פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

נמצא פ"א: $p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x-1 & -1 & -1\\ 0 & x-1 & -1\\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}=(x-1)^3$ כי דטר' של מטר' משולשית היא מכפלת איברי האלכסון.

זהו גם הפ"מ של A: הפ"מ מחלק את הפ"א, לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה $(x-1)^\alpha$, כאשר $\alpha \leq 3 \wedge \alpha \in\mathbb{N}$.

נבדוק ישירות שA-I בריבוע שונה ממטריצת אפסים: $(A-I)^2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 0& 0 &1 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}$

אבל $(A-I)^3=(A-I)^2)(A-I)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 0& 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}$

קיבלנו שהמטריצה $A-I$ נילפ' מאינדקס 3. לכן, לפי משפט שהוכחנו, הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות. אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו ש$A-I$ דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3.

לפי הגדרת דמיון המטריצות, קיימת מטר' הפיכה $P$ כך ש: $P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=J_3(0)$

נעביר אגפים ונקבל:$P^{-1}AP=I+J_3(0)$

קיבלנו שצורת ז'ורדן הדומה ל-A היא $J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

כנדרש! :)