משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11

את דוגמה 6 לא סיימנו בתרגול הקודם ולכן השלמנו אותה ב-8.5.11. חלק זה מופיע בסיכום התרגול הקודם ולא בדף הנוכחי.

אינטגרל

דוגמה 1

קבעו האם $\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x+x^2}$ מתכנס או מתבדר.

פתרון

נחלק לשני אינטגרלים $\int\limits_0^\infty=\int\limits_0^1+\int\limits_1^\infty$. עבור $x\in(0,1]$ מתקיים $x+x^2\ge x$, לכן $\frac1\sqrt{x+x^2}\le\frac1\sqrt x$. ברור ש-$\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x$ מתכנס ולכן, לפי מבחן ההשוואה, $\int\limits_0^1$ מתכנס.

עבור $x\in[1,\infty)$ מתקיים $\frac1\sqrt{2x^2}\le\frac1\sqrt{x+x^2}$, ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתבדר. $\blacksquare$

נושא שני:
התכנסות של פונקציות

לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות $f_n(x)=\frac1{x^n}$. קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-$\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=\left\{\frac1{x^n}\right\}_{n=1}^\infty$. לדגמה, נבחר $x>1$. קל לראות ש-$\lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}0$, ולכן $f(x)=0$ היא פונקצית הגבול.

הגדרות

• סדרה $\{f_n\}$ של פונקציות היא התאמה שבה לכל n טבעי מותאמת פונקציה $f_n$.
• אם לכל $x_0$ בקטע הסדרה $\{f_n(x_0)\}$ מתכנסת, אז נאמר כי סדרת הפונקציות "מתכנסת נקודתית" ונסמן $f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$.

דוגמה 1

קבעו התכנסות של $f_n(x)=x^n$ ב-$[0,1]$.

פתרון

נחלק לשני מקרים:

• אם $x=1$ אז $f(1)=\lim_{n\to\infty}1^n=1$.
• אם $x\in[0,1)$ אז $f(x)=0$.

$\blacksquare$

דוגמה 2

בדקו התכנסות של $f_n(x)=\frac1{1+n^2x^2}$ ב-$\mathbb R$.

פתרון

נחלק למקרים:

• $x=0\implies f(x)=\frac1{1+0}=1$
• $x\ne0\implies f(x)=\frac1{1+\infty}=0$

$\blacksquare$

---

הגדרה: תהינה $\{f_n\}$ סדרת פונקציות בקטע I. נאמר כי $f_n$ מתכנסת במ"ש אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $n>n_0$ ולכל $x\in I$ מתקיים $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$.

דוגמה 3

נתונה $f_n(x)=\left(1+\frac1n\right)x^2$. קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-$(0,1)$.

פתרון

במקרה שלנו קל לראות ש-$f_n(x)$ מתכנסת נקודתית ל-$x^2$ כי $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)x^2=\lim_{n\to\infty}x^2+\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{n^2}=x^2+0=x^2$. מסקנה: $f(x)=x^2$.

כדי לבדוק התכנסות במ"ש נשתמש בהגדרה. צריך להתקיים שלכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $n>n_0$ ולכל $x\in I$ מתקיים $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$. נציב: $|f_n(x)-f(x)|=\left|\left(1+\frac1n\right)x^2-x^2\right|=\frac{x^2}n\le\frac1n<\varepsilon$. לכן מספיק לבחור $n_0\ge\frac1\varepsilon$ ונקבל שיש גם התכנסות במ"ש. $\blacksquare$

דוגמה 4

הראה כי $f_n(x)=x^n$ לא מתכנסת במ"ש ב-$(0,1)$.

פתרון

מצאנו בדוגמה 1 ש-$f(x)=0$. נשים לב כי $\forall n\in\mathbb N:\ \lim_{x\to1}x^n=1$ ז"א $\forall n\in\mathbb N:\ \exists x_0\in(0,1):\ \frac12<x_0^n<\frac32$ (לפי הגדרת הגבול). לכן $\exists\varepsilon>0:\ \forall n_0\in\mathbb N:\ \exists n>n_0:\ \exists x_0\in(0,1):\ |f_n(x_0)-f(x_0)|=|x_0^n-0|>\frac12>\varepsilon$ ולכן ההתכנסות לא במ"ש. $\blacksquare$