פתרון 6 (אלעד איטח)

א. הריבוי האלגברי של ע"ע t מוגדר להיות $\max\left\{ k : \left(x-t\right)^{k}\vert f_{A}\left(x\right)\right\}$. הריבוי הגיאומטרי שלו מוגדר בתור מימד המרחב העצמי של t.

ב. נחשב את הפולינום האופייני:

$f_{A}(x)=|xI-A|=\left | \begin{pmatrix} x-2 &-2 &1 \\ 0 &x+1 &-2 \\ 0 &6 &x-6 \end{pmatrix} \right |=(x-2)\left | \begin{pmatrix} x+1 &-2 \\ 6 & x-6 \end{pmatrix} \right |=(x-2)[(x+1)(x-6)+12]=(x-2)^{2}(x-3)$

שורשי פולינום זה הם הע"ע של A, ולכן 2 ו-3 הם הע"ע של A, מריבוי אלגברי 2 ו-1 בהתאמה. ריבוי גיאומטרי של ע"ע קטן או שוהה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל-1.

לכן, הריבוי הגיאומטרי של הע"ע 3 הוא 1. נחשב ונקבל ש- $(A-2I)(A-3I)\neq 0$

כלומר, לא קיים פולינום מאפס של A מתוקן ממעלה נמוכה מזו של הפולינום האופייני ובעל אותם גורמים אי-פריקים.

לכן, הפולינום האופייני הוא גם הפולינום המינימלי של A (כי הפולינום האופייני הוא מתוקן ומאפס, לפי משפט קיילי-המילטון).

הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן של A, שנסמן J. מס' הבלוקים של כל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן יש בלוק אחד של 3. הסדר של הבלוק הכי גדול של ע"ע t הוא החזקה של x-t בפולינום המינימלי של A.

לכן הבלוק הכי גדול של 3 הוא מסדר 1 והבלוק הכי גדול של 2 הוא מסדר 2. J היא מסדר שלוש. לכן, יש ב-J שני בלוקים, אחד מסדר 1 של הע"ע 3 ואחד מסדר 2 של הע"ע 2. לסיכום, $J=\begin{pmatrix} 2 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \\ 0 &0 &3 \end{pmatrix}$ היא צורת הז'ורדן של A.