסומה בקטע אזי \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q) .
  • לכל f אינטגרבילית מתקיים \underline{\int\limits_a^b}f\le\overline{\int\limits_a^b}f .
  • תהי f חסומה. אזי \underline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) וגם \overline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P) .
  • נניח כי f חסומה. f אינטגרבילית אם"ם \lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 .
  • נניח כי f חסומה. f אינטגרבילית אם"ם לכל \varepsilon>0 קיימת חלוקה P של [a,b] כך ש- \overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon .
  • אם f רציפה אז f אינטגרבילית.
  • הכללה: אם f רציפה וחסומה בקטע הפתוח (a,b) אזי f אינטגרבילית.
  • הכללה להכללה: אם f רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי f אינטגרבילית.
  • אם f מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
  • נניח כי a<c<b . אזי f אינטגרבילית ב- [a,b] , ב- [a,c] וב- [c,b] אם"ם היא אינטגרבילית ב-[a,b] , ואם כן אז \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f .
  • הכללה: עבור f כנ"ל ו- a=x_0,x_1,\dots,x_n=b (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים \int\limits_a^b f=\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k}f .
  • אם f חסומה אז \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P) . יתר על כן, \underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P') ו- \overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P') .
  • הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
  • לינאריות: עבור f,g אינטגרביליות מתקיים \int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g .
  • מונוטוניות: אם f,g אינטגרביליות וכן \forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x) אזי \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g .
  • חיוביות: בפרט מתקיים שאם f אינטגרביליות ואי-שלילית אזי \int\limits_a^b f\ge0 .
  • הכללה לאי-שוויון המשולש: אם |f| אינטגרבילית אז f אינטגרבילית ו- \left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f| .
  • אם f אינטגרבילית וחסומה אז m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a) .
  • מקרה פרטי: אם \forall x\in[a,b]:|f(x)|\le M ו- f אינטגרבילית אז \left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a) .
  • מקרה פרטי: אם f(x)=M (פונקציה קבועה) אז \int\limits_a^b f=M(b-a) .
  • המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי f אינטגרבילית ותהי F כך ש- \forall x\in[a,b]:F(x):=\int\limits_a^x f . אזי F רציפה וכן לכל נקודה x_0\in[a,b] שבה f רציפה, F קדומה ל-f (כלומר, F גזירה ב- x_0 כך ש- F'(x_0)=f(x_0)).
  • נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי f רציפה. אזי \int\limits_a^b f=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a) .
  • לכל f רציפה יש פונקציה קדומה.
  • אינטגרציה בחלקים: נניח כי f',g' רציפות. אזי \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx .
  • \int\limits_a^b f\cdot g'=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int\limits_a^b f'\cdot g
  • שיטת ההצבה: \int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c} .
  • \int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f
  • כל פונקציה רציונאלית \frac{p}{q} כך ש- \deg(p)<\deg(q) ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים \frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k} כאשר A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N ול- x^2+bx+c אין שורשים ממשיים.
  • נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- f אי-שלילית בקטע [a,b] סביב ציר ה- x הוא \int\limits_a^b\pi f(x)^2dx .
  • אם f רציפה אז הממוצע שלה בקטע [a,b] הוא \frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f .
  • אם f גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע [a,b] הוא \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx .
  • שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של f רציפה סביב ציר ה- x בקטע [a,b] הוא \int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx .
  • קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור: תהא f בעלת נגזרת n-ית רציפה. אזי \int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n כאשר P_n הוא פיתוח טיילור מסדר n של f והשארית היא \int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!} עבור \min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\} כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב x_0 .
  • קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים: תהא f בעלת נגזרת רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h . אזי \int\limits_a^b f\approx h\sum\limits_{k=1}^n f(x_k) והשארית חסומה ע"י \frac{b-a}2Mh כאשר M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f'(x)\big| .
  • קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים: תהא f בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h. אזי \int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_k) והשארית חסומה ע"י \frac5{12}(b-a)Mh^2 כאשר M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f''(x)\big| .
  • קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון: תהא f בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h ו-n זוגי. אזי \int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum\limits_{k=1}^\frac{n}{2} f(x_{2k-1})+2\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right) והשגיאה חסומה ע"י \frac{b-a}{180}Mh^4 כאשר M=\max\limits_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right| .
  • תהיינה f,g אינטגרביליות ב- [a,\infty) . אזי f+cg אינטגרבילית ב- [a,\infty) ומתקיים \int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g .
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב- [a,\infty) ויהי a<b . אזי f אינטגרבילית ב- [a,\infty) אם"ם f אינטגרבילית ב- [b,\infty) ואם כן \int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f .
  • f מונוטונית עולה ב- [a,\infty). אזי \lim\limits_{x\to\infty}f(x) קיים אם"ם \sup\limits_{x>a}\ f(x)<\infty ואם כן \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\sup\limits_{x>a}\ f(x) .
  • f אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- [a,\infty) . אזי \int\limits_a^\infty f מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_a^R f חסומים מלעיל, ואם לא אז \int\limits_a^\infty f=\infty .
  • מבחן ההשוואה: נניח f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- [a,\infty) וכן \forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x) . אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.
  • מבחן ההשוואה הגבולי: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- [a,\infty) וכן \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\R . אזי אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.
  • מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
  • המבחן האינטגרלי לטורים: תהא f אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב- [k,\infty) עבור k\in\N כלשהו. אזי \int\limits_k^\infty f מתכנס אם"ם \sum\limits_{n=k}^\infty f(n) מתכנס.
  • בפרט מתקיים \sum\limits_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum\limits_{n=k}^{N-1} f(n) .
  • תהא f מוגדרת ב- [a,\infty) . \lim\limits_{x\to\infty}f(x) קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל \varepsilon>0 קיים x_0>a כך שאם x_2>x_1>x_0 אזי \Big|f(x_2)-f(x_1)\Big|<\varepsilon .
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty) . אזי \int\limits_a^\infty f מתכנס אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon .
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב- [a,\infty) . אם |f| אינטגרבילית בקטע אזי גם f אינטגרבילית בו.
  • מבחן דיריכלה: תהא f רציפה ב- [a,\infty) ונניח שהאינטגרלים החלקיים \int\limits_a^b f חסומים כאשר b\to\infty . כמו כן תהא g מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- [a,\infty) ו- \lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0 . אזי \int\limits_a^\infty f\cdot g מתכנס.
  • סכימה בחלקים: \sum\limits_{n=1}^N a_nb_n=\sum\limits_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N כאשר S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k .
  • משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור \sum\limits_{n=1}^N a_n יש סכומים חלקיים חסומים ונניח \{b_n\} סדרה מונוטונית כך ש-b_n\to0 . אזי \sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n מתכנס.
  • אם f,g אינטגרביליות ב- (a,b] אזי לכל c מתקיים \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g .
  • עבור c\in(a,b) ו- f אינטגרבילית מקומית ב- (a,b] , f אינטגרבילית בקטע אם"ם f אינטגרבילית ב-(a,c], ואם כן \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f .
  • תהי f מונוטונית ב- (a,b] . אזי \lim\limits_{x\to a^+}f(x) קיים אם"ם f חסומה ב- (a,b] .
  • אם f אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- (a,b] אז f אינטגרבילית ב- (a,b] אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_c^b f חסומים כאשר c\to a^+ .
  • מבחן ההשוואה: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב- (a,b] וכן \forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x) . אם \int\limits_a^b g מתכנס אזי \int\limits_a^b f מתכנס.
  • מבחן ההשוואה הגבולי: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- (a,b] וקיים \lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)} . אם \int\limits_a^b g מתכנס אז \int\limits_a^b f מתכנס.
  • מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-(a,b] . אזי \int\limits_a^b f מתכנס אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon .
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב- (a,b] . אם \int\limits_a^b|f| מתכנס אז \int\limits_a^b f מתכנס.

סדרות וטורים של פונקציות

התכנסות במ"ש

סדרות

  • f_n\to f במ"ש על I, כלומר \forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \forall x\in I:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon, אם"ם \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\ |f(x)-f_n(x)|=0.
  • נניח כי f_n\to f במ"ש ב-I, ועבור x_0\in I כלשהו f_n רציפה ב-x_0 לכל n. אזי f רציפה ב-x_0.
  • f_n\to f במ"ש ב-[a,b] וכל f_n אינטגרבילית בקטע. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים \int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n.
  • \{f_n\}_{n\in\mathbb N} היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I, המתכנסות במ"ש ב-I לפונקציה g. כמו כן, \{f_n\} מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-I. אזי f=\lim_{n\to\infty} f_n מוגדרת ב-I ומתקיים f'=g.
  • סדרת פונקציות \{f_n\} מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר \forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon.
  • משפט דיני: נתון כי כל f_n רציפה בקטע סגור I והסדרות \{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N} עולות לכל x\in I או יורדות לכל x\in I. כמו כן, f_n\to f נקודתית ו-f רציפה ב-I. אזי f_n\to f במ"ש.

טורים

  • טור פונקציות \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר \forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)<\varepsilon.
  • מבחן ה-M של ויירשטראס: נניח שכל f_n מוגדרת ב-I וחסומה שם, כלומר \forall x\in I:\ |f_n(x)|\le M_n עבור M_n כלשהו, וכן \sum_{n=1}^\infty M_n מתכנס במובן הצר. אזי \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס בהחלט במ"ש על I.
  • נתון כי כל f_n רציפה ב-x_0\in I וכן S=\sum_{n=1}^\infty f_n במ"ש על I. אזי S רציפה ב-x_0.
  • S=\sum_{n=1}^\infty f_n במ"ש על [a,b] וכל f_n אינטגרבילית ב-[a,b]. אזי S אינטגרבילית בקטע ומתקיים \int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f.
  • \{f_n\}_{n\in\mathbb N} היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I. הטור \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות s=\sum_{n=1}^\infty f_n' מתכנס במ"ש על I. אזי \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה S כך ש-S'=s.

טורי חזקות

  • יהי \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות. רדיוס ההתכנסות R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}} מקיים שאם הנקודה x מקיימת |x-x_0|<R אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם |x-x_0|>R הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-[x_0-r,x_0+r] לכל 0<r<R.
  • יהי \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות עם רדיוס התכנסות R. אם קיים S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} במובן הרחב אזי S=R.
  • יהי \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות עם רדיוס התכנסות R>0. אזי f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n היא פונקציה המוגדרת ב-(x_0-R,x_0+R), כך שנגזרתה בקטע זה היא f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}.
  • הכללה: בתנאים הללו, f גזירה אינסוף פעמים ו-f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k} לכל k\in\mathbb N\cup\{0\}. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא R.
  • יהי f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות עם רדיוס התכנסות R>0. אזי לכל n\in\mathbb N\cup\{0\} מתקיים a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}, ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב x_0.
  • יהי f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות עם רדיוס התכנסות R>0. אזי f אינטגרבילית ב-(x_0-R,x_0+R) ומתקיים לכל x בקטע \int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא R.
  • משפט היחידות לטורי חזקות: אם \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n לכל x\in I אזי \forall n:\ a_n=b_n.
  • משפט אבל: נניח ש-f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות בעל רדיוס התכנסות R. אם \sum_{n=0}^\infty a_nR^n קיים אזי \lim_{x\to x_0+R^-}f(x) קיים ושווה לו, ואם \sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n קיים אזי \lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x) קיים ושווה לו.

השתנות חסומה

  • f בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי f חסומה.
  • f בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש g,h מונוטוניות עולות בקטע כך ש-f=g-h.
  • תהי f בעלת השתנות חסומה ב-[a,b]. אזי לכל x_0\in[a,b) קיים \lim_{x\to x_0^+} f(x) ולכל x_0\in(a,b] קיים \lim_{x\to x_0^-} f(x).
  • תהי f בעלת השתנות חסומה ב-[a,b]. אזי f אינטגרבילית ב-[a,b].