פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה $A=\begin{pmatrix} 1 &0 & 0 &0 \\ 4 & 2 &0 & 0\\ 7 & 5 & 3 & 0\\ 9 &8 & 6 & 2 \end{pmatrix}$

קודם כל, המטריצה משולשית, ולכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים, ולכן נתנת לג'רדון.

נמצא את הפולינום האופייני של A: $P_{A}(x)=(x-1)(x-3)(x-2)^{2}$, ובגלל ש $(x-1)(x-3)(x-2)$ לא מאפס את המטריצה הפולינום המינימלי הוא יוצא גם הוא אותו דבר (בגלל שכל השורשים של הפולינום האופייני נמצאים בפולינום המינימלי ובגלל שהפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני ובגלל שבדקנו את כל האפשרויות שמקיימיות את זה). לכן במטריצה המג'ורדנת יש בלוק של הערך 1 מסדר 1, בלוק של הערך 3 מסדר 1 ובלוק של הערך 2 מסדר 2. ומכיון שהמטריצה היא מסדר 4, אין מקום לבלוקים נוספים.

ובסך הכל צורת הג'ורדן של המטריצה היא $J_{A}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 3 &0 &0 \\ 0&0 & 2 &1 \\ 0 &0 &0 & 2 \end{pmatrix}$