גרסה מ־19:06, 18 ביוני 2011

תוכן עניינים

1 התכנסות במ"ש (המשך)

התכנסות במ"ש (המשך)

משפט דיני

אם $f_n$ סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע $[a,b]$ ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף $f_n$ סדרה עולה לכל $x\in[a,b]$ . אזי $f_n$ מתכנסת במ"ש ב- $[a,b]$ .

דוגמה 1

בדוק הכנסות עבור הסדרה $f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)}$ בקטע

$\left[\frac\pi4,\frac34\pi\right]$

פתרון

נישם לב שעבור x בקטע $\sin(x)>0$ . קל לראות גם שפונקצית הגבול $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1$ . ברור כי $f_n$ רציפות ובקטע מתקיים $\sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)}$ . ברור כי פונקציה הגבול רציפה ולכן מתקיימים תנאי משפט דיני, מכאן שההתכנסות במ"ש. $\blacksquare$

$(0,\pi)$

פתרון

נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול $f(x)=1$ ומכיוון ש- $\sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0$ . $\blacksquare$

דוגמה 2

קבעו אם הטור $\sum_{n=1}^\infty x^{2n}$ מתכנס ב- $\left[-\frac34,\frac34\right]$ .

פתרון

נשתמש בטור הנדסי, נרשום $\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}$ ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. $\blacksquare$

דוגמה 3 משיעור קודם

הוכח או הפרך: אם $f_n:[a,b]\to[c,d]$ סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן $g:[c,d]\to\mathbb R$ פונקציה רציפה אז $g\circ f_n$ היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול $g\circ f$ .

פתרון

נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל $\varepsilon>0$ יש $\delta>0$ כך שאם $|y_1-y_2|<\delta$ אז $|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon$ . בנוסף נתון ש- $f_n$ מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל $n>N$ מתקיים $|f_n(x)-f(x)|<\delta$ (בפרט אפשר לבחור $\varepsilon=\delta$ . נשים לב ש- $g\circ f_n$ מוגדרת היטב ושם לכל $a\le x\le b$ ובפרט עבור $n>N$ מתקיים $|g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon$ .

מבחן ה-M של ווירשטראס

יהי $\sum f_n(x)$ טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנס של מספרים חיוביים $\sum a_n$ כך שלכל n גדול מספיק ולכל $x\in I$ מתקיים $|f_n(x)|\le a_n$ אז $\sum f_n(x)$ מתכנס במ"ש ב-I.

דוגמה 4

הוכח כי $\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n$ מתכנס במ"ש ב- $[0,1]$ .

פתרון

נרשום את הטור כ- $\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n$ נסמן $f(x)=x(1-x)$ ונחסום אותה: $f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x$ ו- $f'(x)=0\iff x=\frac12$ , שהיא מקסימום כי $f''(1/2)=1-2=-1<0$ . נותר לבדוק את קצוות הקטע: $x\in[0,1]\implies0\le x(1-x)\le\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n$ . לפי מבחן ה-M של ווירשטרס $\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}$ מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי הטור $\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n$ מתכנס במ"ש.

אינטגרציה איבר-איבר בסדרות

אם $f_n$ סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז f אינטגרבילית בקטע ומתקיים $\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f$

דוגמה 5

קבע האם $\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n$ מתכנס כאשר $0\le x\le1$ ו- $f_n(x)=nxe^{-nx^2}$ . נציב $y=x^2$ ואז $\int\limits_0^1 f_n=\frac12\int\limits_0^1ne^{-ny}\mathrm dy=\frac12\left[\frac{ne^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12$ עבור צד ימין $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx2}}=0$ (השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי $\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 n<math>xe^{-nx^2}\mathrm dx$ </math> ז"א אכן לא מתקיים שיוויון.

נראה ש- $f_n$ לא מתכנסת במ"ש.

=פתרון

ברור כי פונקצית הגבול היא 0. נשתש במבחן ה-M (כי כל גישה אחרת דורשת חלוקה לקטעים). נחפש מקסימום ל- $f_n(x)$ : $f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-n^2x^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-n^2x^2}(-2x^2n+1)=0$ ונקבל $x=\frac1\sqrt{2n}$ . מתקיים $\sup|\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{4n}}-0|\not\to0$ .

@@ שורה 21: / שורה 21: @@
 ==מבחן ה-M של ווירשטראס==
-יהי <math>\sum f_n(x)</math> טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנסשל מספרים חיוביים <math>\sum a_n<M</math> כך שלכל n גדול מספיק ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)|\le a_n</math> אז <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס במ"ש ב-I.
+יהי <math>\sum f_n(x)</math> טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנס של מספרים חיוביים <math>\sum a_n</math> כך שלכל n גדול מספיק ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)|\le a_n</math> אז <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס במ"ש ב-I.
 ==דוגמה 4==
 הוכח כי <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,1]</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/22.5.11"

גרסה מ־19:06, 18 ביוני 2011

תוכן עניינים

התכנסות במ"ש (המשך)

משפט דיני

דוגמה 1

פתרון

פתרון

דוגמה 2

פתרון

דוגמה 3 משיעור קודם

פתרון

מבחן ה-M של ווירשטראס

דוגמה 4

פתרון

אינטגרציה איבר-איבר בסדרות

דוגמה 5

=פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים