פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה

ידוע שמטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן (עד כדי סדר הבלוקים). שתי המטריצות בשאלה כבר נתונות כסכום של בלוקי ז'ורדן:


A=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0  & 0\\ 
 0& 0 &0  &0 \\ 
0 & 0 &  0&1 \\ 
 0& 0 &0  &0 \\
\end{pmatrix} = \left(
\begin{array}{cc}
\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} &  \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array} \\
\\
\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array} &  \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}
\end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_2(0) & 0 \\ 0 & J_2(0)\end{pmatrix} = J_2(0) \oplus J_2(0),

ואילו B=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0  & 0\\ 
 0& 0 &1  &0 \\ 
0 & 0 &  0&0 \\ 
 0& 0 &0  &0 \\
\end{pmatrix}
= \left(
\begin{array}{cc}
\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array} &  \begin{array}{c} 0 \\  0 \\ 0\end{array} \\
\\
\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \end{array} &  0
\end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_3(0) & 0 \\ 0 & J_1(0)\end{pmatrix} = J_3(0) \oplus J_1(0),

קיבלנו שצורות ז'ורדן של שתי המטריצות הנתונות שונות, ולכן הן אינן דומות.

נימוק אחר: חישוב ישיר מראה ש-\ A^2 = 0 בעוד ש-\ B^2 \neq 0. לכן הן אינן יכולות להיות דומות.


סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים dimkerA+dimImA=dimV, כאשר V המ"ו שעליו פועלת הטרנספורמציה A (\forall v \in F^4: A(v):=A\cdot v)

ולכן dimkerA=dimV-dimImA.

ידוע גם rank(A)=dimImA=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2.

כמו כן dimV=4 שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב F^4 לעצמו.

לכן בסה"כ dimkerA=4-2=2.


באופן דומה עבור B, מתקיים dimkerB+dimImB=dimV, ולכן dimkerB=dimV-dimImB.

ידוע גם rank(B)=dimImB=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2.

כמו כן dimV=4 שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב F^4 לעצמו.

לכן בסה"כ dimkerB=4-2=2.

(ידוע ש-A היא המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה המוגדרת בעזרתה וכו' - כל זה מלינארית 1, אין צורך לפרט)


לסיכום, קיבלנו dimkerA=dimkerB=2. מש"ל!