תוכן עניינים

1 שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים
2 דוגמה 1
3 האינטגרל הלא מסויים
- 3.1 דוגמה 1 (שיטת פירוק)
- 3.2 דוגמה 5
  - 3.2.1 פתרון

שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים

המטרה: לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).

דוגמה 1

חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:

$\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx$
פתרון: נשים לב להגדרת $|x-3|$ לפיה האינטגרל שווה ל- $\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx$ . מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - $\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5$ ועבור II - $\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2$ ולכן השטח הכולל הוא 6.5.

הערה: אם התחום היה  $[4,5]$  היינו מחשבים לפי שטח טרפז.

$\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx$ . פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן $y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2$ . קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. $\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2+c$
$\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx$ , כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן $y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2$ . זוהי אליפסה שמרכזה ב- $(0,0)$ . נסמן $a=2,\ b=\sqrt2$ ולפי נוסחה לשטח אליפסה ( $\pi a b$ ) נקבל $2\sqrt2\pi$ והאינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר $\sqrt2\pi$ .

האינטגרל הלא מסויים

המטרה: להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה. $F(x)\int f(x)\mathrm dx$ ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, $\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x$ ולכן $\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c$

דוגמה 1 (שיטת פירוק)

חשב $\int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx$ .

פתרון

זה שווה ל- $2\int\frac{x^4+1-1}{1+x^2}\mathrm dx=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c$

באופן טכני נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב- $\mathbb R$ ). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפס להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה: $\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx$

דוגמה 2

$\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}$ . דרך א: האינטגרל הוא $4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}$ . זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את דרך ב: $\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}=\tan(x)-\cot(x)+c$

בדיקה: אפשר לגזור על הפונקציה הקדומה ולבדוק אם הגענו לתשובה הנכונה.

שיטת ההצבה: $\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c$

דוגמה 3

חשב $\int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx$ .

פתרון

נציב $y=\sin(x)$ ולכן $\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx$ . נחזור לתרגיל: $\int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c$

באופן כללי: בפונקציות מהצורה $\sin^n(x)\cos^m(x)$ (עבור $n,m\in\mathbb N$ ) נשתמש בשיטת ההצבה אם $m+n$ אי זוגי. אם זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות. לדוגמה: $\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}2$

אינטגרציה בחלקים: הכלל $\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx$

דוגמה 4

חשב את האינטגרלים הבאים:

$\int xe^x\mathrm dx$ . פתרון: לפי אינטגרציה בחלקים, $f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x$ . לכן האינטגרל שווה ל- $xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c$ . מסקנה: כל פולינום ממעלה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \mathdd לא מוכרת): n\in\mathdd N

כפול פונקציה שמקיימת (עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \mathdd לא מוכרת): m\in\mathdd N

) $g^{(m)}(x)=g(x)$ נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון.

$\int\ln(x)\mathrm dx$ . פתרון: נסמן $f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x$ ואז $x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c$ .
$\int\sin(x)e^x\mathrm dx$ פתרון: $f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x$ ואז $\sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx$ . ולפי אינטגרציה שנייה: $\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx$ ולכן $\int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c$ .