משתמש:אור שחף/133 - תרגול/3.4.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שימושי האינטגרל

דוגמה 1

חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה y=4x והישר y=2x-4.

פתרון

נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: (2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4.

  • דרך 1: נסובב את מערכת הצירים ב-90^\circ ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4 וכן y=2x-4\implies x=\frac12y+2. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם -2,4 (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא \left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9.
  • דרך 2: נפרק לשלושה שטחים: השטח S_1 בין x=1 ל-4 ושני שטחים שווים S_2=S_3 בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9

דוגמה 2

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1.

פתרון

נקודות חיתוך:

  • y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0
  • y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2)
  • ברור כי ל-y=e^x,\ y=0 אין נקודת חיתוך.

לכן השטח הוא \left|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right|+\left|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right|=2-\ln(4)-\frac1e.

דוגמה 3

מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a.

פתרון

חישוב שטח פירמידה.png
חישוב נפח פירמידה עם משולש.png

נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה [0,y] החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה. מדמיון משושלים נקבל \frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a ולכן שטח חתך כזה הוא S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2. נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר השמתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא \int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3.

נפח גוף סיבוב

נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x מתקבל ע"י הנוסחה V=\int\limits_a^b\pi(f(x))^2\mathrm dx.

דוגמה 4

חשבו את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הפרבולה y^2=8x סביב ציר ה-x, עד לישר x=2.

פתרון

y^2=8x\implies y=\pm\sqrt{8x}. מכיוון שעם סיבוב הרביע הראשון מתקבל הרביע הרביעי מספיק לחשב את נפח גוף הסיבוב של \sqrt{8x} בין 0 ל-2. לכן, לפי הנוסחה, V=\int\limits_0^2\pi\left(\sqrt{8x}\right)^2\mathrm dx=8\pi\left[\frac{x^2}2\right]_{x=0}^2=16\pi.

דוגמה 5

מצאו נוחה לחישוב נפח של כדור שרדיוסו r.

פתרון

ע"מ לחשב את הנוסחה נוכל לסובב את חציו העליון של עיגול. לפי נוסחת מעגל x^2+y^2=r^2 ולכן בחצי המישור העליון y=\sqrt{r^2-x^2}. הנפח הוא \int\limits_{-r}^r\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\mathrm dx=\pi\int\limits_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)\mathrm dx=\frac43\pi r^3.

דוגמה 6

מצאו את נפח הגוף שנוצר כאשר מסובבים את התחום הכלוא בין הגרפים f(x)=\frac12+x^2 ו-g(x)=x בקטע [0,2].

פתרון

נמצא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך: \frac12+x^2=x\implies x\not\in\mathbb R, כלומר אין נקודות חיתוך. לפיכך הנפח הוא \int\limits_0^2\pi\left((f(x))^2-(g(x))^2\right)\mathrm dx=\pi\int\limits_0^2\left(\left(x^2+\frac12\right)^2-x^2\right)\mathrm dx=\dots=\frac{69}{10}\pi.


נפח גוף סיבוב המסתובב סביב ציר ה-y במקום ציר ה-x בקטע [a,b] נתון ע"י הנוסחה V=2\pi\int\limits_a^b xf(x)\mathrm dx.

דוגמה 7

חשבו הנפח הנוצר מסיבוב התחום הנקבע ע"י y=\sqrt x,\ x=1,\ x=4 סביב ציר ה-y.

פתרון

לפי הנוסחה V=2\pi\int\limits_1^4\sqrt x^3\mathrm dx=2\pi\left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{x=1}^4=\frac{124}5\pi.

דוגמה 8

חשב את נפח התחום שמתחת ל-y=x^2 בקטע [0,2] המסתובב סביב ציר ה-x.

פתרון

\int\limits_0^2\pi x^4\mathrm dx=\frac{32}5\pi.