שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

• ארכיון 1

שאלות

פעולות שורה ועמודהֿ

רק כדי להיות בטוח- דט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה וגם עמודה, שווה לדט' של המטריצה המקורית, נכון?

(לא מתרגל/ת): לא: $-2=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\ne\begin{vmatrix}4&4\\6&4\end{vmatrix}=-8$ למרות שהכפלנו את השורה הראשונה והעמודה הראשונה ב-2. עם זאת, הדט' של מט' שהפעלנו עליה החלפת שורות וגם עמודות או הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר - שווה לדט' של המטריצה המקורית (כי הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר לא משנה את הדטרמיננטה והחלפת שורות k פעמים ב-A ו-k פעמים ב-$A^T$ מכפילה את הדט' ב-$(-1)^{2k}=1$). אור שחף^שיחה 11:39, 8 בנובמבר 2010 (IST)

גם לא מתרגלת: אבל למדנו שאחרי כפל שורה במטריצה פי a צריך לחלק את הדטרמיננטה ב-a. אז בהנחה שכך זה גם לגבי עמודה, אם כפלת פעמיים פי 2, צריך לחלק ב-4 ואז יצא שיוויון. כך שזו לא דוגמה נגדית כלל. אז אני מצטרפת לשאלה!

כל שני מספרים שווים עד כדי כפל בקבוע, זה לא אומר שהם שווים באמת. --ארז שיינר 21:46, 8 בנובמבר 2010 (IST)

(לא מתרגל/ת): תשובה נוספת: כמובן שדט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה וגם עמודה ושחילקנו אותה (את הדטרמיננטה) בכל הסקלרים שבהם הכפלנו את השורות והעמודות, שווה לדט' של המטריצה המקורית, אבל זו לא הייתה השאלה. אור שחף^שיחה 22:12, 8 בנובמבר 2010 (IST)

מרחב וקטורי נוצר סופית

מותר לנו להניח שכל המ"ו בתרגילים הם ממימד סופי, גם אם זה לא מצויין מפורשות? אור שחף^שיחה 20:05, 8 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 4 שאלה 2

בתרגיל כתוב למצוא את $A^{-1}$ על ידי שימוש בפרוק $A=PDP^{-1}$. לא הבנתי מה הכוונה, הדבר היחיד הקשור שמצאתי זה ש- $A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}$ אבל אם כבר מחשבים את $D^{-1}$ אז פשוט יותר לחשב את $A^{-1}$ בדרך ה"רגילה" (דירוג (A|I)) וזהו, לא?

בעצם מהי הדרך הפשוטה והקצרה ביותר לחשב את $A^{-1}$?

עבור $A\in\mathbb{F}^{2\times2}$ הדרך הפשוטה ביותר היא $\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}$

ועבור $A\in\mathbb{F}^{3\times3}$: $\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & k\\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, K\\ \end{bmatrix}$

כאשר $\begin{matrix} A = (ek-fh) & D = (ch-bk) & G = (bf - ce) \\ B = (fg-dk) & E = (ak-cg) & H = (cd-af) \\ C = (dh-eg) & F = (bg-ah) & K = (ae-bd) \\ \end{matrix}$

(מתוך ויקי האנגלית). באופן כללי עדיף לחשב לפי דירוג או adj (מתוך השיטות שכבר למדנו. בוויקיפדיה העברית כתוב שיש שיטות הרבה יותר יעילות, אבל לא נוח ליישם אותן). עם זאת, זה לא רלוונטי כי בתרגיל ביקשו דווקא לפי PDP^-1.

תודה על התשובה. זה בעצם $adj(A)/det(A)$ ולמדנו את זה. אני לא רואה היגיון בלחשב את $D^{-1}$ באמצעות שיטה לבחירתי, ואז לחשב את $P^{-1}$, ואז לכפול שלוש מטריצות, וכל זה במקום חישוב יחיד של $A^{-1}$ בדרך לבחירתי. למה זה?? אגב, בטוח שהדירוג של (A|I) לא קצר יותר מחישוב $adj(A)/det(A)$?

מה מיוחד במטריצה D? להפוך אותה לוקח שנייה וחצי ולא צריך שום אלגוריתם. --ארז שיינר 23:45, 8 בנובמבר 2010 (IST)

אה התבלבלתי בסימון, התכוונתי להפוך את P באמצעות שיטה לבחירתי, ואז להפוך את D, ואז לכפול שלוש מטריצות. החישוב של ההפוכה ל-P הוא מסובך כמו החישוב של ההפוכה של A, לא? אז איפה ההיגיון...

כי עם P^-1 אפשר לחשב גם את A³. אמנם 3 זה לא הרבה, אבל מה אם היו שואלים אותנו על A²⁰? או על A¹⁰⁰⁰⁰? אפילו wolframalpha ויתר. ובלי שום קשר - תשובה?. אור שחף^שיחה 00:00, 9 בנובמבר 2010 (IST)

אופס, בעצם הוא לא ויתר. פשוט אין לו כוח להציג את

938877805688927550809054492548302549431997870943948243788609510871158043771193984965931162580120639199202685695864715589373789236074899469480552474877448705400911894311833020834980391764428893568909959052778771893110304009381190759475520431704165253749896661613757224572087361930245436915248639315146442403239644834659032806425118174823470973085872811266690033646411562062059105810728188400888840994071649956009662295311268930712386101385883696966533372399237911463135661253617883586358644533896136632345138578362201142552218187293232601469448107123953757523028757360475317952367571592030238652928365740666509819939675491729325464375192494424444621164203899229161338741570098337409469776119090057257294479865652792278013785632135485230449789462348285929656301353535380257408549995631609559383949933428490684412866192630281623288754208699528749035869399794394424997029654993611370161364685942974595619176708960283048868394193256448907316856295901763042304707359280308665807583740447115282567306160010067005944333027006005149380538143143943266268829837247138097270316932786104205892252320985097267459676562942713408695125773630129210352593728634250060596004937730240467094450355400317381868986479808014090297778750704819731546270214932201439239475980019432440915837906796338006382263997081846115807588932624291867706114553203142130504463949230308873360488980308622353283760712261153872140703548101297979624240302640947366834979461765343681101240566375362072744710485258390817438744645572100045371210893534973812444262773433590556544050234522540550246327554562617672926197487027382846369673856406323903387838131403465679148981342869171418689609870191555015712154593938548852364193603460528179094875018471132037788127644933341650218566995366326757761872708665377805426636419389293359813849256476913363829783462962482940734793532067428470087496971886134021134633535162164971318135887891557939662892070911549215121149004656169517261307750784653303529752940053876118624944151939115874830806869151256018331496125879968458685744751483025755502642665254311841179917719331082146873575406742721259364667560672053913911277892890528633350489997464179971614501858429985656263943231282228567132309221604595615394672107448469907205288415858280397714040850629806343577044682852675634403784991270945494007474710864836847546691959128250535644806186674454409426669703373447508713318028096012611167760855854376216527301689941207402956603610877492263100203388327854599361018534401619909783399242177367862529931022723028489516999661564545059004283248314162922838765241773303473830261595535736668279750909882423277177698095281557388276241484044029956541441546971766759981917916808911624944915094825037238645918894123586563308277164104740684423702948831214641287132712577620401013456775093529298306248803716355464811115895063705097639445309644013275964177927104967283419967061669689972070772738615024480645622182005332529384691543600993890767932297669500730514745047916117803249067882109553032014696998216536003546105608170439694628832391096108127636093857382736567756208876656622196569532054712992131035360459963511825446796274056545135849750487792670689202264049257630263011498339278190626422771036325621764970714709292185647055348817863826313975604500297332652940384504166912804551773378065186599758742627684517370902906329254374600975772063721951067335993002116498528510292530146023413991652961158690615055599113280243292973149380901685695096133916656815667199984948085228606329530627193250757267538142645030909976331544533572039910619924886032785788448558896617386640349880822682845811941472094509588424808139476331007909437750350443537894456911156747205570005476868829502369420970621325230674976063539290540386919970441275959751744351258950364925571667166173730954814898761423396499403055877812187826589822621192107899893366379241173481841892400981297784639054923538375530750635097509326448494700445501723961222686810481862571510786775306343111047860104563384317431868919643729641978605051345945189195531536272768906340939747588781033433417386366645348509124429414323173081078801961994204382660899099199650492134499466235789514182986033377899890134785522041868710741233180955223706392909113856083913910892697273084384256117674779757769113198803432711808291210470296747367057951518795132995920030719167359508393106187748402978353408717019893897074484460262852908417084308187354208155545689889587586719026850788401859882254570940977020228888304469252460167137204601617937245146757612655949762476927234857248136249330899698193816836469561371025536131821057569280171204263930671898733602215561925265712666988629227267033203220914384870403553013194609089297905504997236051426037077665845036605649385770412890592364806438963430804942062216146103001443410086709695115365256888657620578256951743788013956424219052779176835856862812414146887133844122016320834470806287020184883971405394597379087167810096649314719152019339699890903135838688029371061941157375848403277475641347486885709218204646019069332456958640279287748109939695346139016776489876356903704283605321669035057884214397359109648466535177464167109500026330653620096080529793682068023883930888692328002074194388187375819817714401422239663366490931044082488553428678113438686524739879999918595822324757214537295198479364881881195756571060676729872182244944917098485697346464855286804847876662562000463295283447768073760314784061994517368732991749354979186066917265258782105022654880115035637446764934798302907656043321801090117535548024813520541461562193307382124556236953183224874771099618577436600318829326167431392423538571771102454994941982424342617179015477861963446451450669048842266739688809445614197533211190240268131914386535081693534873308970257554563777098201294723801179936777465328215268534319521911428329497489524687533982600066506783595861096877185834930793145579304777550154308685234906266518210345483221825788570038678881895890343602049325297765490488951262499258998116910081099926532416107729819178787477150014564896986427871041822112395884617056019616216603402929822260048865868376554906154004010074257036615468808386857652181457251912299876958944802676198507711699370320759522465588330748379020695143500359983653702477684955304111774251566395040759799717805384491712593587322081852123202423814350098167436124080796480589676074067359013064754883095706293483879711094291212420280445539658810619842539844382324944770332440125362651068459933739447569278303651359834891780650040278720123634142777715451672919197943981178623557511701198099376372179599509084057360801126523013108472126052767202299313199157839844190522397655612149537010834672504377829059141887292755853045276989842888251361595317315267943569251676826115799603603016109097797757642127017399731218868139730791543572074523423659095130290379131649291389129142481959549226850417595423625872586165611703861470538089955924159145062278247305169231599420094451100222786454191572481474775398631568557742523360104786052032333129645092847887185419516656096222754090115734555972997730974035936808210636828739423586499174573651851113334235724997807065848770737289954263342943833034803832104729606270698019474704611478830060583663193860843649993979857024714862551035547445255809323529149126695724679684220479786080585075349861123067605370287760894138756724005865844409303971609471399223529266896575350671378180923711865900999951353717031617779182758990420220183757165477230319599983987098677476351649030609604860762277437678492363795827271979452964952142012615691071952158959173859860220724952730690182788582322473882692336540038458266071210404613689874954709479442659696898397177460948441493362591328975805886555394283174328417596892720566093348381160253949303479462069465806182200229672626815892799561083190886352884036923449664722613315294082844170569323107346498898868736864578230737798507470538507567904886073643935537445236732037298098525311523850165232603092483274501806835207636423106353769666900273715782567294031098192110009746546656216105412370166160257287867407139402495733169814805648920993773328075767429665530023993528684697052265316120055948101552982353763279082235940024476493605332454458934056704448971256466283117265022660369855248270893773754946600829338211954798374432379774369982815763884495063792864507349894788287014170189612656013542950629475990394330760896485497190217010053553578513749341453648662985033329292800929653872837814984342080902409928251083088831095062639618129516579286614019800695146073021918621932413295299663599210307931026224587201724431622420023070420918186164153169745696440279201370873402607349508897093366342478783198227922917474348226750604581291897810753972462898297666246127211716453559832846891112733069264365580444617914866142435174906249832292362927867675663907907290556891995160319169502850063010141062171904502997745472428846569745262287820842986844387236967496094144273915787598137644594067237596542047764150836386707828946771748379245088241208105131946807382711069895127068867104836461314044222100663583683702487410615398386734738899888626428850657907653630088054242118183861019377407344368448792376120887405978418969420153168803622838258487835967010439203238300548194521581365461475780959294869561696919551604313263284517267867267170661811949070085586312147271849758277996988070344888838244570320655570594461921381263477760466934934245412370585499528989865279815418669786563353005715094652639350391598337110238417118679463841232012427501316032075157066480118771779277535722244074939876334743131740512260130870438922010159860826421494148478010735119198962903344445101717133848010638362973786885273956325467756691019961113442908709149215576014801616853291623344752523281325072891189771902703388778316148003971469614875883022768670204241370103547682687643500248675378110035786166890279964665499878435912135808815007654971146559540506639844404458371992931900299423525170876697959237981769003715019080786203326596654930011746299021478923368094269079385385372836572781761019305940415278544660784630982897619394348945737981972508949742435126320222631481275141934875471274267289653181779022570767752296060812866556335533276976950322215913147784268300189717248989666802242036078567135847188117852575351495919506281091248284066225224177496983555226498991056439017461016122754900210078006474259844335033870667105000578587405417325541216445747725824083765974000970275668701978564589484333397643042697643372957793456100585445652529828570245871101922264861793380846475001, 1877755611377855101618108985096605098863995741887896487577219021742316087542387969931862325160241278398405371391729431178747578472149798938961104949754897410801823788623666041669960783528857787137819918105557543786220608018762381518951040863408330507499793323227514449144174723860490873830497278630292884806479289669318065612850236349646941946171745622533380067292823124124118211621456376801777681988143299912019324590622537861424772202771767393933066744798475822926271322507235767172717289067792273264690277156724402285104436374586465202938896214247907515046057514720950635904735143184060477305856731481333019639879350983458650928750384988848889242328407798458322677483140196674818939552238180114514588959731305584556027571264270970460899578924696571859312602707070760514817099991263219118767899866856981368825732385260563246577508417399057498071738799588788849994059309987222740322729371885949191238353417920566097736788386512897814633712591803526084609414718560617331615167480894230565134612320020134011888666054012010298761076286287886532537659674494276194540633865572208411784504641970194534919353125885426817390251547260258420705187457268500121192009875460480934188900710800634763737972959616028180595557501409639463092540429864402878478951960038864881831675813592676012764527994163692231615177865248583735412229106406284261008927898460617746720977960617244706567521424522307744281407096202595959248480605281894733669958923530687362202481132750724145489420970516781634877489291144200090742421787069947624888525546867181113088100469045081100492655109125235345852394974054765692739347712812647806775676262806931358297962685738342837379219740383110031424309187877097704728387206921056358189750036942264075576255289866683300437133990732653515523745417330755610853272838778586719627698512953826727659566925924965881469587064134856940174993943772268042269267070324329942636271775783115879325784141823098430242298009312339034522615501569306607059505880107752237249888303878231749661613738302512036662992251759936917371489502966051511005285330508623682359835438662164293747150813485442518729335121344107827822555785781057266700979994928359943229003716859971312527886462564457134264618443209191230789344214896939814410576831716560795428081701259612687154089365705351268807569982541890988014949421729673695093383918256501071289612373348908818853339406746895017426636056192025222335521711708752433054603379882414805913207221754984526200406776655709198722037068803239819566798484354735725059862045446056979033999323129090118008566496628325845677530483546606947660523191071473336559501819764846554355396190563114776552482968088059913082883093943533519963835833617823249889830189650074477291837788247173126616554328209481368847405897662429282574265425155240802026913550187058596612497607432710929622231790127410195278890619288026551928355854209934566839934123339379944141545477230048961291244364010665058769383087201987781535864595339001461029490095832235606498135764219106064029393996433072007092211216340879389257664782192216255272187714765473135512417753313244393139064109425984262070720919927023650893592548113090271699500975585341378404528098515260526022996678556381252845542072651243529941429418584371294110697635727652627951209000594665305880769008333825609103546756130373199517485255369034741805812658508749201951544127443902134671986004232997057020585060292046827983305922317381230111198226560486585946298761803371390192267833313631334399969896170457212659061254386501514535076285290061819952663089067144079821239849772065571576897117793234773280699761645365691623882944189019176849616278952662015818875500700887075788913822313494411140010953737659004738841941242650461349952127078581080773839940882551919503488702517900729851143334332347461909629797522846792998806111755624375653179645242384215799786732758482346963683784801962595569278109847076751061501270195018652896989400891003447922445373620963725143021573550612686222095720209126768634863737839287459283957210102691890378391063072545537812681879495177562066866834772733290697018248858828646346162157603923988408765321798198399300984268998932471579028365972066755799780269571044083737421482466361910447412785818227712167827821785394546168768512235349559515538226397606865423616582420940593494734115903037590265991840061438334719016786212375496805956706817434039787794148968920525705816834168616374708416311091379779175173438053701576803719764509141881954040457776608938504920334274409203235874490293515225311899524953854469714496272498661799396387633672939122742051072263642115138560342408527861343797467204431123850531425333977258454534066406441828769740807106026389218178595811009994472102852074155331690073211298771540825781184729612877926861609884124432292206002886820173419390230730513777315241156513903487576027912848438105558353671713725624828293774267688244032641668941612574040369767942810789194758174335620193298629438304038679399781806271677376058742123882314751696806554951282694973771418436409292038138664913917280558575496219879390692278033552979752713807408567210643338070115768428794718219296933070354928334219000052661307240192161059587364136047767861777384656004148388776374751639635428802844479326732981862088164977106857356226877373049479759999837191644649514429074590396958729763762391513142121353459744364489889834196971394692929710573609695753325124000926590566895536147520629568123989034737465983498709958372133834530517564210045309760230071274893529869596605815312086643602180235071096049627041082923124386614764249112473906366449749542199237154873200637658652334862784847077143542204909989883964848685234358030955723926892902901338097684533479377618891228395066422380480536263828773070163387069746617940515109127554196402589447602359873554930656430537068639043822856658994979049375067965200133013567191722193754371669861586291158609555100308617370469812533036420690966443651577140077357763791780687204098650595530980977902524998517996233820162199853064832215459638357574954300029129793972855742083644224791769234112039232433206805859644520097731736753109812308008020148514073230937616773715304362914503824599753917889605352397015423398740641519044931176661496758041390287000719967307404955369910608223548503132790081519599435610768983425187174644163704246404847628700196334872248161592961179352148134718026129509766191412586967759422188582424840560891079317621239685079688764649889540664880250725302136919867478895138556607302719669783561300080557440247268285555430903345838395887962357247115023402396198752744359199018168114721602253046026216944252105534404598626398315679688381044795311224299074021669345008755658118283774585511706090553979685776502723190634630535887138503353652231599207206032218195595515284254034799462437736279461583087144149046847318190260580758263298582778258284963919098453700835190847251745172331223407722941076179911848318290124556494610338463198840188902200445572908383144962949550797263137115485046720209572104064666259290185695774370839033312192445508180231469111945995461948071873616421273657478847172998349147303702226668471449995614131697541474579908526685887666069607664209459212541396038949409222957660121167326387721687299987959714049429725102071094890511618647058298253391449359368440959572161170150699722246135210740575521788277513448011731688818607943218942798447058533793150701342756361847423731801999902707434063235558365517980840440367514330954460639199967974197354952703298061179308459186939707659309884337982842282435993266560176134341964907259040687275827177609982093307976381365982688918966424536963933833314858574039807885716771043173859300209205301391403780454605391616851437936724165481331439913957576070114036964583070731717627169248120423729097884758102117012837794008341605642255574786098017235925483376617259242604062322826061446538455948055394940011139944757794062767897009229348943276068791543002060554921380193033542392155053667487797328309945334045540838906030881951885005803036849851220157203504696953217454333372807760439969963839775003322537176720310181982784716988308303390154781533796297831155548928978324640547314859840670010885513466423401374445789917303185082050552631459709684174891148897197900401811892509945012180907048261559925077525272259286754245148111087374915721088692162804999581516657753537188953607998284723468158439342301942587752793614243825241834569170886485634286934514495676125274715551788706675788960268039160365028449354411375413346923022070727227586350607622247718769628717701023181385630130765374005208988639916920086524447615768814916226732664998613571093496345678874824106777703170739335599813827038691193646916481494608707942755064746126042822010875516747756851833100143437678150993039162936300456362110561655503305915714958485460526994763884419629317454927803770067085974557760025753531242052697313563815597977725292927717714433443960385273826036550469192365989465342874968057848872268926494167126584578402754701327975265901395785641998971543915190138772587186236976325631406930325415874090161225682232238740325270397048386586066887191724463730140792541698841496826448986726751729255512673654687835737134330712828297819117894003241703264318558363124758751604376635712164462326820155827434940258662182853011757592077839511970263267730017672451708392085180542746331523967691567083381148070022307582558551603808465182790580006389924197368204678234343700041906087778570675602825089788289350165519675478182811252171711211401205359582075331311026800429457036875243994570119396125634356718459676353684272325203421811623489651517560027697755125299053901083456522664880747792970525463002096433652715140445600529063582847157309986412134173707568272310254139294161924591266931981074743555163009734422603975455349168758215803305203019137890769632171964602580263481177726157992028032896983654631179540625053677238464050382404226096175971449042963923257371016171159770199609167128865384116166099327906777253311406460027881996734121447037939887254420729273467090952808112118652636624832844914422559066074666954507846700358313777119005667332381888625039831823800490909856171338471368534995446396784324595998356055520498862846043566872893156300547071867636245589026771010755156792535575334541008764202381747534389930055526280282150439702629896702534876549214687852947993464206946307582951078330580858305563898934649349011979796995180202751570495024982530775282854513979802705477294466621165125749534675305367516991730777025014070369420821166174977176499531250}, {3755511222755710203236217970193210197727991483775792975154438043484632175084775939863724650320482556796810742783458862357495156944299597877922209899509794821603647577247332083339921567057715574275639836211115087572441216037524763037902081726816661014999586646455028898288349447720981747660994557260585769612958579338636131225700472699293883892343491245066760134585646248248236423242912753603555363976286599824038649181245075722849544405543534787866133489596951645852542645014471534345434578135584546529380554313448804570208872749172930405877792428495815030092115029441901271809470286368120954611713462962666039279758701966917301857500769977697778484656815596916645354966280393349637879104476360229029177919462611169112055142528541940921799157849393143718625205414141521029634199982526438237535799733713962737651464770521126493155016834798114996143477599177577699988118619974445480645458743771898382476706835841132195473576773025795629267425183607052169218829437121234663230334961788461130269224640040268023777332108024020597522152572575773065075319348988552389081267731144416823569009283940389069838706251770853634780503094520516841410374914537000242384019750920961868377801421601269527475945919232056361191115002819278926185080859728805756957903920077729763663351627185352025529055988327384463230355730497167470824458212812568522017855796921235493441955921234489413135042849044615488562814192405191918496961210563789467339917847061374724404962265501448290978841941033563269754978582288400181484843574139895249777051093734362226176200938090162200985310218250470691704789948109531385478695425625295613551352525613862716595925371476685674758439480766220062848618375754195409456774413842112716379500073884528151152510579733366600874267981465307031047490834661511221706545677557173439255397025907653455319133851849931762939174128269713880349987887544536084538534140648659885272543551566231758651568283646196860484596018624678069045231003138613214119011760215504474499776607756463499323227476605024073325984503519873834742979005932103022010570661017247364719670877324328587494301626970885037458670242688215655645111571562114533401959989856719886458007433719942625055772925128914268529236886418382461578688429793879628821153663433121590856163402519225374308178731410702537615139965083781976029898843459347390186767836513002142579224746697817637706678813493790034853272112384050444671043423417504866109206759764829611826414443509969052400813553311418397444074137606479639133596968709471450119724090892113958067998646258180236017132993256651691355060967093213895321046382142946673119003639529693108710792381126229553104965936176119826165766187887067039927671667235646499779660379300148954583675576494346253233108656418962737694811795324858565148530850310481604053827100374117193224995214865421859244463580254820390557781238576053103856711708419869133679868246678759888283090954460097922582488728021330117538766174403975563071729190678002922058980191664471212996271528438212128058787992866144014184422432681758778515329564384432510544375429530946271024835506626488786278128218851968524141441839854047301787185096226180543399001951170682756809056197030521052045993357112762505691084145302487059882858837168742588221395271455305255902418001189330611761538016667651218207093512260746399034970510738069483611625317017498403903088254887804269343972008465994114041170120584093655966611844634762460222396453120973171892597523606742780384535666627262668799939792340914425318122508773003029070152570580123639905326178134288159642479699544131143153794235586469546561399523290731383247765888378038353699232557905324031637751001401774151577827644626988822280021907475318009477683882485300922699904254157162161547679881765103839006977405035801459702286668664694923819259595045693585997612223511248751306359290484768431599573465516964693927367569603925191138556219694153502123002540390037305793978801782006895844890747241927450286043147101225372444191440418253537269727475678574918567914420205383780756782126145091075625363758990355124133733669545466581394036497717657292692324315207847976817530643596396798601968537997864943158056731944133511599560539142088167474842964932723820894825571636455424335655643570789092337537024470699119031076452795213730847233164841881186989468231806075180531983680122876669438033572424750993611913413634868079575588297937841051411633668337232749416832622182759558350346876107403153607439529018283763908080915553217877009840668548818406471748980587030450623799049907708939428992544997323598792775267345878245484102144527284230277120684817055722687594934408862247701062850667954516909068132812883657539481614212052778436357191622019988944205704148310663380146422597543081651562369459225755853723219768248864584412005773640346838780461461027554630482313027806975152055825696876211116707343427451249656587548535376488065283337883225148080739535885621578389516348671240386597258876608077358799563612543354752117484247764629503393613109902565389947542836872818584076277329827834561117150992439758781384556067105959505427614817134421286676140231536857589436438593866140709856668438000105322614480384322119174728272095535723554769312008296777552749503279270857605688958653465963724176329954213714712453754746098959519999674383289299028858149180793917459527524783026284242706919488728979779668393942789385859421147219391506650248001853181133791072295041259136247978069474931966997419916744267669061035128420090619520460142549787059739193211630624173287204360470142192099254082165846248773229528498224947812732899499084398474309746401275317304669725569694154287084409819979767929697370468716061911447853785805802676195369066958755237782456790132844760961072527657546140326774139493235881030218255108392805178895204719747109861312861074137278087645713317989958098750135930400266027134383444387508743339723172582317219110200617234740939625066072841381932887303154280154715527583561374408197301191061961955805049997035992467640324399706129664430919276715149908600058259587945711484167288449583538468224078464866413611719289040195463473506219624616016040297028146461875233547430608725829007649199507835779210704794030846797481283038089862353322993516082780574001439934614809910739821216447097006265580163039198871221537966850374349288327408492809695257400392669744496323185922358704296269436052259019532382825173935518844377164849681121782158635242479370159377529299779081329760501450604273839734957790277113214605439339567122600161114880494536571110861806691676791775924714494230046804792397505488718398036336229443204506092052433888504211068809197252796631359376762089590622448598148043338690017511316236567549171023412181107959371553005446381269261071774277006707304463198414412064436391191030568508069598924875472558923166174288298093694636380521161516526597165556516569927838196907401670381694503490344662446815445882152359823696636580249112989220676926397680377804400891145816766289925899101594526274230970093440419144208129332518580371391548741678066624384891016360462938223891990923896143747232842547314957694345996698294607404453336942899991228263395082949159817053371775332139215328418918425082792077898818445915320242334652775443374599975919428098859450204142189781023237294116596506782898718736881919144322340301399444492270421481151043576555026896023463377637215886437885596894117067586301402685512723694847463603999805414868126471116731035961680880735028661908921278399935948394709905406596122358616918373879415318619768675965684564871986533120352268683929814518081374551654355219964186615952762731965377837932849073927867666629717148079615771433542086347718600418410602782807560909210783233702875873448330962662879827915152140228073929166141463435254338496240847458195769516204234025675588016683211284511149572196034471850966753234518485208124645652122893076911896110789880022279889515588125535794018458697886552137583086004121109842760386067084784310107334975594656619890668091081677812061763903770011606073699702440314407009393906434908666745615520879939927679550006645074353440620363965569433976616606780309563067592595662311097857956649281094629719681340021771026932846802748891579834606370164101105262919419368349782297794395800803623785019890024361814096523119850155050544518573508490296222174749831442177384325609999163033315507074377907215996569446936316878684603885175505587228487650483669138341772971268573869028991352250549431103577413351577920536078320730056898708822750826693846044141454455172701215244495437539257435402046362771260261530748010417977279833840173048895231537629832453465329997227142186992691357749648213555406341478671199627654077382387293832962989217415885510129492252085644021751033495513703666200286875356301986078325872600912724221123311006611831429916970921053989527768839258634909855607540134171949115520051507062484105394627127631195955450585855435428866887920770547652073100938384731978930685749936115697744537852988334253169156805509402655950531802791571283997943087830380277545174372473952651262813860650831748180322451364464477480650540794096773172133774383448927460281585083397682993652897973453503458511025347309375671474268661425656595638235788006483406528637116726249517503208753271424328924653640311654869880517324365706023515184155679023940526535460035344903416784170361085492663047935383134166762296140044615165117103207616930365581160012779848394736409356468687400083812175557141351205650179576578700331039350956365622504343422422802410719164150662622053600858914073750487989140238792251268713436919352707368544650406843623246979303035120055395510250598107802166913045329761495585941050926004192867305430280891201058127165694314619972824268347415136544620508278588323849182533863962149487110326019468845207950910698337516431606610406038275781539264343929205160526962355452315984056065793967309262359081250107354476928100764808452192351942898085927846514742032342319540399218334257730768232332198655813554506622812920055763993468242894075879774508841458546934181905616224237305273249665689828845118132149333909015693400716627554238011334664763777250079663647600981819712342676942737069990892793568649191996712111040997725692087133745786312601094143735272491178053542021510313585071150669082017528404763495068779860111052560564300879405259793405069753098429375705895986928413892615165902156661161716611127797869298698023959593990360405503140990049965061550565709027959605410954588933242330251499069350610735033983461554050028140738841642332349954352999062500, 7511022445511420406472435940386420395455982967551585950308876086969264350169551879727449300640965113593621485566917724714990313888599195755844419799019589643207295154494664166679843134115431148551279672422230175144882432075049526075804163453633322029999173292910057796576698895441963495321989114521171539225917158677272262451400945398587767784686982490133520269171292496496472846485825507207110727952573199648077298362490151445699088811087069575732266979193903291705085290028943068690869156271169093058761108626897609140417745498345860811755584856991630060184230058883802543618940572736241909223426925925332078559517403933834603715001539955395556969313631193833290709932560786699275758208952720458058355838925222338224110285057083881843598315698786287437250410828283042059268399965052876475071599467427925475302929541042252986310033669596229992286955198355155399976237239948890961290917487543796764953413671682264390947153546051591258534850367214104338437658874242469326460669923576922260538449280080536047554664216048041195044305145151546130150638697977104778162535462288833647138018567880778139677412503541707269561006189041033682820749829074000484768039501841923736755602843202539054951891838464112722382230005638557852370161719457611513915807840155459527326703254370704051058111976654768926460711460994334941648916425625137044035711593842470986883911842468978826270085698089230977125628384810383836993922421127578934679835694122749448809924531002896581957683882067126539509957164576800362969687148279790499554102187468724452352401876180324401970620436500941383409579896219062770957390851250591227102705051227725433191850742953371349516878961532440125697236751508390818913548827684225432759000147769056302305021159466733201748535962930614062094981669323022443413091355114346878510794051815306910638267703699863525878348256539427760699975775089072169077068281297319770545087103132463517303136567292393720969192037249356138090462006277226428238023520431008948999553215512926998646454953210048146651969007039747669485958011864206044021141322034494729439341754648657174988603253941770074917340485376431311290223143124229066803919979713439772916014867439885250111545850257828537058473772836764923157376859587759257642307326866243181712326805038450748616357462821405075230279930167563952059797686918694780373535673026004285158449493395635275413357626987580069706544224768100889342086846835009732218413519529659223652828887019938104801627106622836794888148275212959278267193937418942900239448181784227916135997292516360472034265986513303382710121934186427790642092764285893346238007279059386217421584762252459106209931872352239652331532375774134079855343334471292999559320758600297909167351152988692506466217312837925475389623590649717130297061700620963208107654200748234386449990429730843718488927160509640781115562477152106207713423416839738267359736493357519776566181908920195845164977456042660235077532348807951126143458381356005844117960383328942425992543056876424256117575985732288028368844865363517557030659128768865021088750859061892542049671013252977572556256437703937048282883679708094603574370192452361086798003902341365513618112394061042104091986714225525011382168290604974119765717674337485176442790542910610511804836002378661223523076033335302436414187024521492798069941021476138967223250634034996807806176509775608538687944016931988228082340241168187311933223689269524920444792906241946343785195047213485560769071333254525337599879584681828850636245017546006058140305141160247279810652356268576319284959399088262286307588471172939093122799046581462766495531776756076707398465115810648063275502002803548303155655289253977644560043814950636018955367764970601845399808508314324323095359763530207678013954810071602919404573337329389847638519190091387171995224447022497502612718580969536863199146931033929387854735139207850382277112439388307004246005080780074611587957603564013791689781494483854900572086294202450744888382880836507074539454951357149837135828840410767561513564252290182151250727517980710248267467339090933162788072995435314585384648630415695953635061287192793597203937075995729886316113463888267023199121078284176334949685929865447641789651143272910848671311287141578184675074048941398238062152905590427461694466329683762373978936463612150361063967360245753338876067144849501987223826827269736159151176595875682102823267336674465498833665244365519116700693752214806307214879058036567527816161831106435754019681337097636812943497961174060901247598099815417878857985089994647197585550534691756490968204289054568460554241369634111445375189868817724495402125701335909033818136265625767315078963228424105556872714383244039977888411408296621326760292845195086163303124738918451511707446439536497729168824011547280693677560922922055109260964626055613950304111651393752422233414686854902499313175097070752976130566675766450296161479071771243156779032697342480773194517753216154717599127225086709504234968495529259006787226219805130779895085673745637168152554659655669122234301984879517562769112134211919010855229634268842573352280463073715178872877187732281419713336876000210645228960768644238349456544191071447109538624016593555105499006558541715211377917306931927448352659908427429424907509492197919039999348766578598057716298361587834919055049566052568485413838977457959559336787885578771718842294438783013300496003706362267582144590082518272495956138949863933994839833488535338122070256840181239040920285099574119478386423261248346574408720940284384198508164331692497546459056996449895625465798998168796948619492802550634609339451139388308574168819639959535859394740937432123822895707571611605352390738133917510475564913580265689521922145055315092280653548278986471762060436510216785610357790409439494219722625722148274556175291426635979916197500271860800532054268766888775017486679446345164634438220401234469481879250132145682763865774606308560309431055167122748816394602382123923911610099994071984935280648799412259328861838553430299817200116519175891422968334576899167076936448156929732827223438578080390926947012439249232032080594056292923750467094861217451658015298399015671558421409588061693594962566076179724706645987032165561148002879869229619821479642432894194012531160326078397742443075933700748698576654816985619390514800785339488992646371844717408592538872104518039064765650347871037688754329699362243564317270484958740318755058599558162659521002901208547679469915580554226429210878679134245200322229760989073142221723613383353583551849428988460093609584795010977436796072672458886409012184104867777008422137618394505593262718753524179181244897196296086677380035022632473135098342046824362215918743106010892762538522143548554013414608926396828824128872782382061137016139197849750945117846332348576596187389272761042323033053194331113033139855676393814803340763389006980689324893630891764304719647393273160498225978441353852795360755608801782291633532579851798203189052548461940186880838288416258665037160742783097483356133248769782032720925876447783981847792287494465685094629915388691993396589214808906673885799982456526790165898319634106743550664278430656837836850165584155797636891830640484669305550886749199951838856197718900408284379562046474588233193013565797437473763838288644680602798888984540842962302087153110053792046926755274431772875771193788234135172602805371025447389694927207999610829736252942233462071923361761470057323817842556799871896789419810813192244737184467916566414486076958978767219967978941385102629085887949127565601579325255342359890057268100123363261885099074822419412226682673215413753017474963408130551167247630615732330861673084481461987955838665089973467834368116448408965965222724421907814960998571830490948858024796883030036360825078590278810634247395788266509990461805133454490193284787452998561561783464555058460520776788314122817727255544418376365237003686007132544510040750142199467563605145780319481792455920016305582499289940774987105313302877923005577462660222012985992477195579174993321797182740846351914124613288335891285860740282787154829295207265392280571093741473516740256297863703562424698801378379368421929287053870043015606721233638659080240360895236286162853021261589894678581297579775498253671692569712885287278009840834152690307268816674929919712286822322472326992817351170944626008128948868458953284554324994659906941924934741439556348382989304130027667368115377269075457707342263348065312360688403835502453564843747156534159316352922272750888934315632925248880798448915765609835242818661964140842722858637076109038370946734073191587778028608083278669233882619054463930153382546622558336652112434435835711769697453480583904048174704310435828865434975683348922986261544901435857496215182253108229436476954834647062039712157337503375993167984242473514404303761015170231199531251687438342945783439491783787534832843503898248585425887222070916089068561266344656455440067594989006880421329753853356413203027158518896093354878943207786414235380831124018934253601023968478239619142999266777298428233977873185289557979480084763078689253143547016014129806258269978797912079844770415245197385844049390310663702665205171116847312971864318192571484850152196683686468356577438740107092941842509630903270058419439539608953707870507140648165728251222056409896600230678775758729362154673815672538460336194091090095074701275434735320190317706239100018368816457870578003079704540453609404323916429102590758518846442221252331720074569338816655073920274878906599076225070357762774463380255121127368765392060222136201508635274459938107677262137509591998237199546460930627913759812907392611474109970748250621812835982873759734168018484409593342244709234240052848061142325451705664305831848850218483085383708597973676523981772451937086165376400245376357706300294157827719862378079804942669645040527996502877989595322897955297976460304530022366663301097980124230072396591322932797848121600428433877046983244852621843886010048348432727058684775857925293707600095847698355699506731575741831461854350655683286515445423763047962351646155885968091462781346258772992451786252866428812443251814684805948952550581727598722970283368397202910315352104468785716526363835734616210184621062631523468882170627842397461613039260567205165023522514431137449928506939712423608072877334802318550800173109190903671174474224858678138867470505928878435454580498561439827989158692777493898953503928276216775583496329157024886894916710249416119492164074796346474213498594834376}}

אבל ב-100000000 הוא נכנע.