גרסה אחרונה מ־15:34, 5 בפברואר 2011

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

תוכן עניינים

1 הוספת שאלה חדשה
2 ארכיון
3 שאלות

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

שאלות

הערה בקשר למבחן ביום שני

אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.

אשמח אם תתחשבו בנו.

מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.

מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/

אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..

ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.

http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

שאלה בקשר למבחן ביום שני

מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות? תודה.

תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:

יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.

תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.

כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.

גל א.

לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.

שאלה על פתרון שאלה

תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!

אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --ארז שיינר 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)

אוקי.

עזרה בשאלה ממבחן

תהי {an} כך שלכל K טבעי $a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0$ , וגם ש $lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0$ . הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!

יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --ארז שיינר 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)

הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?

הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --ארז שיינר 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)

אוקי..

עזרה בשאלה נוספת ממבחן

יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב $lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)$ . תודה מראש

אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, גל א.

לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.

Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}

כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, גל א.

נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?

אכן.

רציפות במ"ש

מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?

f(x)=xsinx

ו

x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}

. אזי

f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0

--ארז שיינר 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)

קירוב ליניארי

היי ארז,

באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....

איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?

תודה!

אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --ארז שיינר 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)

עזרה בפתרון שאלה

שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[1]]. תודה!

לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו,

\lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0

בסתירה. --ארז שיינר 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)

תודה.

מישפט היינה בורל

מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה

"יהי

K

קטע סגור, ויהיו

\{I_a\}_{a\ in\ A}

קטעים פתוחים ב-

\R

כך ש-

K

מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-

K

מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי גל א.

תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום בצורה קצת פחות פורמלית

אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות

"תהי

S

קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, גל א.

אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.

בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?

אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --ארז שיינר 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)

עזרה בבדיקת היתכנסות הטור

$\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}$

(לא מתרגל/ת): מתכנס, אני מיד אכתוב למה.

חזרתי:

$\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }$	$=$	$\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} }$
$\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right)$	$=$
$\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2}$	$=$
$1\cdot e^{-2}$	$=$
$1$	$<$

והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס.

\blacksquare

פשש זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה

בקשה

שלום רב, למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf תודה מראש!

(לא מתרגל/ת): יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.

יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!

(לא מתרגל/ת): הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור

\sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!}

מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן

\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0

ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית),

\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty

. אח"כ, מכיוון ש-

\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1

, מתקיים

\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1

ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.

\blacksquare

או, זה יפה ^^

שאלה אלמנטרית

המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?

גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.

זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --ארז שיינר 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)

ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".

חתכי דדקינד

לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.

שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!

מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)

לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה

A_n/A_{L-\epsilon}

מוכלת ב-

(L-\epsilon,L)

. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.

התבלבלת, מה זה An/A_L-e?

לא התבלבלתי, זה הקבוצה

A_n

בלי הקבוצה

A_{L-\epsilon}

. תיזכר בסימונים של בדידה.

אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..

http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.

מי כתב את הפתרון הזה?

זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...

בפתרון למבחן של זלצמן 2010

כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג ש< $e^{(x^2)}$ רציפה במ"ש.

למה זה נכון?

זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן ההרכבה רציפה במ"ש. --ארז שיינר 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)

כלל לופיטל

כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?

למדנו את זה אז כנראה שכן...

כלל לופיטל

האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?

לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --ארז שיינר 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)

מבחני קושי ודלמבר

מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!

אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.

חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ

צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)
או שזה כתוב במבחן?

הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. גל א.

ציונים

מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה

יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.

כן, תיכוניסט. תודה

הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich

איקס בריבוע

איך מוכיחים ש- $x^2$ לא רציפה במ"ש? תודה.

(לא מתרגל/ת): ראה פתרון תרגיל 8, שאלה 9.

תודה.

שאלה קלה מדי?

צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב בארכיון 15)

מישהו יודע?

פתרון של הבחינות

הי ארז,

ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?

אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.

כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?

שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).

תשובה

שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.

לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו $[0,\infty)$ ולכן זה פתרון תקין.

תשובה

אוקי, שוב תודה :-)

הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא"

גרסה אחרונה מ־15:34, 5 בפברואר 2011

תוכן עניינים

הוספת שאלה חדשה

ארכיון

שאלות

הערה בקשר למבחן ביום שני

שאלה בקשר למבחן ביום שני

שאלה על פתרון שאלה

עזרה בשאלה ממבחן

עזרה בשאלה נוספת ממבחן

רציפות במ"ש

קירוב ליניארי

עזרה בפתרון שאלה

מישפט היינה בורל

עזרה בבדיקת היתכנסות הטור

בקשה

שאלה אלמנטרית

חתכי דדקינד

בפתרון למבחן של זלצמן 2010

כלל לופיטל

כלל לופיטל

מבחני קושי ודלמבר

חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ

ציונים

איקס בריבוע

שאלה קלה מדי?

פתרון של הבחינות

תשובה

תשובה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 *[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]
 *[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 7| ארכיון 7]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 8| ארכיון 8]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 9| ארכיון 9]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 10| ארכיון 10]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 11| ארכיון 11]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 12| ארכיון 12]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 13| ארכיון 13]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 14| ארכיון 14]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15| ארכיון 15]]
 =שאלות=
+== הערה בקשר למבחן ביום שני ==
+אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.
-== שאלה 1 תרגיל 6 ==
+אשמח אם תתחשבו בנו.
-האם שאלה 1 תרגיל 6 הכוונה למתבדר/מתכנס במובן הרחב או במובן הצר?
+:מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.
-===תשובה===
-במובן הצר. כלומר מתכנס = מתכנס לגבול ממשי ומתבדר = לא מתכנס לגבול ממשי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 16 בנובמבר 2010 (IST)
-== טור מתבדר ==
+מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר:
+http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/
-אם טור מתבדר אז אפשר להגיד ש0.5 טור גם מתבדר??
+אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..
+::ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.
-===תשובה===
+http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
-יש משפט שאומר שאם <math>\sum a_n</math> מתכנס אז גם <math>\sum 2\cdot a_n</math> מתכנס. תסיק לבד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:57, 16 בנובמבר 2010 (IST)
-== שאלה כללית ==
+== שאלה בקשר למבחן ביום שני ==
-בכדי להראות שאפסילון גדול 1\שורש n אפשר להישתמש בארכימדס ואם כן אז איך בדיוק?
+מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות?
+תודה.
+:תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:
+:יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.
+:תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.
+:כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.
+:[[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+::לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.
-===תשובה===
+== שאלה על פתרון שאלה ==
-לא רוצים להראות שאפסילון גדול מאחד חלק שורש n אלא רוצים להראות שקיים n שמקיים את אי השיוויון הנ"ל. לכן, רוצים n שמקיים את אי השיוויון <math>n>\frac{1}{\epsilon^2}</math> (העלאנו בריבוע ועשינו 'אחד חלקי').
-עכשיו <math>\frac{1}{\epsilon^2}</math>  מספר ממשי ולכן לפי ארכימדס קיים מספר טבעי גדול ממנו, כפי שרצינו.
+תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!
+:אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)
+::אוקי.
-== עוד שאלה כללית:] ==
+== עזרה בשאלה ממבחן ==
-צריך לדעת \ לכתוב בתרגיל [כלשהו] את ההוכחה לכך שהגבול של שורש n של n הוא 1? , או שמספיק לומר "ידוע שהגבול של an="..." הוא 1?
+תהי {an} כך שלכל K טבעי <math>a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0</math>, וגם ש <math>lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0</math>. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!
-===תשובה===
+:יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)
-אם זה לא התרגיל עצמו לא חייבים לדעת לפתור, אבל ייתכן שיבקשו מכם לפתור את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:31, 17 בנובמבר 2010 (IST)
+::הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?
+:::הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)
+::::אוקי..
-== הבהרת מושגים ==
+== עזרה בשאלה נוספת ממבחן ==
-לפני כשבוע כתבתי sup{an}, וארז, אמרת שזה סימון לא נכון ושזה לא קיים, אך כך הגדרנו בהרצאה ובתרגול את הסופ' של הקבוצה של איברי an מהאיבר הn.
+יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f''0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב <math>lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)</math>. תודה מראש
+:אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+::לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.
+:::<math>Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}</math> כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+::::נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?
+:::::אכן.
-===תשובה===
+== רציפות במ"ש ==
-אם יש לכם הגדרה כזו, אז מצויין, תשתמשו בה, כל עוד אתם מבינים שמדובר בעצם על <math>sup\{a_n,a_{n+1},...\}</math>. כל מרצה/מתרגל יכול להשתמש בסימונים שלו, אבל המהות נשארת אחת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:30, 17 בנובמבר 2010 (IST)
-== תרגיל 6 ==
+מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?
+:<math>f(x)=xsinx</math> ו<math>x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}</math>. אזי <math>f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)
-האם בטורים קיים משפט הסנדוויץ?
+== קירוב ליניארי ==
-===תשובה===
+היי ארז,
-לא יודע אם למדנו בכיתה, אבל זה נובע ישירות ממשפט הסנדוויץ של סדרות. אם <math>\forall n: a_n\leq b_n \leq c_n</math> אזי גם <math>a_1+..+a_n \leq b_1+...+b_n \leq c_1 + ...+ c_n</math> ולכן אם <math>\sum a_n = \sum c_n</math> אז סדרות הסכומים החלקיים של הטורים האלה שואפות לאותו מספר. לפי משפט הסנדביץ לסדרות, סדרת הסכומים החלקיים של <math>\sum b_n</math> מתכנסת לאותו מספר גם כן ולפיכך הטור. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)
-== גדולללללל ==
+באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....
-בואנה אדווה כל הכבודדדד!
+איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?
-חבר'ה תסתכלו על פתרון של תרגיל 5 יש הוסיפו שמה דרך פתרון נוספת שאדווה חשבה עליה....
-== שאלה 1 תרגיל 6 ==
-האם מותר להשתמש במשפט הבא:"אם טור מתכנס איברו הכללי שואף ל-0 (מופיע בספר של ד. מייזלר)?
-===תשובה===
-כן, גם קל להוכיח את זה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:20, 18 בנובמבר 2010 (IST)
-== שאלה ==
-האם אחד מהמשפטים הבאים קיים וניתן להשתמש בו ללא הוכחה?
-:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס אז |an| שואף לאינסוף?
-:-אם 1 חלקי an שואפת לאפס וan סדרה עולה וחיובית אז an שואף לאינסוף?
 תודה!
-===תשובה===
+:אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)
-. נכון ומותר להשתמש.
+== עזרה בפתרון שאלה ==
-. נובע מאחד, ואין צורך ב'עולה'
+שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90#.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.A4.D7.AA.D7.A8.D7.95.D7.9F_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.94]]. תודה!
---[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:11, 18 בנובמבר 2010 (IST)
+:לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, <math>\lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0</math> בסתירה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)
+::תודה.
-== עוד שאלה ==
+== מישפט היינה בורל  ==
-אם אני רוצה להוכיח שסדרה מתכנסת על פי הקריטריון של קושי. האם זה טריוויאלי מספיק להגיד שאפשר להוכיח את הטענה ע"י להראות ש <math>|a_{n+1}-a_n|</epsilon</math> במקום  <math>|a_m-a_n|</epsilon</math> ?
+מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה
-אם לא, האם אפשר להוכיח את הטענה בקצרה במקום בצורה מלאה עם אינדוקציה?
+:"יהי <math>K</math> קטע סגור, ויהיו <math>\{I_a\}_{a\ in\ A}</math> קטעים פתוחים ב-<math>\R</math> כך ש-<math>K</math> מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-<math>K</math> מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
-===תשובה===
+תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום  בצורה קצת פחות פורמלית
-לא רק שזה לא טריוויאלי, זה בכלל לא נכון, כפי שראינו בתרגיל.
-אני לא יודע מתי צריך אינדוקציה, אני הראתי דוגמאות ללא אינדוקציה, לכן אני לא יכול לומר שבאופן כללי אפשר לדלג על חלק מהטענה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)
+אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות
-:זה לא נכון??? הנה הוכחה בקצרה (ללא אינדוקציה)
+:"תהי <math>S</math> קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
-אם הוכחנו ש <math>|an+1-an|<e</math>. אזי גם <math>|an+1-an|<e/p</math> לכל P טבעי ואז
+::אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.
-<+|a_{n+1}-a_n|< e/p+...+e/p<e .//math>|a_{n+p}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}|+...{</math>
+:::בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?
-(אחד מהמעברים היה אי שוויון המשולש רק לכמה גורמים). יש משהו לא נכון בהוכחה שלי?
+::::אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)
-:עריכה: משהו השתבש מתמטיקה, לא מוצא איך לתקן, מקווה שתבין
+== עזרה בבדיקת היתכנסות הטור ==
-::כן, יש משהו לא נכון. לכל <math>\frac{\epsilon}{p}</math> יש מקום אחר בסדרה שהחל ממנו יתקיים אי השיוויון. בסדרת קושי צריך עבור כל אפסילון מקום '''קבוע''' בסדרה כך שהחל ממנו והלאה המרחק בין '''כל''' שני זוגות איברים יהיה קטן ממנו. נניח לקחת <math>\frac{\epsilon}{p}</math>  אז  ניקח <math>a_n,a_{n+p+1}</math> עבור הזוג הזה אי השיוויון לא יתקיים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:56, 18 בנובמבר 2010 (IST)
+<math>\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}</math>
-:::לא הבנתי, למה אי השוויון לא יתקיים? לא הבנתי גם מה לא נכון בהוכחה. כתבת את ההגדרה של סדרת קושי, וגם אני השתמשתי בהגדרה.
+:{{לא מתרגל}} מתכנס, אני מיד אכתוב למה.
+:{{הערה|חזרתי:}}
+{|
+{{=|l=\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} }
+   |r=\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }
+}}
+{{=|r=\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right)
+}}
+{{=|r=\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2}
+}}
+{{=|r=1\cdot e^{-2}
+}}
+{{=|r=1
+   |o=<
+}}
+|}
+:והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס. {{משל}}
+פשש  זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה
-::::אתה מתחיל מאמירה שגוייה: '''אם הוכחנו ש <math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. אזי גם <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{\epsilon}{p}</math> לכל P טבעי'''. הרי בוודאי אי השיוויון השני לא נובע מהראשון. אם תנסח את זה '''היטב''' תראה שזה לא עובד, כפי שתארתי (עבור כל p אתה צריך להזיז את המקום בסדרה, שאמור להיות קבוע עבור אפסילון). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:44, 18 בנובמבר 2010 (IST)
+== בקשה ==
-:::::בטח שזה כן נכון להגיד את זה על כל P טבעי! לא חייב להיות אותו N שבשבילו לכל n>N זה מתקיים, אבל ברור שזה נכון לכל e/P כי האי שוויון an-am<e צריך להתקיים '''לכל e'''. לכן אפשר לשחק אם e ולהגיד עליו מה שרוצים כל עוד משאירים אותו חיובי, אפשר להגיד שזה נכון לשורש אפסילון, חצי אפסילון, אפסילון ועוד אלפיים חלקי מליון. זה כמו שהוכחנו כל מני הוכחות בכיתה שבהם השתמשנו בהוספה והורדה של איבר בתוך הערך המוחלט ואז הפיכתו לשני ערכים מוחלטים בעזרת אי שוויון המשולש, ואז אמרנו שכל אחד מהערכים המוחלטים קטן מe/2 כדי שהסכום שלהם יצור e. אפשר להגיד גם במילים אחרות במקום לכתוב שזה נכון ל e/p זה נכון לe ואז הסכום של הדברים בהוכחה שרשמתי יתן p*e; עכשיו נגדיר e'=pe ואז יוצא שהאי שוויון שלעיל נכון לכל e' שגדול מאפס ולכן הדרוש מוכח. ואם התכוונת שזה לא נכון כי יש בעיה כלשהי עם ה-<math>N_e</math>, אז ניקח ואת <math>N=max{N0,N1,N2,...}</math> כאשר Ni הוא הN שבשבילו לכל n<N מתקיים
-<math>|a_{n+p-i}-a_{n+p-i-1}|<\epsilon</math> (לכל אפסילון כמובן) והNi רץ עד שמגיעים לאי שוויון
-<math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. ולN הזה האי שוויון שרשמתי בטוח נכון. האם עדיין אחד מהדברים שאמרתי לא נכון?
-::::::יפה מאד, אתה יודע מה הMAX הזה יהיה? בהכרח אינסוף. ואינסוף אינו מספר טבעי (במדויק - לא קיים המקסימום לקבוצה הזו) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:41, 18 בנובמבר 2010 (IST)
+שלום רב,
-:::::::2 דברים חשובים: 1) למה, באמת למה, שהMAX הזה יהיה אינסוף- זה לא הגיוני בכלל- יש מספר בר מניה של מספרים טבעיים Ni. המקסימלי מביניהם הוא אחד מהם ולכן חייב להיות טבעי וסופי!!! זה לא הגיוני! ו-2) אני פשוט בטוח ב100 אחוזים שהטענה שאמרתי נכונה. אתה יכול להפריך אותה על ידי דוגמה נגדית? ובנוסף, אתה הרבה פעמים משתמש במושג- הטענה לא בהכרח נכונה "כפי שראינו בתרגיל". אתה צריך לזכור שיש הרבה קבוצות וזה שהקבוצה שלך ראתה את זה בתרגול לא אומר שהקבוצה שלנו ראתה את זה. להפך, רוב הפעמים שאתה אומר "כפי שראינו בתרגול", אני לא זוכר שראיתי משהו כפי שאמרת בתרגול שלי. אז נגיד במקרה הזה, אתה יכול להסביר את מה שראיתם בתרגול וכך להסביר למה הטענה לא נכונה? אני חייב שהטענה הזאת תהיה נכונה כדי לפתור את תרגילים 4,6,8 ו-9 בתרגיל 5 (כל תרגיל שמכיל נוסחת נסיגה).
+למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf
+תודה מראש!
+:{{לא מתרגל}} יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.
+::יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!
+:::{{לא מתרגל}}הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור <math>\sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!}</math> מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן <math>\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0</math> ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), <math>\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty</math>. אח"כ, מכיוון ש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1</math>, מתקיים <math>\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1</math> ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. {{משל}}
+::::או, זה יפה ^^
+== שאלה אלמנטרית ==
-===תשובה===
+המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?
-. למספר סופי של מספרים טבעיים קיים מקסימום. למספר אינסופי של מספרים טבעיים, '''לעולם אין מקסימום'''. הרי יש רק מספר סופי של מספרים טבעיים שקטנים שווים מM מסויים, איך תדחוף שם אינסוף?
+:גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.
-. אני לא יכול לומר בוודאות שתמיד אין מקסימום, הרי לסדרות הקושי כן ניתן למצוא מקסימום כזה. אני פשוט אומר שהוא לא חייב להיות קיים בהנתן תנאי השאלה.
+::זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)
-. אתם יכולים לשאול ספציפית על משהו שאמרתי ראיתי בתרגול, ואני אבהר אותו.
+:::ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".
-. דוגמאות לאיך להוכיח שסדרה עם נוסחאת נסיגה היא סדרת קושי יש באתר
+== חתכי דדקינד ==
-. ראיתם את הסדרה <math>a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n+1}</math>? אנחנו הוכחנו בתרגיל וגם ברצאה (אני מנחש שגם אתם) שהסדרה הזו אינה יכולה להיות סדרת קושי ולכן אינה מתכנסת. זאת מכיוון שאם תיקח זוג איברים <math>a_n,a_{2n}</math> ההפרש בינהם יהיה תמיד גדול מחצי, ללא תלות בn (אפשר להוכיח את זה). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:53, 18 בנובמבר 2010 (IST)
+לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.
-:לא הספקתי לבדוק את התשובות האחרות, אבל לגבי המקסימום- אני עדיין ממש, ממש לא מסכים איתך. יש 2 מקומות בסדרה, a_(n+p), an. יש ביניהם p אנים. (nים). לכל n כזה מותאם Ni טבעי סופי שבשבילו לכל n<Ni מתקיימים כל מיני אי שוויונים שהצגתי קודם. נסמן N שווה למקסימלי מבין כל הNi-ים האלה. יש רק p סופי של כאלה. לכן קל מאוד לראות שN הוא טבעי סופי בהחלט.
-::אתה מתבלבל בסדר ההגדרה. קודם יש N אחרי זה יש זוג איברים. אתה לא בוחר את N בהתאם לזוג, פשוט זה לא עובד ככה. N אחד חייב להתאים '''לכל''' הזוגות. ואם תיקח אינסוף זוגות יהיו אינסוף N-ים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:59, 18 בנובמבר 2010 (IST)
-:::'''אין אינסוף זוגות, יש מספר סופי של זוגות. מה קרה לך??? N הוא אחד מתוך מספר סופי של מספרים שכל אחד מהם הוא מספר סופי, לכן ברור שהוא סופי!!!!!''' דבר שני, יש N שמתאים לכל הזוגות, והN הזה הוא המקסימלי מבין הNi-ים. הN הזה מתאים בוודאות לכל הזוגות.
-:::'''עוד 2 דברים. דבר ראשון, אתה יכול לתת דוגמה נגדית כדי שאני יראה שזה לא נכון? דבר שני, איך אפשר לפתור את כל התרגילים עם ה an+1 בלי המשפט הזה????'''
+שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!
+:מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)
-תהי סדרה <math>a_n</math>. סדרה זו נקראת סדרת קושי אם מתקיים התנאי הבא: לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>N_\epsilon</math> כל שלכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\epsilon</math>.
+::לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה <math>A_n/A_{L-\epsilon}</math> מוכלת ב-<math>(L-\epsilon,L)</math>. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.
+:::התבלבלת, מה זה An/A_L-e?
+::::לא התבלבלתי, זה הקבוצה <math>A_n</math> בלי הקבוצה <math>A_{L-\epsilon}</math>. תיזכר בסימונים של בדידה.
+:::::אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך  A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..
-אין קשר בין הדברים שאתה אומר לבין ההגדרה. אני מציע ש'''תקרא''' את מה שרשמתי, יש שם תשובות לכל מה ששאלת, כמה פעמים. (כולל '''כל''' השאלות האחרונות.) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:40, 19 בנובמבר 2010 (IST)
-===תשובה לתשובה===
+http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
-אבל יש משהו בסיסי בדבריך שהוא לא נכון. יש קבוצה של מספרים טבעיים. אזי כל אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי אחד מהם הוא מספר טבעי. אזי הN שאמרתי הוא מספר טבעי, לא אינסוף!!!!!!!!!!!!!!!!
+:לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.
+'''מי כתב את הפתרון הזה?'''
+::זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...
-:המספרים בקבוצה הם טבעיים. אבל אין לקבוצה הזו מקסימום כי היא לא חסומה. האיברים בה גדולים כרצוני. אתה אמרת שתבחר את המקסימום וזו שגיאה לוגית, כי הוא לא בהכרח קיים.
+== בפתרון למבחן של זלצמן 2010 ==
-::ברור שהקבוצה כן חסומה, כי היא ס-ו-פ-י-ת! שוב, צ"ל ש am-an|<e|, ונניח בה"כ ש m>n וש m=n+p אז יש p איברים בקבוצה (או p-1 או p+1, לא בדקתי במדויק), עבור כל זוג (am,am-1), (am-1,am-2) עד (an+1, an). הN הוא המקס על הNים המתאימים לכל זוג.
-:::אבל זה צריך להיות נכון '''לכל''' p. כמה p-ים קיימים?
-::::אם ככה, אז גם ההגדרה של קריטריון קושי לא נכונה, כי קיימים אינסוף m-ים! מה שאתה אומר לא הגיוני. אם רוצים, אפשר גם במקום להגיד את זה על p כללי להוכיח את זה על P באינדוקציה ואז זה עוד יותר בטוח נכון.
-:::::הגדרה לא יכולה להיות לא נכונה. במקרה הגרוע היא לא מתקיימת, אבל כמובן שהיא מתקיימת במקרים בהם הוכחנו. אתה מנסה להוכיח אותה בדרך שגוייה, ולכן אתה מצליח 'להוכיח' דבר שאינו נכון. אתה יכול לומר שלכל p יהיה מקום בסדרה N שהחל ממנו אי השיוויון יהיה נכון. פשוט, מכיוון שיש אינסוף p-ים, יתאימו להם אינסוף N-ים וזו הקבוצה שאמרתי שאין לה מקסימום. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:52, 19 בנובמבר 2010 (IST)
-::::::אבל מה שאתה אומר הוא לדעתי ממש לא מדויק ואסביר לך בדיוק למה. אם מנסחים את מה שאמרנו במדויק, אין אינסוף p-ים, מהסיבה הפשוטה הבאה. לוקחים n ו m כלשהו ששווה ל-n+p. הP הזה יכול להיות 0, יכול להיות 1, יכול להיות 2, כך הלאה גדול כמה שנרצה. אבל אף פעם לא לוקחים p ששווה לאינסוף. תמיד לוקחים 2 מספרים טבעיים n,m שההפרש ביניהם הוא p סופי. ככל שלוקחים P יותר גדול, יש יותר איברים בקבוצה שממנה עושים מקסימום, אבל אף פעם אין בקבוצה הזו "אין סוף" איברים. מה שאתה אומר זו טענה טיפשית וחסרת משמעות. אם עדיין אתה טוען שזה לא נכון כי יש אינסוף אפשרויות לP, אז באותו אופן ניתן להגיד שהרבה מאוד הוכחות מההרצאה הן לא נכונות באותו אופן. למשל בהוכחה למשפט שאם סדרה מתכנסת אזי היא חסומה. מתישהו במהלך ההוכחה קבענו לצורך ההוכחה
-:M=max{a1,a2,a3,...aN-1, |A-1|, |A+1|} . עכשיו אפשר כביכול לומר- רגע, יש אינסוף אפשרויות ל N-1, ואז לקבוצה a1,a2,...aN-1 אין מקסימום!!! אבל כמובן שזה לא נכון- וגם מה שאמרת על הטענה שלי, לא נכון. ואשמח כבר להגיע לפתרון בנושא כי כבר נמאס להתווכח על זה.
+כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג
+ש<<math>e^{(x^2)}</math> רציפה במ"ש.
-קודם כל אני מבקש שתשמור על השפה שלך, כי זה כבר עובר את הגבול.
+למה זה נכון?
-שנית, אתה אומר "לוקח m וn '''כלשהו'''" זו השגיאה הלוגית שלך. צריך שזה יהיה נכון לכל m וn. עליך למצוא N כך שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני זוגות יהיה קטן מאפסילון. אתה מתאר איך קודם אתה בוחר זוג ורק אחרי כן אתה בוחר N בהתאמה. אתה צריך להראות איך עבור N קבוע ובלתי משתנה לכל p יתקיים אי השוויון עבור אפסילון קבוע גם הוא. כמובן, שלא תצליח לעשות את זה עבור סדרה שאינה סדרת קושי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:03, 19 בנובמבר 2010 (IST)
+:זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן '''ההרכבה''' רציפה במ"ש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)
+== כלל לופיטל ==
-::לטענה הראשונה שהעלית: קח את <math>a_{n+1}=1/(a_n+1) , a_1=1</math>. נראה לי שזו דוגמה נגדית
+כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?
+:למדנו את זה אז כנראה שכן...
-:::דוגמא נגדית לאיזו טענה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:04, 19 בנובמבר 2010 (IST)
+== כלל לופיטל ==
-::::אני לא מי שהשתתף בדו שיח הזה, וניסיתי למצוא דוגמה נגדית למה שהוא כתב בתחילת השיחה.
-== תרגיל 5 שאלה 2 ==
+האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?
-ידוע שאברי הסדרה <math>a_n</math> אי שליליים? אחרת איך אפשר לעשות גבול לשורש <math>a_n</math>?
+:לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)
-:אני לא מתרגל, אבל כשפתרתי הנחתי שזה ככה בגלל הסיבה שאמרת.
+== מבחני קושי ודלמבר ==
-::נתון שהסדרה מתכנסת לגבול שגדול ממש מאפס. מה ניתן להסיק מזה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:42, 19 בנובמבר 2010 (IST)
+מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!
+:אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.
-:::אפשר כמובן להסיק שיש אינסוף איברים חיוביים, אבל לא שאין איברים שליליים....
+== חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ ==
-::::ניתן להסיק שפרט למספר סופי של איברים, '''כל''' האיברים חיוביים. לכן ייתכן וסדרת השורש אינה מוגדרת לספר סופי של איברים, אבל החל ממקום מסוים כל האיברים מוגדרים ואין בעייה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:27, 19 בנובמבר 2010 (IST)
+צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)<br/>או שזה כתוב במבחן?
+:הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
-:::::אז אפשר למצוא גבול לסדרה שחלק מאיבריה לא מוגדרים, כל עוד האיברים מוגדרים ממקום כלשהו?? ומה המשפט המדויק שמאפשר לי לוותר על מספר סופי של איברים? (בכל מיני מקרים)
+== [[מדיה:10Infi1TargilFinalGrades.pdf|ציונים]] ==
-:::::ועוד שאלה לגבי התרגיל: הוכחנו בהרצאה ש:
-:::::1. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-1 וכל <math>\alpha</math> ממשית, הגבול של <math>a_n^\alpha</math> הוא 1.
-:::::2. לסדרה <math>a_n</math> חיובית ששואפת ל-a חיובי מתקיים <math>lima_n^\alpha=a^\alpha</math>.
-:::::האם אני צריכה להוכיח אותן מחדש? או שאפשר להשתמש בהן כבנתון?
+מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה
+:יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.
+::כן, תיכוניסט. תודה
+:::הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich
+== איקס בריבוע ==
-::::::אין ממש משפט בעניין מספר סופי של איברים לא מוגדרים האמת, זו נקודה טכנית שאנחנו לא נכנסים אליה. באופן כללי אם רק מספר סופי של איברים בסדרה הוא בעייתי, נהוג להתעלם מהם כי עיקר הרעיון של הגבול הוא באינסוף, ולא בהתחלה.
+איך מוכיחים ש-<math>x^2</math> לא רציפה במ"ש? תודה.
+:{{לא מתרגל}}ראה [[מדיה:10Infi1Targil8Sol.pdf|פתרון תרגיל 8]], שאלה 9.
+::תודה.
-::::::עקרונית את לא אמורה להשתמש במשפטים האלה, אלא להוכיח ישירות שהשורש של סדרה מתכנס לשורש של הגבול שלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:11, 19 בנובמבר 2010 (IST)
+== שאלה קלה מדי? ==
-:::::::פשוט להחליף בהוכחה את "1" (הגבול של <math>a_n</math>) ב-L ואת <math>\alpha</math> ב"חצי"? קצת חסר טעם, אבל.. טוב. תודה על ההכוונה
+צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב ב[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15#משפט רימן|ארכיון 15]])
+:מישהו יודע?
-::::::::אני לא בטוח איך הוכחתם עם אלפא אבל יש תשובה של שתי שורות לשאלה הזו, בכל אופן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:26, 19 בנובמבר 2010 (IST)
+== פתרון של הבחינות ==
-:::::::::אני יודעת שההוכחה של טענה 2 בהסתמך על טענה 1 היא שתי שורות, אבל 1 היא כמעט עמוד. לפחות עכשיו יש פה איזשהו אתגר
+הי ארז,
-::::::::::שוב, אני לא בטוח איך מגיעים מאחד לשתיים בקלות. הכוונה בתרגיל היא ממש הוכחה לפי הגדרה. למעשה אין לזה קשר אמיתי לחומר, והתרגיל הזה בא רק כי צריך לדעת אותו לשאלות האחרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:36, 19 בנובמבר 2010 (IST)
+ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?
-טוב, מצאתי הוכחה קצרה לפי אריתמטיקה של גבולות ודברים כאלו. ושאלה באופן כללי, מתי צריך להוכיח שקיים גבול? (בפרט, האם בתרגיל הזה צריך?)
+אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.
-== שאלה על משפט. ==
+כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?
-יש איזה משפט אחד מהתרגול שהיה די לא מובן ודיברנו עליו ממש קצת זמן ועברנו הלאה. חשבתי שאולי המשפט הזה הוא הדרך לפתור את השאלות 4,5,6,9 וכל אלה עם הan+1. זה המשפט איך שהוא נכתב על הלוח בצורה מדויקת:
-{an} סדרה חיובית. אם קיים גבול <math>lim_{n->\infty}a_{n+1}/an=L</math> אז
-:א. L=lim(the nth root of an) (הגבול הוא השורש האני של an, לא יודע איך כותבים בשפה מתמטית)
-:ב. L<1 -> liman=0
-:ג. L>1 -> liman=infinity
-:ד. L=1 -> אי ודאות.
-אפשר הסבר מדויק לגבי מה המשפט אומר, איך א. בדיוק מתקשר לשאר הסעיפים, האם המשפט נכון או שהמתרגל טעה במשהו, האם יש "או" או "וגם" בין הסעיפים (בין א. לשאר), מה זה אומר האי ודאות בסעיף ד', האם המשפט באמת שימושי או שלא באמת משתמשים בו בדרך כלל, והאם באמת צריך להשתמש בו בשביל לפתור את השאלות עם ה an+1? תודה!!
+שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).
 ===תשובה===
-המשפט אכן נכון. היחס הוא של 'וגם' בין סעיף א' לבין האחרים. אי הודאות אומרת שיש דוגמאות לסדרות כאלה ששואפות לאפס, וסדרות כאלה ששואפות לדברים אחרים (נניח e). אני לא למדתי בקבוצה שלי את המשפט הזה.
+שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.
-לגבי התרגילים בבית, יש תרגילים על סדרות קושי, להן יש דוגמאות מפורטות באתר, ויש תרגילים על קביעה אם סדרה הינה מונוטונית או לא וגם על זה יש הסבר [[88-132 סמסטר א' תשעא#סדרות מונוטוניות|בדף הראשי של הקורס]]. על מנת להוכיח שסדרה מונוטונית צריך להשתמש באינדוקציה ואלגברה, אין פה שימוש במשפטים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 19 בנובמבר 2010 (IST)
+לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו <math>[0,\infty)</math> ולכן זה פתרון תקין.
-== סדרת קושי ==
+====תשובה====
+אוקי, שוב תודה :-)
-בדוגמאות לסדרות קושי רק הראיתם ש <math>|am-an|<f(n)->0</math> במקום להראות ש (לכל אפסילון ושאר הדברים) מתקיים <math>|am-an|<\epsilon</math>. אנא הרחיבו בנושא.
-===תשובה===
-אם <math>f(n)\rightarrow 0</math> אזי לפי הגדרת הגבול לכל אפסילון קיים <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>f(n)<\epsilon</math>.
-לכן, בפרט, לכל <math>m,n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<f(n)<\epsilon</math> וזה בדיוק מה שצריך לפי הגדרת תנאי קושי לסדרות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)
-== שאלה 5 סעיף f ==
-האם נכון לומר שאם לכל <math>n\geq 1</math> מתקיים ש: <math>\frac{1}{n^{3}+1}\leq \frac{1}{2}</math> להגדיר: <math>a_{n}=\frac{1}{2}</math> ולהגדיר: <math>b_{n}=\frac{1}{n^{3}+1}</math> ואז להשתמש במבחן ההשוואה הראשון ובעצם להגיד ש: <math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}< \infty</math> ולהגיד שגם: <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}< \infty  </math> ולכן הטור מתכנס?
-===תשובה===
-<math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...=\infty</math> הטור הזה בוודאי אינו מתכנס. בפרט, הסדרה הקבועה חצי שואפת לחצי ולא לאפס, ולכן לא ייתכן שהטור יתכנס. הטור של סדרה קבועה היחיד שמתכנס הוא הטור של הסדרה אפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:47, 19 בנובמבר 2010 (IST)
-== טורים ==
-האם נכון לומר שאם טור כלשהו מתבדר אז סדרת הסכומים החלקיים שלו מתבדרת?
-תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
-===תשובה===
-כן. לפי ההגדרה, טור הוא סדרת הסכומים החלקיים שלו. אם היא מתכנסת הוא מתכנס ואם היא מתבדרת הוא מתבדר - זו ההגדרה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:25, 19 בנובמבר 2010 (IST)