גרסה מ־09:03, 12 בנובמבר 2010

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

תוכן עניינים

1 הוספת שאלה חדשה
2 ארכיון
3 שאלות

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

ארכיון 1

שאלות

פעולות שורה ועמודהֿ

רק כדי להיות בטוח- דט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה וגם עמודה, שווה לדט' של המטריצה המקורית, נכון?

(לא מתרגל/ת): לא:

-2=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\ne\begin{vmatrix}4&4\\6&4\end{vmatrix}=-8

למרות שהכפלנו את השורה הראשונה והעמודה הראשונה ב-2. עם זאת, הדט' של מט' שהפעלנו עליה החלפת שורות וגם עמודות או הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר - שווה לדט' של המטריצה המקורית (כי הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר לא משנה את הדטרמיננטה והחלפת שורות k פעמים ב-A ו-k פעמים ב-

A^T

מכפילה את הדט' ב-

(-1)^{2k}=1

). אור שחף ^שיחה 11:39, 8 בנובמבר 2010 (IST)

גם לא מתרגלת: אבל למדנו שאחרי כפל שורה במטריצה פי a צריך לחלק את הדטרמיננטה ב-a. אז בהנחה שכך זה גם לגבי עמודה, אם כפלת פעמיים פי 2, צריך לחלק ב-4 ואז יצא שיוויון. כך שזו לא דוגמה נגדית כלל. אז אני מצטרפת לשאלה!

כל שני מספרים שווים עד כדי כפל בקבוע, זה לא אומר שהם שווים באמת. --ארז שיינר 21:46, 8 בנובמבר 2010 (IST)

(לא מתרגל/ת): תשובה נוספת: כמובן שדט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה וגם עמודה ושחילקנו אותה (את הדטרמיננטה) בכל הסקלרים שבהם הכפלנו את השורות והעמודות, שווה לדט' של המטריצה המקורית, אבל זו לא הייתה השאלה. אור שחף ^שיחה 22:12, 8 בנובמבר 2010 (IST)

מרחב וקטורי נוצר סופית

מותר לנו להניח שכל המרחבים הוקטורים בתרגילים הם ממימד סופי, גם אם זה לא מצויין מפורשות? אור שחף ^שיחה 20:05, 8 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 4 שאלה 2

בתרגיל כתוב למצוא את $A^{-1}$ על ידי שימוש בפרוק $A=PDP^{-1}$ . לא הבנתי מה הכוונה, הדבר היחיד הקשור שמצאתי זה ש- $A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}$ אבל אם כבר מחשבים את $D^{-1}$ אז פשוט יותר לחשב את $A^{-1}$ בדרך ה"רגילה" (דירוג (A|I)) וזהו, לא?

בעצם מהי הדרך הפשוטה והקצרה ביותר לחשב את $A^{-1}$ ?

עבור

A\in\mathbb{F}^{2\times2}

הדרך הפשוטה ביותר היא

\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}

ועבור

A\in\mathbb{F}^{3\times3}

:

\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & k\\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, K\\ \end{bmatrix}

כאשר

\begin{matrix} A = (ek-fh) & D = (ch-bk) & G = (bf - ce) \\ B = (fg-dk) & E = (ak-cg) & H = (cd-af) \\ C = (dh-eg) & F = (bg-ah) & K = (ae-bd) \\ \end{matrix}

(מתוך ויקי האנגלית). באופן כללי עדיף לחשב לפי דירוג או adj (מתוך השיטות שכבר למדנו. בוויקיפדיה העברית כתוב שיש שיטות הרבה יותר יעילות, אבל לא נוח ליישם אותן). עם זאת, זה לא רלוונטי כי בתרגיל ביקשו דווקא לפי PDP^-1.

תודה על התשובה. זה בעצם

adj(A)/det(A)

ולמדנו את זה. אני לא רואה היגיון בלחשב את

D^{-1}

באמצעות שיטה לבחירתי, ואז לחשב את

P^{-1}

, ואז לכפול שלוש מטריצות, וכל זה במקום חישוב יחיד של

A^{-1}

בדרך לבחירתי. למה זה?? אגב, בטוח שהדירוג של (A|I) לא קצר יותר מחישוב

adj(A)/det(A)

?

מה מיוחד במטריצה D? להפוך אותה לוקח שנייה וחצי ולא צריך שום אלגוריתם. --ארז שיינר 23:45, 8 בנובמבר 2010 (IST)

אה התבלבלתי בסימון, התכוונתי להפוך את P באמצעות שיטה לבחירתי, ואז להפוך את D, ואז לכפול שלוש מטריצות. החישוב של ההפוכה ל-P הוא מסובך כמו החישוב של ההפוכה של A, לא? אז איפה ההיגיון...

כי עם P^-1 אפשר לחשב גם את A³. אמנם 3 זה לא הרבה, אבל מה אם היו שואלים אותנו על A²⁰? או על A¹⁰⁰⁰⁰? אפילו wolframalpha ויתר. ובלי שום קשר - תשובה?. אור שחף ^שיחה 00:00, 9 בנובמבר 2010 (IST)

אופס, בעצם הוא לא ויתר. פשוט אין לו כוח להציג את <צונזר על מנת לשמור על שפיות הדף> אבל ב-100000000 הוא נכנע.

חח טוב השתכנעתי, תודה.

שאלה 1

איך מגיעים מכך ש $(A-xI)v=0$ לזה ש A לא הפיכה? תודה!

(לא מתרגל/ת): אתה מתכוון

A-xI

לא הפיכה? A דווקא יכולה להיות הפיכה, למשל אם A=I אז A הפיכה ועבור x=1 מתקיים

\exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0

(ולכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולכן (A-xI) לא הפיכה). ובאותה הזדמנות, כבר 47 שעות לא קיבלתי תשובה פה. אור שחף ^שיחה 19:11, 10 בנובמבר 2010 (IST)

כמו כן, למה כוונתך בשאלה 1? האם כוונתך היא לשאלה הראשונה בתרגול הבית? אם כן באיזה תרגול? או שסתם לשאלה אחת מבין כלל שאלותיך? אבקש, בשמי ושמם של אחרים שלהבא תרשום את מספרה המדויק של השאלה ומאיזה תרגול היא לקוחה, בכדי שנוכל להבין לאיזו "שאלה 1" אתה מתכוון. בכל אופן אם כוונתך היא לשאלה 3.3ב מתרגול 5, הסתמך על הטענה הראשונה באותו הסעיף והוכח בעזרתה את החלק השני של הסעיף. רמז: עבור אילו ערכים של

|A|

המטריצה לא תהיה הפיכה?

כמו כן - שאלה למתרגלים, מדוע נוצר הפיצול בין קבוצות הדיון? הרי בסופו של דבר אלו אותם השיעורים, ולכן ישאלו אותן השאלות, ובסופו של הדבר אני מאמין שאם מישהו ישאל שאלה בפורום מסוים והיא לא תיענה בו אז הוא ישאל את אותה השאלה גם בפורום השני. בברכה, גל.

כן שאלה 1 מהתרגיל- מן הסתם מהתרגיל הנוכחי, תרגיל 5, ונכון, התכוונתי ל A-xI ולא לA. אפשר עזרה לגבי A-xI? (הסתדרתי בפתרון כללי של התרגיל, אך אני רק צריך עזרה בהוכחת הטענה שבשאלתי). תודה!

(לא מתרגל/ת): לא הבנתי - יש לך בעיה להוכיח ש-

A-xI

לא הפיכה? כאמור:

\exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0

, לכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולפיכך (A-xI) לא הפיכה, מש"ל. אם זו לא הבעיה - תקן אותי. אור שחף ^שיחה 21:40, 10 בנובמבר 2010 (IST)

למה אם יש פתרון לא טריוויאלי אז A-xI לא הפיכה?

כדאי שתחזור על החומר בלינארית 1, זה היה משפט. בכל אופן, ניתן להוכיח זאת בקלות: נניח בשלילה ש-

A-xI

הפיכה, כלומר קיימת

(A-xI)^{-1}

כך ש-

(A-xI)^{-1}\ (A-xI)=I

. נכפיל (מימין, כמובן) ב-

v\ne\vec0

ונקבל

\begin{align}&(A-xI)^{-1}\ (A-xI)v=Iv\\\implies&(A-xI)^{-1}\ \vec0=v\\\implies&\vec0=v\ne\vec0\end{align}

בסתירה. אור שחף ^שיחה 18:20, 11 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה 3.18

בסעיף א', מה זה אומר (הוכח שהפולינום....) "מאפס את A"?? מה זה מאפס? מאפס כשמציבים משהו? מאפס את הפולינום האופייני של A? ?

תשובה

הצבת מטריצה בפולינום (כמו בלינארית 1). יהי פולינום $f=a_nx^n+...+a_0$ ותהי A מטריצה ריבועית. אזי לפי הגדרה $f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I$ . קל לראות ש $f(A)$ מטריצה ריבועית מאותו גודל כמו A. A מאפסת את f אם המטריצה $f(A)$ הינה מטריצת האפס. --ארז שיינר 19:23, 11 בנובמבר 2010 (IST)

אמרו להוכיח שהפולינום מאפס את A ולא A מאפסת פולינום. ואם הכוונה היא להציב את A בפולינום עם A במקום x, אז הניסוח של השאלה ממש אבל ממש לא ברור

@@ שורה 76: / שורה 76: @@
 ===תשובה===
 הצבת מטריצה בפולינום (כמו בלינארית 1). יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_0</math> ותהי A מטריצה ריבועית. אזי לפי הגדרה <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math>. קל לראות ש <math>f(A)</math> מטריצה ריבועית מאותו גודל כמו A. A מאפסת את f אם המטריצה <math>f(A)</math> הינה מטריצת האפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:23, 11 בנובמבר 2010 (IST)
+:אמרו להוכיח שהפולינום מאפס את A ולא A מאפסת פולינום. ואם הכוונה היא להציב את A בפולינום עם A במקום x, אז הניסוח של השאלה ממש אבל ממש לא ברור

הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב"

גרסה מ־09:03, 12 בנובמבר 2010

תוכן עניינים

הוספת שאלה חדשה

ארכיון

שאלות

פעולות שורה ועמודהֿ

מרחב וקטורי נוצר סופית

תרגיל 4 שאלה 2

שאלה 1

שאלה 3.18

תשובה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים