פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5

$p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)$

הפ"מ מחלק את הפ"א, ולכן ישנן 9 אפשרויות עבור הפ"מ (באופן כללי - מס' הפ"מ האפשריים הוא כפל כל המעריכים שבפ"א - קומבינטוריקה פשוטה). מדובר בבדיקה מייגעת ולא מתוחכמת, אבל כנראה שאין ברירה -- נבדוק את כל האפשרויות.

נזכור ראשית שהחזקה של הגורם $\ x-2$ בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע"ע 2 בצורת ז'ורדן של המטריצה=1; לכן מופיע בלוק ז'ורדן של 2 מסדר 1. אבל הריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 2 בצורת ז'ורדן=1, ולכן בכל צורות ז'ורדן האפשריות יש בדיוק בלוק אחד שמתאים ל-2, והוא מסדר 1.

1) עבור פ"מ $M_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)=p_A(x)$ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

2) עבור פ"מ $M_A(x)=x^{3}(x-1)^{2}(x-2)$ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

3) עבור פ"מ $M_A(x)=x^{2}(x-1)^{3}(x-2)$ , צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5

Math-Wiki