משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:

  • c הוא קבוע.
  • f,g פונקציות.
  • כל אחת מהקבוצות הבאות היא קבוצת כל הפונקציות המקיימות תכונה מסויימת בקבוצה A:
  • C(A) היא קבוצת כל הפונקציות הרציפות ב-A.
  • \mbox{Mo}(A) - מונוטוניות.
  • \mbox{MO}(A) - מונוטוניות במובן הצר.
  • \mbox{Bo}(A) - חסומות.
  • החסם העליון של פונקציה ב-\mbox{Bo}(I) הוא M והתחתון - m.
  • \mbox{Po}(A) - אי-שליליות.
  • \mbox{PO}(A) - חיוביות.
  • \mbox{INT}(A) - אינטגרביליות.
  • \mbox{Int}(A) - אינטגרביליות מקומית.
  • אם קיימת לפונקציה פונקציה קדומה היא תסומן בעזרת האות הגדולה המתאימה (למשל, הפונקציה הקדומה של f היא F).
  • P היא חלוקה \{x_0,x_1,\dots,x_n\} של הקטע הנתון כך ש-a=x_0<x_1<\dots<x_n=b.
  • Q היא העדנה של P.
  • P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\} היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה P כך ש-\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k].

אינטגרלים

  • אם F ו-G קדומות ל-f בנקודה כלשהי אז קיים c כך ש-F(x)=G(x)+c.
  • \forall f\in\mbox{Bo}([a,b]):\ m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a).
  • אם |Q|=|P|+r (כלומר, Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות) ו-f\in\mbox{Bo}([a,b]) אזי 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega וכן 0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega.
  • לכל חלוקה Q של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של P), אם f\in\mbox{Bo}([a,b]) אזי \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q).
  • לכל f\in\mbox{INT}([a,b]) מתקיים \underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f.
  • תהי f\in\mbox{Bo}([a,b]). אזי \underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) וגם \overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P).
  • נניח ש-f\in\mbox{Bo}([a,b]). f\in\mbox{INT}([a,b]) אם"ם \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0.
  • נניח ש-f\in\mbox{Bo}([a,b]). f\in\mbox{INT}([a,b]) אם"ם לכל \varepsilon>0 קיימת חלוקה P של [a,b] כך ש-\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon.
  • אם f\in C([a,b]) אז f\in\mbox{INT}([a,b]).
  • הכללה: אם f\in C((a,b))\cap\mbox{Bo}((a,b)) אזי f\in\mbox{INT}([a,b]).
  • הכללה להכללה: אם f\in C([a,b]\setminus A)\cap\mbox{Bo}([a,b]) כאשר A קבוצה סופית אזי f\in\mbox{INT}([a,b]).
  • אם f\in\mbox{Mo}([a,b]) אז f\in\mbox{INT}([a,b]).
  • נניח ש-a<c<b. אזי f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\Big(\mbox{INT}([a,c])\cup\mbox{INT}([c,b])\Big) אם"ם f\in\mbox{INT}([a,b]), ואם כן אז \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f.
  • הכללה: עבור f כנ"ל ו-a=x_0,x_1,\dots,x_n=b (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים \int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f.
  • אם f\in\mbox{Bo}([a,b]) אז \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P). יתר על כן, \underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P') ו-\overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P').
  • הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
  • לינאריות: \forall f,g\in\mbox{INT}([a,b]):\ \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b  f+c\int\limits_a^b g.
  • מונוטוניות: אם f,g\in\mbox{INT}([a,b]) וכן \forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x) אז \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g.
  • חיוביות: בפרט מתקיים שאם f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Po}([a,b]) אזי \int\limits_a^b f\ge0.
  • הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם |f|\in\mbox{INT}([a,b]) אז f\in\mbox{INT}([a,b]) ו-\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|.
  • אם f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Bo}([a,b]) אז m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a).
  • מקרה פרטי: אם \forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M ו-f\in\mbox{INT}([a,b]) אז \left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a).
  • מקרה פרטי: אם f(x)=M (פונקציה קבועה) אז \int\limits_a^b f=M(b-a).
  • המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי f\in\mbox{INT}([a,b]) ותהי F כך ש-\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f. אזי F\in C([a,b]) וכן לכל נקודה ב-[a,b] שבה f רציפה, F קדומה ל-f (כלומר, F גזירה ב-[a,b] ו-F'=f).
  • נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי f\in C([a,b]). אזי \int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a).
  • לכל f\in C([a,b]) יש פונקציה קדומה.
  • אינטגרציה בחלקים: נניח כי f',g' רציפות. אזי \int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx.
  • \int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g
  • שיטת ההצבה: \int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}.
  • \int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)
  • כל פונקציה רציונלית \frac pq כך ש-\deg(p)<\deg(q) ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים \frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k} כאשר A,B,C,x_0\in\mathbb R ול-x^2+bx+c אין שורשים ממשיים.
  • נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-f\in\mbox{Po}([a,b]) בין a ל-b סביב ציר ה-x הוא \int\limits_a^b \pi f^2.
  • הממוצע של f\in C([a,b]) בקטע [a,b] הוא \frac1{b-a}\int\limits_a^b f.
  • אורך הגרף של f\in C([a,b]) בקטע [a,b] הוא \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx.
  • שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של f\in C([a,b]) סביב ציר ה-x בקטע [a,b] הוא \int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx.
  • תהינה f,g\in\mbox{INT}([a,\infty)). אזי f+cg\in\mbox{INT}([a,\infty)) ומתקיים \int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g.
  • תהא f\in\mbox{Int}([a,\infty)) ויהי b>a. אזי f\in\mbox{INT}([a,\infty)) אם"ם f\in\mbox{INT}([b,\infty)) ואם כן \int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f.
  • f\in\mbox{Mo}_\text{up}([a,\infty)). אזי \lim_{x\to\infty} f(x) קיים אם"ם \sup_x f(x)<\infty ואם כן \lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x).
  • f\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty)). אזי \int\limits_a^\infty f מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_a^R f חסומים מלעיל, ואם לא אז \int\limits_a^\infty f=\infty.
  • מבחן ההשוואה: נניח ש-f,g\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty)) וכן \forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x). אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.
  • מבחן ההשוואה הגבולי: f,g\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty)) וכן \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R. אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.
  • מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
  • המבחן האינטגרלי לטורים: תהא f\in\mbox{Po}([k,\infty))\cap\mbox{Mo}_\text{down}([k,\infty))\cap\mbox{Int}([k,\infty)) עבור k\in\mathbb N כלשהו. אזי f\in\mbox{INT}([k,\infty)) אם"ם \sum_{n=k}^\infty f(n) מתכנס.
  • הכללה: בפרט מתקיים \sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n).
  • תהא f מוגדרת ב-[a,\infty). \lim_{x\to\infty} f(x) קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
  • תהא f\in\mbox{Int}([a,\infty)). אזי f\in\mbox{INT}([a,\infty)) אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon.
  • תהא f\in\mbox{Int}([a,\infty)). אם |f|\in\mbox{INT}([a,\infty)) אז f\in\mbox{INT}([a,\infty)).
  • מבחן דיריכלה: תהא f\in C([a,\infty)) ונניח שהאינטגרלים החלקיים \int\limits_a^b f חסומים כאשר b\to\infty. כמו כן תהא g\in\mbox{Mo}([a,\infty))\cap C^1([a,\infty)) ו-\lim_{x\to\infty}g(x)=0. אזי f\cdot g\in\mbox{INT}([a,\infty)).
  • סכימה בחלקים: \sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N כאשר S_n=\sum_{k=1}^n a_k.
  • משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור \sum_{n=1}^N a_n יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-\{b_n\} סדרה מונוטונית כך ש-b_n\to0. אזי \sum_{n=1}^\infty a_nb_n מתכנס.
  • אם f,g\in\mbox{INT}((a,b]) אז לכל c מתקיים \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g.
  • עבור a<c<b ו-f\in\mbox{Int}((a,b]), f\in\mbox{INT}((a,b]) אם"ם f\in\mbox{INT}((a,c]), ואם כן \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f.
  • תהי f\in\mbox{Mo}((a,b]). אזי \lim_{x\to a^+}f(x) קיים אם"ם f\in\mbox{Bo}((a,b]).
  • אם f\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b]) אז f\in\mbox{Int}((a,b]) אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_c^b f חסומים כאשר c\to a^+.
  • מבחן ההשוואה: f,g\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b]) וכן \forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x). אם g\in\mbox{INT}((a,b]) אז f\in\mbox{INT}((a,b]).
  • מבחן ההשוואה הגבולי: f,g\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b]) וקיים \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}. אם g\in\mbox{INT}((a,b]) אז f\in\mbox{INT}((a,b]).
  • מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
  • תהא f\in\mbox{Int}((a,b]). אזי f\in\mbox{INT}((a,b]) אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon.
  • תהא f\in\mbox{Int}((a,b]). אם |f|\in\mbox{INT}((a,b]) אז f\in\mbox{INT}((a,b]).