גרסה מ־06:38, 14 בנובמבר 2016

לפני שמתחילים

תמיד אפשר להניח שהמקדם של $x^4$ הוא $1$ (אחרת פשוט נחלק בו).

תמיד אפשר להניח שהמקדם של $x^3$ הוא $0$ . למה? נניח נתון הפולינום $x^4+ax^3+bx^2+c+d$ אז נעשה הצבה $x=y-\frac{a}{4}$ ונקבל פולינום $y^4+(*)y^2+\dots$ .

סך הכל נניח שאנחנו צריכים לפתור פולינום מהצורה $x^4+px^2+qx+r=0$ .

דרך א

ננסה לפרק את הפולינום לגורמים ריבועיים $x^4+px^2+q+r=^{?} (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$

נפתח ונשווה מקדמים ונקבל את המערכת: $\begin{cases} 0=a+c \\ p=b+d+ac \\ q=ad+bc \\ r=bd \end{cases}$ .

משלושת המשוואות הראשונות אפשר לקבל את $b,c,d$ כביטוי של $a$ , ואז הצבה במשוואה הרביעית נותנת פולינום $a^6+2pa^4+(p^2-4r)a^2-q^2=0$ --- פולינום מדרגה 3 ב $a^2$ שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.

דרך ב

ננסה לעשות השלמה לריבוע, תוך שאנחנו מוסיפים משתנה $u$ :

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): x^4+px^2+qx+r=(x^2+\frac{p}{2}+u)^2-(\frac{p}{2}})^2-u^2-pu-2ux^2+qx+r=0

נעביר אגפים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): (x^2+\frac{p}{2}+u)^2=2ux^2-qx+(\frac{p}{2}})^2+pu+u^2-r

נעשה השלמה לריבוע גם לצד השני (כאשר המטרה שלנו היא להגיע למשוואה מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): (*)^2=(#)^2

וכך לקבל פולינום מדרגה קטנה יותר.)

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): (x^2+\frac{p}{2}+u)^2=(\sqrt{2u}x-\frac{q}{2\sqrt{2u}})^2-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2}})^2+pu+u^2

כדי שבאמת נקבל משוואה מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): (*)^2=(#)^2

נרצה ש

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): -\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2}})^2+pu+u^2=0

וזה פולינום מדרגה 3 ב $u$ שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.

@@ שורה 19: / שורה 19: @@
 ננסה לעשות השלמה לריבוע, תוך שאנחנו מוסיפים משתנה <math>u</math>:
-<math>x^4+px^2+qx+r=(x^2+\frac{p}{2}+u)^2-(\frac{p}{2}}^2-u^2-pu-2ux^2+qx+r=0</math>
+<math>x^4+px^2+qx+r=(x^2+\frac{p}{2}+u)^2-(\frac{p}{2}})^2-u^2-pu-2ux^2+qx+r=0</math>
-נעביר אגפים <math>(x^2+\frac{p}{2}+u)^2=2ux^2-qx+(\frac{p}{2}}^2+pu+u^2-r</math>
+נעביר אגפים <math>(x^2+\frac{p}{2}+u)^2=2ux^2-qx+(\frac{p}{2}})^2+pu+u^2-r</math>
 נעשה השלמה לריבוע גם לצד השני (כאשר המטרה שלנו היא להגיע למשוואה מהצורה <math>(*)^2=(#)^2</math> וכך לקבל פולינום מדרגה קטנה יותר.)
-<math>(x^2+\frac{p}{2}+u)^2=(\sqrt{2u}x-\frac{q}{2\sqrt{2u}})^2-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2}}^2+pu+u^2</math>
+<math>(x^2+\frac{p}{2}+u)^2=(\sqrt{2u}x-\frac{q}{2\sqrt{2u}})^2-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2}})^2+pu+u^2</math>
 כדי שבאמת נקבל משוואה מהצורה <math>(*)^2=(#)^2</math> נרצה ש
-<math>-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2}}^2+pu+u^2=0</math>
+<math>-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2}})^2+pu+u^2=0</math>
 וזה פולינום מדרגה '''3''' ב <math>u</math> שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.

הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 4"

גרסה מ־06:38, 14 בנובמבר 2016

לפני שמתחילים

דרך א

דרך ב

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים