משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

נושא ראשון:
אינטגרביליות

מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על \mathbb R).

גרף (1)

נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:

  1. אינטגרבליות לפי דרבו
  2. אינטגרבליות לפי רימן

היום נדבר על הראשונה.

אינטגרבליות לפי דרבו

נסמן M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x) ו-m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x). לכל חלוקה T נגדיר \overline S(T):=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i ו-\underline S(T):=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i.

כמו כן נגדיר

\overline I:=\inf\{\overline S(T):\ חלוקה T\}

\underline I:=\sup\{\underline S(T):\ חלוקה T\}

אם \overline I=\underline I אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא ערך זה.

דוגמה 1

הוכח עפ"י הגדרת האינטגרל שהפונקציה f(x)=x אינטגרבילית בקטע [0,1] ומצא עפ"י ההגדרה את ערך האינטגרל.

פתרון

דרך 1: חישוב ע"י משולש.

דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0 (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). לדוגמה \Delta x=\frac1n.

במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות 0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,\tfrac{n-1}n,1, ז"א \overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}.

  1. רוחב המלבן
  2. אורך המלבן

(נשים לב כי f(x)=x פונקציה עולה ולכן, בגלל שלקחנו נקודת קצה ימנית, קיבלנו סכום עליון)

באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון (עם נקודות קצה שמאליות):

\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=0}^{n-1} \frac i n

אם נראה כי \overline I=\underline I נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).

נחשב:

\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac12

\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=0}^{n-1} i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac12

לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא \tfrac12. \blacksquare

הערה: נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות שלכל חלוקה כך ש-\Delta x\to0 מתקיים \overline I=\underline I.

דוגמה 2

חשב את השטח שמתחת לעקומה y=9-x^2 בקטע [0,3]. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.

פתרון

באופן כללי צריך לבחור חלוקה T_n שעבורה \lambda(T_n)\to0, למשל x_i=\frac{3i}n כאשר n\to\infty (ולכן \Delta x_i=\frac3n\to0). נבנה סכום דרבו מתאים:

ברור ש-m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)=9-x_i^2 ולכן: \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac3n f\left(\frac{3i}n\right) = \underline S
\lim_{n\to\infty}\frac3n\sum_{i=0}^n\left(9-\frac{3^2i^2}{n^2}\right) =
\lim_{n\to\infty}\frac3n\cdot9n-\frac3n\cdot\frac9{n^2}\sum_{i=0}^n i^2 =
\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\sum_{i=0}^n i^2 =
\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}6 =
27-\frac{27\cdot2}6 =
18 =

באותו אופן מגיעים ל-\overline S=18 ולכן \int\limits_0^3 f=18. \blacksquare

דוגמה 3

הוכח או הפרך: אם |f| אינטגרבילית ב-[a,b] אז f אינטגרבילית ב-[a,b].

פתרון

הפרכה: נבחר את הפונקציה f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\-1&x\not\in\mathbb Q\end{cases}=2D(x)-1 (כאשר D(x) היא פונקצית דיריכלה). ברור כי |f| אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית. \blacksquare

הערה: זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להוכיח שלכל חלוקה \Delta x\to0.

הערה: נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר.

דוגמה 4

הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-[a,b] ולכל [c,b]\subset[a,b] f אינטגרבילית ב-[c,b] אז f אינטגרבילית ב-[a,b].

פתרון

הוכחה: יהי \varepsilon>0 נתון. המטרה שלנו היא להראות כי יש חלוקה T_\varepsilon של [a,b] המקיימת ש-\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)<\varepsilon.

נתון כי f אינטגרבילית ב-[c,b] ולכן יש חלוקה T_{\varepsilon'} של [c,b] עבורה מתקיים \overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\frac\varepsilon2. נגדיר T_\varepsilon:=T_{\varepsilon'}\cup\{a\}.

נבנה סכום דרבו עליון ותחתון:

\overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})

\underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'})

לכן:

נסמן M:=\sup_{x\in[a,c]} f(x) וכן m:=\inf_{x\in[a,c]}f(x), לפיכך: M(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})-m(c-a) = \overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)
(M-m)(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'}) =
נבחר c כך ש- (c-a)(M-m)=\frac\varepsilon{2} (קיים כי כאשר a<c\to a מתקיים M-m\to0 ולכן (c-a)(M-m)\to0) \frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2 \le
\varepsilon =

\blacksquare

דוגמה 5

חשב \lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\frac{n-1}n}+e\right).

פתרון

נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה e^x בקטע [0,1]. e^x פונקציה אינטגרבילית. הגבול הנתון הוא \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}, וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים. לכן \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx.

לפי המשפט היסודי זה שווה ל-[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1 (הפונקציה הקדומה של e^x היא e^x). \blacksquare


משפט: תנאי הכרחי כדי שפונקציה f(x) תהיה אינטגרבילית ב-[a,b] הוא ש-f חסומה בקטע.

משפט: אם f חסומה בקטע [a,b] ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-[a,b].

דוגמה 6

קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית:

  1. f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x<\tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases} בקטע \left[0,\tfrac\pi2\right].

    פתרון

    לא אינטגרבילית: מתקיים \lim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\infty. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. \blacksquare

  2. f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)&x\ne0\\0&x=0\end{cases} בקטע [-1,1].

    פתרון

    כן אינטגרבילית: נשים לב כי -1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-x=0 ולכן f אינטגרבילית. \blacksquare