פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ד, מועד א, שאלה 11

$A=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 &0 \\ 1& 4 & 0 & 0\\ 2& 3& 3 &0 \\ 4 & 5 &6 & 3 \end{pmatrix}$

נמצא פ"א:$p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x-5 & 0 & 0 &0 \\ -1& x-4 & 0 & 0\\ -2& -3&x- 3 &0 \\ -4 & -5 &-6 &x- 3 \end{vmatrix}=(x-5)(x-4)(x-3)^2$

שכן דטר' של מטר' משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי.

הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, ולכן צורת ז'ורדן של A קיימת בהכרח.

כעת, נמצא את הפולינום המינימלי.

נציב את A לפול': $(x-5)(x-4)(x-3)$, ונקבל: $(A-5I)(A-4I)(A-3I)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &0 \\ 1& -1 & 0 & 0\\ 2& 3& -2 &0 \\ 4 & 5 &6 & -2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 1& 0 & 0 & 0\\ 2& 3& -1 &0 \\ 4 & 5 &6 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 &0 \\ 1& 1 & 0 & 0\\ 2& 3& 0 &0 \\ 4 & 5 &6 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0& 0 & 0\\ 0 & 0& 0 & 0\\ 0 & 0& 0 & 0\\ 6& -36 & 12& 0 \end{pmatrix}$ שונה ממטריצת אפסים. לכן הפ"מ חייב להיות שווה לפ"א.

זה מספיק כדי לקבוע לנו חד-משמעית (עד כדי שינוי סדר הבלוקים) את צורת ז'ורדן של A:

$\begin{pmatrix} J_1(5) & & \\ & J_1(4) & \\ & & J_2(3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} J_1(5) & & \\ & J_1(4) & \\ & & J_2(3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5& & & \\ & 4 & & \\ & &3 &1 \\ & &0 &3 \end{pmatrix}$

(המקומות הריקים הם אפסים.)