משתמש:אור שחף/133 - שונות/רשימת הגדרות

מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף‏ | 133 - שונות
גרסה מ־12:29, 7 באפריל 2011 מאת אור שחף (שיחה | תרומות) (אינטגרלים)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אינטגרלים

  • תהי f מוגדרת בקטע I. הפונקציה F קדומה ל-f ב-I אם \forall x\in I:\ F'(x)=f(x).
תהי f מוגדרת וחסומה בקטע I. אזי:
  • נסמן את האינפימום של f כ-m:=\inf_{x\in I}f(x) ואת הסופרימום כ-M:=\sup_{x\in I}f(x).
  • התנודה של f היא \Omega:=M-m.
  • חלוקה של קטע [a,b] היא קבוצה מהצורה \{x_0,x_1,\dots,x_n\} כאשר a=x_0<x_1<\dots<x_n=b.
עבור חלוקה P כזו נגדיר:
  • לכל k אורך תת הקטע k הוא \Delta x_k:=x_k-x_{k-1}.
  • פרמטר החלוקה הוא \lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k.
  • לכל 1\le k\le n נגדיר M_k:=\sup_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x) וכן m_k:=\inf_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x).
  • העדנה Q של P היא חלוקה של [a,b] כך ש-P\subset Q.
  • הסכום העליון הוא \overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k.
  • הסכום התחתון הוא \underline S(f,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k.
  • האינטגרל העליון הוא \overline{\int}_a^b f:=\inf_P\overline S(f,P).
  • האינטגרל התחתון הוא \underline{\int}_a^b f:=\sup_P\underline S(f,P).
  • f תקרא אינטגרבילית (לפי דרבו) בקטע אם \underline{\int}_a^b f=\overline{\int}_a^b f.
  • עבור f אינטגרבילית ב-[a,b] האינטגרל המסויים של f בקטע (לפי דרבו) הוא \int\limits_a^bf:=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f.
  • לכל 1\le k\le n נבחר c_k\in[x_{k-1},x_k] כך ש-a\le c_1<c_2<\dots<c_n\le b, ונסמן P':=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}. סכום רימן מוגדר כ-S(f,P,P'):=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k.
  • f תקרא אינטגרבילית (לפי רימן) בקטע אם כאשר \lambda(P)\to0 כל סכומי רימן S(f,P,P') שואפים לאותו גבול.
  • עבור f אינטגרבילית (לפי רימן) ב-[a,b] האינטגרל המסויים של f בקטע (לפי רימן) הוא \int\limits_a^b f:=\lim_{\lambda(P)\to0}S(f,P,P') לכל החלוקות P ו-P'.
  • אם f(x)\ge0 ורציפה ב-[a,b] אז נגדיר את השטח שמתחת לגרף כ-\int\limits_a^b f. בפרט, לכל f רציפה ב-[a,b] השטח שבין הגרף לציר ה-x הוא \int\limits_a^b |f|.
  • \int\limits_a^a f:=0.
  • אם f אינטגרבילית בקטע אז \int\limits_b^a f:=-\int\limits_a^b f.
  • פונקציה f תקרא רציפה למקוטעין בקטע אם היא רציפה בו למעט מספר סופי של נקודות אי רציפות ממין ראשון.