שינויים

  == איך מוכיחים שאין טור שמתבדר הכי לאט == כלומר לכל טור חיובי <math>\sum a_n</math> שמתבדר קיים טור <math>\sum b_n</math> מתבדר כך ש: <math>\frac{b_n}{a_n}\to 0</math>:בדומה למשפט רימן, ניתן "לדחוס" ו"לפזר" את האיברי הסדרה על מנת לקבל סדרה המתכנסת יותר מהר לאפס, שהטור עליה עדיין מתבדר. למשל אפשר את האיבר הראשון לחלק ל10 ל-10 ולהפוך אותו לעשרה איבריםאברים, את האיבר האבר הבא לחלק ב100 ולהפוך אותו למאה איברים אברים וכן הלאה. (זה לא אלגוריתם מלא כמובן) --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>

== איך מוכיחים את מבחן ראבה == 

== מבחן == 

== בקשר לגבולות של סדרות ==אם יש לי סדרה <math>A_n</math> של חיוביים ומצאתי סדרה <math>B_n>A_n</math> ששואפת לאפס, האם גם <math>A_n</math> תשאף לאפס אם כן למה?

אם יש לי סדרה An של חיוביים ומצאתי סדרה Bn>An ששואפת לאפס האם גם An תשאף ל-0 אם כן למה? :חוק הסנדביץהסנדויץ'. <math>0\leq le a_n \leq le b_n</math> --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font> == חזרה על התרגילים ==

האם יש קשר בין an <math>a_n</math> כלומר איברי אברי הסדרה an1 an2.....

== גבול החסמים העליונים == 

== פתרונות למבחנים == 

:אם אתה כותב latex LaTex למה שלא תכתוב באתר? פתרונות באתר טובים בהרבה כיוון שקל לתקן אותם --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>

<math>[a_n=S_{n-1} \Delta ^ 2]</math>הבעיה העיקרית היא לרדת שורה, כי אני יכול רק עם שורת הקוד <math>a _ na_n=S _ S_{n-1} \Delta ^ 2</math> ללא שימוש בתרגום ללייטקסל-LaTex, אבל זה עובד רק אם זאת שורה אחת, משום מה זה לא קורא את ה'\\'.

::תרדו שורה באופן הפשוט ביותר- תפתחו נוסחא חדשה ותכתבו אותה למטה. סה"כ הויקי אינו מסמך לאטך, אלא הוא מאפשר לכתוב נוסחאות בודדות בלאטך. תקנתי למשל את הבעייה הבעיה שהוצגה לעיל, הסלאש סוגר מרובע היה מיותר. יש כמה הבדלים קטנים מלאטךמ-LaTex, אבל הם לא משמעותיים כפי שאתם יכולים לראות במערכי התרגול שכולם כתובים בפורמט ויקי. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font> == איך מוכיחים שפונקציה קמורה רציפה? ==

==איך מוכיחים שפונקציה קמורה רציפה?==כלומר אם מתקיים <math>\forall 0\leq t\leq 1,x,x_0 \colon f((1-t)x+t(x_0))\leq le(1-t)f(x)+tf(x_0) </math>

:ואם זו אי רציפות סליקה, אזי או שהערך בנקודה גבוה מהגבול וזו סתירה לקמירות, או שהוא נמוך ואז ערכים הקרובים אליו סותרים את הקמירות אם מותחים מהערך בנקודה קו לנקודות באיזור באזור --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>

== מתי השיעורי חזרהשיעורי החזרה? == 

<math>Sumx\sum x^2</math> == תרגיל 12 שאלה 2 C ==

== תרגיל 12 שאלה 3 a == 

<math>2^{x^{e}}=e^{log2\log(2^{x^{e}})}</math>

<math>2^{x^{e}}=e^{ln2\ln(2^{x^{e}})}</math>

::הסימון <math>\log(x)</math> משמש לעיתים לעתים (וגם בתרגיל זה) תחליף ל- <math>\ln</math> כלומר ללוגריתם בבסיס <math>e</math> . לפעמים הוא משמש כלוגריתם בבסיס 10 (לא הפעם). אין טעות בפתרון במקרה זה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:32, 15 בפברואר 2012 (IST)

== שיעורי חזרה == 

== מבנה המבחן == 

== אריתמטית של גבולות ==אם סדרה אחת שואפת לאינסוף והאחרת לאפס, למה שואפת המנה שלהן?  לגבי טורים, האם טור מתבדר פחות טור מתכנס, מתבדר? מה לגבי ההפך?

אם סדרה אחת שואפת לאינסות והחארת לאפס, למה שואפת המנה שלהן? לגבי טורים, האם טור מתבדר פחות טור מתכנס, מתבדר? מה לגבי ההיפך?:: אם הסדרה ששואפת לאפס שואפת לאפס דרך ערכים חיוביים (מה שהיינו מגדירים בפונקציות שאיפה מימין) אזהמנה של השואפת לאפס חלקי זאת ששואפת לאינסוף (אני מתכוון לפלוס אינסוף) תשאף לאפס והמנה ההפוכה תשאף לאינסוף.

יכול להיות מצב שאחת המנות לא תשאף לגבול. למשל: אינסוף חלקי סדרה ששואפת לאפס אבל נניח שמשנה סימן ואז הגבול של האינסוף חלקי הסדרה ששואפת לאפס לא יהיה קיים. כי יהיו שתי תתי סדרות ששואפת לפלוס אינסוף ולמינוס אינסוף.

מתכנס פחות מתבדר גם כן מתבדר משיקולים דומים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 17 בפברואר 2012 (IST)== ערכים של טורים ==

==ערכים של טורים==האם צריך לזכור למבחן ערכים של טורים מסויימיםמסוימים?(לכמה הטור שווה ) אם כן אלו ?(לדוגמה הטור ההרמוני המתחלף)

מה מייצג הסימן f בחזקת -1. חשבתי שאחד חלקי הפונקציה אבל לפי פתרון המחבן המבחן משנה שעברה (שאלה 7) ניראה כאילו גוזרים אותה בתור הפונקציה ההפוכה לfל- <math>f</math>::עדיף לשאול 3 שאלות מנושאים שונים בנפרד ולא תחת נושא אחד. בכל מקרה:

שאלה שניה- <math>b_n>1</math> ולכן <math>b_{n+1}>b_{n+1}/b_n</math> לכן אם <math>\frac{b_{n+1}/}{b_n}</math> שואף לאינסוף אז כך גם <math>b_{n+1}</math> (ולכן גם <math>b_{n}</math>)

== נגזרת ורציפות == אם f גזירה פעמיים ב- <math>[a,b]</math> אז הנגזרת רציפה בקטע הסגור הזה?::כן. באופן כללי גזירות בנקודה גורררת גוררת רציפות בנקודה. כמו כן גזירות ימנית (שמאלית) גוררת רציפות מימין (משמאל בהתאמה).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:09, 18 בפברואר 2012 (IST) == הגדרת החזקה - שיעור ראשון ==

 :נניח שהם שונים, נעלה את שניהם בחזקת <math>n </math> ונקבל סתירה, לפי החוק <math>(a^n)^m=(a^m)^n</math> (אותו קל להוכיח) --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>::ציין אם זה נכון: בגלל ש- <math>n,m</math> הם מספרים טבעיים, נקבל שכל אחד מהאגפים שווה לפי עקרון הכפל הקומבינטורי ל - <math>a^{nm}</math>, ולכן לאחר ההנחה בשלילה נקבל ::<math>\sqrt[n]{x^m}\neq ne(\sqrt[n]{x})^m \Rightarrow {x^m}\neq ne((\sqrt[n]{x})^m )^n\Rightarrow {x^m}\neq ne((\sqrt[n]{x})^{mn}= ((\sqrt[n]{x})^n)^m=x^m</math> בסתירה.

== היינה באינסןף == אם <math>\lim \limits_{x\to\infty}f(x)=L</math> באינסוף הוא L, זה אומר לפי היינה שגם <math>\lim \limits_{n\to\infty}f(n^2-nlnn\ln(n))=L</math>,נכון?

== מבחן תשנ"ט שאלה 2ג. == במבחן כתוב <math>\frac{1}{\log\left(\frac{1}{n}\right)}</math> כאשר n מ-1 עד אינסוף. ב-1 הביטוי לא מוגדר.

== גבולות == אם סדרה an <math>a_n</math> שואפת למספר טבעי ממשי מ0 מאפס וסדרת bn <math>b_n</math> שואפת ל0 לאפס דרך החיוביים. an<math>\frac{a_n}{b_n}</bn math> שואפת לאינסוף? או שבמנה חייב להיות מספר ממשי ולא משהו ששואף אליו?

== דוגמה 2 לטורים חיוביים == 

== <math>0^0 </math>==יש דוגמה לגבול מהצורה <math> 0^0</math> ששואף ל-2?

יש דוגמה לגבול :<math>2\Big(\frac{1}{n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>::לא לזה התכוונתי... רציתי שכל הביטוי יהיה רק חזקה ומעריך, כלומר שהוא יהיה מהצורה <math> 0^0</math> ששואף ל2בלבד. באותה המידה יכולת להוסיף 1.:::<math>\left(\frac{1}{2^nn}\right)^{-\frac{1}{n}}</math> ככה?(: --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>::::כן, תודה! פשוט להכניס את ה2 לבסיס... (<math>\left(\frac{1}{2^n}\right)^{\frac{1}{n}}</math> זאת דוגמה יפה יותר, כי אז הביטוי יהיה קבוע למרות הצורה <math>0^0</math>)

:<math>2\cdot \Big(\frac{1}{n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>::לא לזה התכוונתי... רציתי שכל הביטוי יהיה רק חזקה ומעריך, כלומר שהוא יהיה מהצורה <math> 0^0</math> בלבד. באותה המידה יכולת להוסיף 1.:::<math>\Big(\frac{1}{n2^n}\Big)^{-\frac{1}{n}}</math> ככה? (: --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>::::כן, תודה! פשוט להכניס את ה2 לבסיס... (<math>\Big(\frac{1}{2^n}\Big)^{\frac{1}{n}}</math> זאת דוגמה יפה יותר, כי אז הביטוי יהיה קבוע למרות הצורה <math> 0^0</math>) == דוגמה 3 לטורים חיוביים == [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%95%D7%91%D7%99%D7%99%D7%9D/%D7%93%D7%95%D7%92%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%AA/3]] התכוונתם לרשום ש'''לפחות''' שני שלישים, כנראה. מה שכתוב כרגע נכון רק לn ל-n ששקול ל0 מודולו 3.

"נקטין את כל האיברים האברים במכפלה שגדולים מ- <math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון ומכיון שיש לפחות <math>\frac{2}{3}n</math> כאלה נקבל ש

<math>n!=1*2*..*\times2\times\cdots\times\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor *\times\left(\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1\right)*...*\times\cdots\times n \geq 1*2*..*ge1\times2\times\cdots\times\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*\times\left(\frac{n}{3}\right)^{(\frac{2}{3}n)} \geq ge\left(\frac{n}{3}\right)^{(\frac{2}{3}n)}</math>

== דוגמה 5 לטורים חיוביים == הוכחת האינדוקצייה האינדוקציה נראית לי שגוייהשגויה. (מה שכתוב שם לא הגיוני)

צריך להיות פשוט <math>\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot \frac{b{n}b_n}{b_1}\geq ge\frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{b{n}b_n}{b_1}\geq ge\frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{a_{n}a_n}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}</math> (א"ש ראשון לפי הנתון, שני לפי הנחת האינ'האינדוקציה)

== טעויות במדמ"ח 11 שאלה 4 == 

== שאלה 1 א במבחן שהיה ב-2008 == בשאלה כתוב הגבול של הסדרה <math>\lim_{n\to \infty }\bigg[\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}\bigg]</math>. אפשר רמז לפתרון הגבול הזה?::תכפילו ותחלקו ב - <math>\sqrt{n-\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>.

::ואז ?::מצמצמים את המונה והמכנה בביטוי "הכי גדול" כלומר ב- <math>\sqrt{n}</math> --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:40, 21 בפברואר 2012 (IST) == פונקציות ==

== שאלה ==הוכיחו כי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס בהחלט אם ורק אם קיים <math>C>0</math> כך שלכל סדרה <math>\{b_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת כי<math>|b_n|\le1</math> לכל <math>n\in\N</math> וכן <math>\lim_{n\to\infty}b_n=0</math> מתקיים כי <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n\le C</math>

הוכיחו כי הטור<math>Sigma a_n</math>מתכנס בהחלט אם ורק אם קייםC>0כך שלכל סדרה<math>(b_n)n=1...infinity</math>המקיימת כי<math>|b_n|<=1</math>לכלn in Nוכן<math>lim b_n=0, n->infinity</math>מתקיים כי<math>Sigma a_n*b_n<=C</math>n=1....infinity נ"ב,אני משום מה לא מצליח לרדת שורה,למרות שאני לוחץ על אנטר. תודה

:בכיוון השני אתה יכול גם להראות שהסדרה <math>a_{n}a_n</math> מקיימת את תנאי קושי, כך שבכל פעם תבחר סדרה מתאימה. == שאלה ממערכי תרגול- פונקציות- קושי ==