שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 2

תרגיל שהוכח במערכי תרגול - גבולות חלקיים

במערכי תרגול יש תרגיל (לו מצורפת הוכחה): מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים. העניין הוא שמכיוון שאת איברי סדרה ניתן לשים בקבוצה ולכן עוצמת הקבוצה היא אלף אפס (סדרה היא בת מניה) ואם יוצרים קבוצה של גבולות חלקיים של סדרה, ובקבוצה הזו אמורים להיות כל המספרים הממשיים אז עוצמת הקבוצה היא אלף, משמע יש בה יותר איברים מאשר בסדרה. זה לא מתחבר לי. (אבקש שתסבירו לי את הטעות שלי ולא את ההוכחה)

בקשר לגבולות חלקיים

אחרי שמצאתי גבולות חלקיים ע"י הצבת n זוגי וn אי זוגי איך אני מוכיח שהם הגבולות החלקיים היחידים? הדוגמא בכתה של בחירת סביבה כללית של גבול ולהראות שיש שם מספר סופי של איברים לא ברורה לי אם אפשר הסבר נוסף ודוגמא טובה תודה

יהי M גבול חלקי של הסדרה , אזי קיימת תת-סדרה ${a_{n_{k}}}$ של הסדרה המקורית, המתכנסת אליו. היא בהכרח מכילה כמות אינסופית של איברים במקומות זוגיים, או אינסוף איברים במקומות האי זוגיים [אחרת בתת סדרה יש מספר סופי של איברים. סתירה]. ניקח את תת- תת-הסדרה ${a_{n_{k_{m}}}}$ של אותם אינסוף איברים. סדרה זו היא גם תת סדרה של האיברים במקומות האי זוגיים\זוגיים ולכן מתכנסת לגבול L שהוא הגבול של האיברים במקומות האי זוגיים\זוגיים. אבל בגלל ש ${a_{n_{k}}}$ מתכנסת, אז כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול M. קיבלנו M=L [כי הגבול של ${a_{n_{k_{m}}}}$ מוגדר היטב]

תאריכי הבחנים

למחלקת מתמיקה באוניברסיטת בר אין שלום יש משהו שמאוד מאוד מפריע לי בהתלנות ואני מרגיש שאני מוכרח לספר, גם לא תוכלו לעשות שום דבר בנידון ואני מאוד מאוד מקווה שתוכלו: אני חושב שתאריכי הבחנים הם פשוט בדיחה. בחנים לתיכוניסטים כשיש חופש מהלימודים?!?!? סליחה על המילה אבל זו פשוט שערוריה !! בזמן החופש מהלימודים אנחנו רוצים לצאת, להנות, לטייל עם המשפחה ועם תנועות הנוער, לטוס , ובעיקר לנוח מהלימודים.אני חושב שזה ממש לא הזמן המתאים לבוחן כי זה גורם לנו להפסיד המון המווון המון. אל תשכחו שלמרות שאנחנו סטודנטים אנחנו גם ילדים !!! בתודה, ובתקווה לקבלת מענה.

אין חופש מהלימודים בחנוכה באוניברסיטה (הלימודים מפסיקים אחרי ארבע). --ארז שיינר

נכון אבל יש חופש מהלימודים !! ואנחנו רוצים לנצל אותו בלחפוש ולנוח ולטייל ולא בללמוד לבחנים או לעשות אותם בבקשה תבינו אותנו !!!!!!!!!!!!!! תדחו את הבחנים לאחחרי החופש ! לשבוע אחריו! במילא אנחנו מותרים על מלא דברים ביומיום..אז גם בחנוכה ?! אני חוזר, למרות שאנחנו סטודנטים אנחנו ילדים וכמה שאנחנו רוצים תתואר הזה אנחנו רוצים גם לחיווות !!

ובנוסף :

מה הכוונה הוכח במפורש - עפ"י הגדרה? האם אני יכול להוכיח שהסדרה אינה סדרת קושי (ולכן היא לא מתכנסת במובן הצר) + מונוטנית עולה = שואפת לאינסוף?

באיזו שאלה? --ארז שיינר

בקשר לתרגיל 5 שאלה 5 סעיף א

בקשר לרמז שם : איך אני מוכיח באינדוקציה לא מוצא הנחה טובה כדי להחמיר איתה בk+1 זה פשוט לא מסתדר אפשר עזרה? תודה

אפשר להסתכל בפתרונות.  :--מני

תרגיל 5 שאלה 2

1.על מנת להוכיח ש-0 הוא הגבול החלקי היחיד. מספיק לי להוכיח (בדומה להוכחה בכיתה) שקיימת סביבה של L (0,2L) כך שב-+R אי זוגיים אין לי כלל איברים ובזוגיים יש לי n0 איברים?

2. יכולתי לצורך העניין לקחת דוג' מספרית נגיד הסביבה של 2 ולהסיק באותה הדרך על (0,4) למשל?

יש שוני מהותי בין התרגיל הזה לבין התרגיל שהיה בכיתה. בתרגיל שהיה בכיתה (אם אני זוכר אותו נכון)

היו שני גבולות חלקיים אחד 0 (למעשה כל האיברים במקומות האי זוגים היו אפס , או שזה היו דוקא האיברים במקומות הזוגיים אני לא זוכר) והשני אינסוף.

נניח שהזוגיים שאפו לאינסוף אז ידענו מהגדרת שאיפה לאינסוף שכמעט כל איברי תת הסדרה הזו בקרן $(2L,\infty)$ ולכן הסקנו שיש בסה"כ לכל היותר מספר סופי של איברים בקטע (0,2L). המצב בתרגיל הזה שונה מאד גם האי זוגיים וגם הזוגים שואפים לאפס. לכן ההוכחה ההיא פשוט לא תעבוד, הטיעון שצינתי קודם ממש אינו נכון במקרה זה וצריך לקחת סביבת אפסילון אחרת.

אפשר להיעזר בעובדה שבמקומות האי זוגיים הסדרה זהותית אפס ובמקומות הזוגיים סדרה מונוטונית יורדת לאפס

שהאיבר הראשון שלה הוא $2(\frac{4}{5})^2$ ברור שאם היה בכלל איזשהו גבול חלקי אחר הוא היה צריך להיות בין 0 ל $2(\frac{4}{5})^2$. לכן מספיק להראות שלא קיים גבול חלקי L בטווח זה. מכיון שסדרת הזוגיים שואפת לאפס ניתן להסיק שלכל L בטווח זה קיים n0 יחיד כך ש

$2(\frac{4}{5})^{2(n_0+1)}\leq L\leq 2(\frac{4}{5})^{2n_0}$ מזה אפשר להסיק שקיימת סביבת אפסילון לL שאין בה בכלל איברים מאיברי הסדרה ולכן L אינו גבול חלקי.--מני

תשובות לתרגיל 5 באינפי לאנשי מדעי המחשב

שלום רב, מדוע לא פורסמו התשובות לשאלות של תרגיל 5 במדעי המחשב? איך נוכל להשוות וכן איך נוכל ללמוד עבור הבוחן שיש שבוע הבא? תודה רבה.

תרגיל חמש עוד לא הוגש, כעת עוד לא נכתבו פתרונות. תלמדו מהחומר שכן יש, ואתם מוזמנים לשאול שאלות במקרה ומשהו לא ברור --ארז שיינר

מערכי התרגול, אינפי1, חסמים

שלום ארז, אני חושב שבמערכי התרגול של חסמים בהוכחת המשפט על חסם עליון חסר טקסט. הטקסט מסתים "מכיוון שאפ " .. עיונך. =].

אביט בזה, תודה --ארז שיינר

בוחן מדמ"ח

האם הבוחן הקרוב יכלול שאלות מתרגיל 2 - חסמים? (כן אנחנו יודעים שחייב לדעת חסמים בשביל סדרות, זה רק בשביל למקד קצת יותר).

לא --ארז שיינר

תרגיל 6 , שאלה 4

האם מותר השימוש במשפט סדרה שלא מתכנסת ל0 הטור שלה מתבדר?

כן.--מני

בקשר ל-ln

האם ln(n שואף לאינסוף? ו1 חלקי הביטוי הזה שואף ל0? ומה קורה במקרה של n =1 ? n מתייחסים אליו?

תודה

(לא מתרגל): כן, (ln(n שואפת לאינסוף, כי יהי M ממשי, ניקח N = e^M וכל n טבעי שגדול מ N מתקיים ln(n)>M . 1 חלקי הביטוי הזה מתכנס ל 0 כי נראה לי שמשפט כזה היה בשיעורי בית (בכ"מ ממש קל להוכיח שאם סדרה מתכנסת לאינסוף אז ה"הופכית" שלה מתכנסת ל 0). עבור n=1 הביטוי לא מוגדר.

שלום רב, הבנתי כי הבוחן יכלול שאלות מתריול חמש, תוכל בבקשה להעלות פתרונות של התרגול? תודה.

הועלו פתרונות.

[מדמ"ח] תרגיל 5 שאלה 2 סעיף ג

זה אמנם לא משנה את הפתרון אבל בשלב האחרון בתשובה ששמתם, האיבר האחרון במונה הוא

$1 / (n ^ 10)$

זה לא אמור להיות

$1 / (n ^ 1.5)$

?

צודק, הרי כפלנו את המונה ואת המכנה ב $\frac{1}{n^{5/2}}$ --ארז שיינר

שאלה 4 א'

לא הבנתי את הפתרון נראלי שהם דילגו על מספר שלבים ולא הכלילו את הINF בפתרונם

מראים שם, שאם ניקח תת-סדרה מתכנסת של $a_n$, אזי הגבול שלה יהיה גדול או שווה ל $-\limsup(-a_n)$.

כמו כן, מצאנו תת סדרה ספציפית המתכנסת לגבול זה.

ביחד, יוצא שזה הגבול החלקי הכי קטן של $a_n$ או במילים אחרות, $\liminf(a_n)=-\limsup(-a_n)$

--ארז שיינר

[מדמ"ח] תרגיל 5 שאלה 4 סעיף ב

ניסיתי שעות להבין את הפתרון ללא הצלחה. נראה כאילו בכל שורה מגיעים למסקנות לפי חוקים שלא למדנו בכלל או למסקנות לא הגיוניות בכלל (למשל את הסוגריים בפתרון נראה לי שאפשר להפריך). אתה יכול להסביר מה בדיוק הולך שם? (עם תקווה קלושה לתגובה עוד היום ^_^)

שאלה כללית על טורים

האם אפשר לכתוב בפוסט הזה את המשפטים כמו אם שני טורים מתכנסים אז הסכום של שניהם גם מתכנס וכן הלאה? האם מכפלת טורים מתכנסים גם היא טור שמתכנס? פשוט אני לא מוצא את זה בשום מקום תודה..

סכום של טורים מתכנסים מתכנס, מכפלה בקבוע של טור מתכנס היא מתכנסת. מכפלת טורים היא דבר לא מוגדר, אם אתה כופל איבר איבר אז זה מתכנס אם הטורים חיוביים, ואם לא זה לא חייב להתכנס. --ארז שיינר

תרגיל 7 שאלה 1

אם הראתי ע"פ כלל מסויים שהוא מתכנס וע"פ כלל מסויים אחר או אולי אותו כלל שהוא מתבדר זה אומר שהיא אפשר להסיק כלום לגביו? תודה

כדי להוכיח שמהתבדרות הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n$ לא ניתן להסיק שהטור השני שבשאלה מתבדר מספיקה דוגמא נגדית לטור א' שמתבדר אבל שהטור ב' מתכנס. באופן דומה תספיק דוגמא נגדית אחרת... בשביל להוכיח שלא ניתן להסיק מהתבדרות סוג א' את התכנסות סוג ב'. --מני

מני היקר אני באמת לא מבין איך אתה מסיק מהשאלה שצריך רק שתי דוגמאות נגדיות ולא הוכחה כללית כי הרי הדוגמאות מראות רק לסדרות ספציפיות ולא לכל הסדרות.. תודה....

אם השאלה היתה: "הוכח שמהתבדרות הטור החיובי $\sum_{n=1}^\infty a_n$ ניתן להסיק שהטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+a_{n}^2}$ מתבדר", מה היה צריך להוכיח? שאם יש טור חיובי כלשהו $\sum_{n=1}^\infty a_n$ המתבדר אז גם

$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+a_{n}^2}$ מתבדר.

אם מבקשים להוכיח שלא ניתן להסיק את זה אז המשמעות היא שדווקא צריך למצוא דוגמא נגדית. כנ"ל לגבי אי האפשרות להסיק שאם שאם יש טור חיובי כלשהו $\sum_{n=1}^\infty a_n$ המתבדר אז $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+a_{n}^2}$ מתכנס. --מני 16:41, 21 בדצמבר 2011 (IST)

תרגיל 7 שאלה 4

לא הבנתי איך הכיוון $=>$ מתקיים. הרי אפשר להציב $a_n=\frac{1}{n}$ ו $b_n=(-1)^{n+1}$ ובמקרה זה הטור $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ מתכנס לפי לייבניץ ואילו הטור $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ אינו מתכנס. לפי הבנתי הדבר צריך להתקיים לכל סדרה $b_n$ חסומה. תודה --רן--

הכיוון שאתה מדבר עליו דורש שהטור יתכנס לכל סדרה חסומה. הדוגמא שלך לא סותרת את הטענה, כי הטור $\sum_{n=1}^\infty b_n \frac{1}{n}$=$\sum_{n=1}^\infty b_n a_n$ לא מתכנס לכל סדרה חסומה $b_n$. למשל, הוא מתבדר עבור הסדרה הקבועה $b_n=1$. --לואי 22:48, 21 בדצמבר 2011 (IST)

הבנתי תודה רבה.

הבדלים בהגדרת הגבול

ההגדרה שבמערכי התרגול שונה מההגדרה של ד"ר שיין (מניחים שהפונ' מוגדרת על כל הסביבה, ולא רק שזאת נקודת הצטברות). האם במבחן מותר יהיה להשתמש בכל אחת מההגדרות?

תרגיל 6 מדעי המחשב קריטריון קושי

בשאלה 4 - האם הכוונה לשימוש במבחן ההתכנסות של קושי? אם לא, האם ניתן להעלות סיכום למערכי התרגול של קריטריון קושי (+דוגמא :))?

לא מבחן קושי. הכוונה היא להראות שסדרת הסכומים החלקיים הינה סדרת קושי - זה נקרא קריטריון קושי להתכנסות טורים. בשפה של טורים זה נראה כך:

טור מקיים את קריטריון קושי אם לכל אפסילון גדול מאפס, קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו והלאה, לכל m>n שנבחר מתקיים $\Big|\sum_{i=n}^ma_i\Big|<\epsilon$

--ארז שיינר

חומר לבוחן תיכוניסטים ב - 28/12

מתרגלים יקרים חג שמח, מהו החומר לבוחן התיכוניסטים שיתקיים ב - 28/12? תודה רבה!

תרגילים 4,5,6 --ארז שיינר

בוחן 2

בש"ב 5 נתתם משפט על גבולות חלקיים שפותר את תרגיל 2 בקלות. האם בבוחן ניתן להשתמש בו?

תרגיל 6 שאלה 3a

למה מציבים דווקא n=0,-1,-2?

אפשר להציב כל שלושה ערכים שרוצים כדי לקבל 3 משוואות ולמצוא את $A,B,C$. זה מה שעושים בשיטת השברים החלקיים. עם זאת נוח להציב ערכים שמאפסים בכל פעם את המקדמים של שניים מתוך שלושת המקדמים של $A,B,C$, כי אז המשוואות הרבה יותר פשוטות. כך למשל, אם מציבים n=0 מקבלים

$2A=1$ וקל לראות ש $A=\frac{1}{2}$ --מני 21:22, 26 בדצמבר 2011 (IST)

תת-סדרה מונוטונית

אפשר דוגמא לסדרה לא-חסומה שאין לה תת-סדרה מונוטונית? (בעקבות תר' 4 שאלה 5)

אי אפשר כי לא קיימת דוגמא כזו. גם לסדרה לא חסומה בהכרח יש תת סדרה מונוטונית. לסדרה לא חסומה מלעיל קיימת תת סדרה מונוטונית עולה ממש. לסדרה לא חסומה מלרע קיימת תת סדרה מונוטונית יורדת ממש. --מני 21:30, 26 בדצמבר 2011 (IST)

זה מה שחשבתי, אבל אם כך אז יש לשנות את הניסוח בשאלה ההיא לטענה החזקה יותר.

בוחן לתיכוניסטים מספר 2

מישהו יכול לומר לי באיזה שעה יתקיים מחר הבוחן לתיכוניסטים באינפי 1 ואיפה (הבוחן של 28/12)?

בתאריך 28/12/11 שתי כתות

8813205 ד"ר שיין בכתה 101/1

8813207 ד"ר הורוביץ בכתה 502/21

גם התרגיל וגם הבוחן יתקיימו באותה כתה

עד כמה שידוע לי הבחינות בחדרים צמודים 101/1,2 --ארז שיינר

הבוחן

האם צריך לדעת משפטים לבוחן? או רק הגדרות? תודה מראש!

איך אפשר לפתור תרגילים בלי משפטים? --ארז שיינר

השאלה היא אם אצטרך לדעת את ההגדרה המדוייקת, כמו שבבוחן הקודם נתבקשתי לדעת את הגדרת הגבול במדויק. מובן שלא היה ניתן לפתור את שיעורי הבית ללא ההגדרה, אבל הניסוח במדויק (אפילו שבמקרה זה יחסית כן) לא נתבקש. אצטרך לדעת לכתוב בצורה פורמלית את מבחן ההשוואה הגבולי לדוגמה?