משתמש:אור שחף/133 - תרגול/13.3.11

שיטות אינטגרציה (המשך)

דוגמה 0

פתור $\int e^\sqrt x\mathrm dx$.

פתרון

נשתמש בשיטת ההצבה:

	נציב $\begin{align}&y=\sqrt x\\\implies&x=y^2\\\implies&\mathrm dx=2y\mathrm dy\end{align}$		$\int 2ye^y\mathrm dy$	$=$	$\int e^\sqrt x\mathrm dx$
	אינטגרציה בחלקים:		$y\cdot e^y-\int e^y\mathrm dy$	$=$
			$y e^y-e^y+c$	$=$
			$\sqrt x e^\sqrt x-e^\sqrt x+c$	$=$

$\blacksquare$

אינטגרלים של פונקציות רציונליות

נמצא אינטגרלים לפונקציות מהצורה $\frac{p(x)}{q(x)}$ כאשר $p,q$ פולינומים. למשל, האינטגרלים $\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}$ ו-$\int\frac{\mathrm dx}{x^2-1}$. פתרון שני האינטגרלים יכול להיות שונה כי האינטגרל הראשון אי-פריק ב-$\mathbb R$, בעוד שהשני כן פריק.

דוגמה 1

נפתור $\int=\int\frac x{x^2-4x+8}\mathrm dx$.

פתרון

באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל-$\ln$ (כי $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+c$). ואכן, אם $f(x)=x^2-4x+8$ אז $f'(x)=2x-4$. נשנה את המונה כך שיהיה $f'(x)$:

			$\frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx$	$=$	$\int$
			$\frac12\int\frac{2x-4}{x^2-4x+8}\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4x+8}$	$=$
	כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל-$\arctan$ ($\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}$):		$\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+2\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)^2+4}$	$=$
			$\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\arctan\left(\frac{x-2}2\right)+c$	$=$

$\blacksquare$

---

לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו $\frac1{(x-a)(x-b)}=\frac A{x-a}+\frac B{x-b}$.

דוגמה 2

נחשב $\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4}$.

פתרון

קל לראות שהמכנה פריק ושווה ל-$(x-2)(x+2)$. עתה מחפשים A,B כנ"ל ומקבלים $A=\frac14,\ B=-\frac14$. לכן האינטגרל הוא $\frac14\int\left(\frac1{x-2}-\frac1{x+2}\right)\mathrm dx=\frac14(\ln|x-2|-\ln|x+2|)+c$. $\blacksquare$

דוגמה 3

נמצא $\int\frac{2x+4}{x^3-2x^2}\mathrm dx$.

פתרון

$x^3-2x^2=x^2(x-2)$ ולכן

$\begin{align}\int&=\int\frac{-2x(x-2)-2(x-2)+2x^2}{x^2(x-2)}\mathrm dx\\&=-2\int\frac{\mathrm dx}x-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}+2\int\frac{\mathrm dx}{x-2}\\&=-2\ln|x|+\frac2x+2\ln|x-2|+c\end{align}$

$\blacksquare$

דוגמה 4

נחשב $\int\frac{x^2+x-2}{3x^3-x^2+3x-1}\mathrm dx$.

פתרון

אפשר לראות שהמכנה שווה ל-$x^2(3x-1)+(3x-1)=(3x-1)(x^2+1)$. ברור כי עבור $3x-1$ יש שורש $\frac13$, בעוד של-$x^2+1$ אין שורשים ממשיים. לכן יש למצוא A,B,C עבורם האינטגרנד הוא $\frac A{3x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$. נקבל $A=-\frac75,\ B=\frac45,\ C=\frac35$ ולכן

$\begin{align}\int&=-\frac75\int\frac{\mathrm dx}{3x-1}+\frac45\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx+\frac35\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}\\&=-\frac7{15}\ln|3x-1|+\frac25\ln(x^2+1)+\frac35\arctan(x)+c\end{align}$

$\blacksquare$

---

כלל: כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים.

דוגמה 5

$\int\frac{x^4-x^3-x-1}{x^3-x^2}\mathrm dx$

פתרון

נחלק:

$\begin{align}&x\\&\overline{x^4-x^3-x-1\ |}\ x^3-x^2=x(x^3-x^2)-\frac{x+1}{x^3-x^2}\\-\\&\underline{x^4-x^3}\\&\ \ \ \ 0\ \ \ \ -x-1\end{align}$

ולכן

$\begin{align}\int&=\int\left(x-\frac{x+1}{x^3-x^2}\right)\mathrm dx\\&=\int x\mathrm dx-\int\frac{-2x(x-1)-x(x-1)+2x^2}{x^2(x-1)}\mathrm dx\\&=\frac{x^2}2-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}-\int\frac{\mathrm dx}{x^2}+\int\frac{2\mathrm dx}{x-1}\\&=-2\ln|x|+\frac1x+2\ln|x-1|+c\end{align}$

$\blacksquare$