שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

• ארכיון 1
• ארכיון 2
• ארכיון 3
• ארכיון 4
• ארכיון 5

שאלות

הבוחן

כמה זמן יהיה לנו לפתור את הבוחן? כמה שאלות יהיו לנו? מה יהיה המבנה שלו? אפשר בבקשה לקבל בחנים להכנה (חוץ מהבוחן של שנה שעברה) ופרוט על המבנה של הבוחן והזמן שיתנו לנו לעשות את הבוחן כדי שנוכל להיות מוכנים יותר טוב לפני הבוחן? אני אישית קראתי את כל החומר שכתבנו בהרצאה, אבל אני אשמח אם תעלו הסבר שלכם איך להתקונן, זה מאוד יעזור.. תודה רבה ובהצלחה לכולם ביום ראשון

לפי מה שידוע לי, יהיו 4 שאלות, מתוכן לבחור 3. נראה לי שהבוחן שעה וחצי, אבל אני ממש לא בטוחה. גם אני אשמח לתשובות לכל הדברים ששאלת.

שנה שעברה גם היה בונוס בבוחן שלהם, זה היה דבר חד פעמי או שיש סיכוי שגם השנה יעשו את זה?

זו שאלה של תיכוניסטים או חברה רגילים?

של תיכוניסטים, דיברתי על הבוחן משנה שעברה שיש פה באתר

אל תבלבל, זה בוחן של הרגילים משנה שעברה. --ארז שיינר 18:11, 13 בנובמבר 2010 (IST)

ארז, אתם יכולים להגיד לנו כמה זמן יהיה לבוחן או לענות על השאלות ששאלתי מקודם?? זה יעזור לי להתקונן לבוחן, למרות שלא נשאר הרבה זמן

אני לא יודע, אני לא המתרגל שלכם. --ארז שיינר 19:15, 13 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 4 שאלה 4

כתוב "מצא" את הגבול. מעל לכל ספק, המילה "מצא" אומרת שצריך למצוא ולכתוב את גבול הסדרה, מבלי חובת הוכחה שזהו הגבול. בבקשה תגידו שאני צודק?

ברור שצריך להוכיח. במתמטיקה תמיד צריך להוכיח. אחרת איך תדע שמצאת? --ארז שיינר 04:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)

אינטואיציה. =]

תרגול 5 שאלה 3

אפשר לישפוך קצת יותר אור על תנאי קושי.. אני לא מבין את הדוגמאות שפירסמתם כלומר ברור לי שצריך להוכיח שהחל מימקום מסויים האיברים של הסידרה מצטופפים יותר ויותר אבל למה בדוגמא השניה למשל פי בריבוע כפולan-1*an-2 קטן מהביטוי הראשון כלומר לא מובן לי מה העיקרון בפיתרון הזה?

נתון לך בשאלה הזו שההפרש בין כל שני איברים צמודים קטן מp כפול ההפרש בין שני האיברים הקודמים. לכן, ההפרש בין שני איברים קטן שווה מp בריבוע כפול זוג האיברים הקודם לקודמים. נניח הייתה סדרה שכל איבר בה גדול פי 2 מהאיבר הקודם, אז בסדרה הזו כל איבר גדול פי 4 מהאיבר הקודם לקודם. אין לזה קשר לתנאי קושי, זה אלגברה ואינדוקציה רגילים. --ארז שיינר 04:56, 13 בנובמבר 2010 (IST)

עזרה קצרה

יהיו שתי קבוצות חסומות A,B. אז האם זה נכון ש $sup{A+B}=supA+supB$ וכנ"ל עם Inf? (כאשר הגדרת הקבוצה A+B ברורה, סכומי האיברים מהקבוצות.) תודה!

עבור האינפימום זה בטוח נכון, הוכחנו את זה בתרגיל 1 שאלה 3 של אדוארד: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich ולדעתי זה נכון גם לסופרימום.

אבל אם אתה צריך את זה לתרגיל 4 שאלה 5 אז לא נראה לי שזה עוזר, כי כשאתה עושה סכום של קבוצות אתה מחבר כל איבר עם כל איבר. לעומת זאת בסכום של סדרות אתה מחבר רק את הראשון עם הראשון, השני עם השני, וכך הלאה. אז אפשר לקחת שתי סדרות - אחת עולה ואחת יורדת, ואז זה לא נכון.

כן, התכוונתי להשתמש בזה בשאלה 5, להגיד שבגלל ש2 הסדרת חסומות אז מתקיים הכלל הזה ואז $limsupA+B=inf supA+B=inf(supA+supB)=infsupA+infsupB$ וזהו, אבל כנראה שהחיים לא כאלה קלים. (אם מה שאמרתי גם היה נכון אז לא היינו צריכים את הנתון שAn מתכנסת, אז זה בטוח לא נכון בכל מקרה.) עכשיו אין לי מושג איך לפתור את התרגיל...

דרך טובה לגשת לתרגיל בlimsup,liminf היא לקחת תת סדרה מתכנסת אליהם (קיימת, כי לפי משפט הlimsup וliminf הם המקס והמינ של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה). אחרי שהגענו לסדרה מתכנסת, אפשר להשתמש במשפטי אריתמטיקה של גבולות, או מבחן השוואה. אחרי כן אפשר להשתמש בעזרת הידע הזה להוכיח את מה שצריך לגבי הסדרה כולה. --ארז שיינר 13:22, 13 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 4 שאלה 5 ובירור כללי

1. זה נכון ש: אם סדרה מתכנסת אז יש לה גבול חלקי אחד, limsup הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, ולכן כאשר $a_n$ מתכנסת, מתקיים $limsupa_n=lima_n$ ?

2. מה ההבדל (אם יש) בין הסימון $sup\{a_n\}$ לסימון $sup(a_n)$?

3. אני כבר שעות על שאלה 5, קראתי גם את ה"רמז" בארכיון 4, שבשביל להוכיח ש-$limsupa_n+limsupb_n=limsup\{a_n+b_n\}$ צריך לזכור ש-limsup הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, ויש תת סדרה שמתכנסת אליו. אבל אני לא מבינה איך זה עוזר (מלבד מה שכתבתי ב-1), וכבר אין לי שום כיוון לפתרון :(. איך עוזר ש-$b_n$ חסומה? רמז? עזרה?

תודה מראש.

ל-2, לדעתי הסימון sup(a_n) לא נכון כי אחרי ה sup אמורה לבוא הקבוצה ללא סוגריים (אולי אפשר עם אבל נהוג בלי) ולכן אם הקבוצה היא A למשל אז רושמים supA ובמקרה הזה בקבוצה היא {an} אז רושמים sup{an}.

לשאלות 1 ו-3 אני מצטרף...

בסדר אז האם מותר לכתוב $supa_n$ ומה ההבדל של זה מ-$sup\{a_n\}$? תודה.

תשובה

1. למדנו משפט שאומר שסדרה מתכנסת אם"ם limsup an = lininf an ואם כן אזי limsup = liminf = lim

2. אין הבדל. שני הסימונים חסרי משמעות ולא השתמשנו בהם (אלא אם המרצה השתמש בהם ואז אני לא יודע מה זה אומר). באחת השאלות מישהו השתמש בסימון כאשר הוא בעצם התכוון ל$sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},...\}$ שזה הסופרמום של הקבוצה המכילה את איברי הסדרה a_n החל מהאיבר הn-י והלאה.

3. עוד רמז. אם a קטן שווה לb ו b קטן שווה לa אזי a=b. תנסי להראות שכל אחד מצדי המשוואה קטן שווה מהצד השני.

--ארז שיינר 13:31, 13 בנובמבר 2010 (IST)

מה?? איך חידשת לי עכשיו עם המשפט של הסדרה שמתכנסת! אם לא היית אומר את המשפט הזה עכשיו לא היינו יכולים לפתור את התרגיל!!

1. אני בטוח שזה כתוב במחשברת שלך. 2. בתרגיל בו זה מה שצריך להוכיח, אסור להשתמש במשפט, כמובן. --ארז שיינר 14:02, 13 בנובמבר 2010 (IST)

אני יכול להגיד לך בביטחון מלא שהקבוצה שלנו לא קיבלה את המשפט הזה לא בהרצאה ולא בתרגול. בהרצאה כנראה כי המרצה פשוט לא הספיק להגיע אל זה, ובתרגול כנראה המתרגל פשוט לא אמר לנו את המשפט הזה.

אוקיי. בכל מקרה, עכשיו למעשה אתה יודע להוכיח אותו. כיוון אחד ביקשתי מכם להוכיח בשיעורי הבית, והכיוון השני טריוויאלי. --ארז שיינר 14:17, 13 בנובמבר 2010 (IST)

תודה, אנסה! לגבי הסימונים: מה ההבדל בין $limsup\{a_n\}$ לבין $limsup(a_n)$ או $limsupa_n$? בכלל, איך מסמנים נכון את כל עניין הגבול העליון/תחתון אם לא רוצים להגדיר סדרה חדשה של סופרימומים/אינפימומים? יש לזה סימון מוסכם?

אין הבדלים limsup a_n, זה הגבול העליון של הסדרה a_n (אפשר לשים סוגריים רגילות סביב a_n כאשר זה נוח, זה לא משנה כלום), אין משמעות לסוגריים מסולסלות בהקשר זה. אפשר לראות את כל הסימונים האפשריים כאן. אין סימון אחר להגדרה --ארז שיינר 15:46, 13 בנובמבר 2010 (IST)

אז אין דרך קצרה לסמן את $inf\{b_1,b_2,...b_n\}$, בלי להגדיר את $\{b_n\}$. טוב, תודה.

תרגיל 5

$a_{n+1}-\varepsilon \leq a_{n}\leq a_{n+1}+\varepsilon$ בישביל להגיד ש an חסומה? האם זה מספיק

זו לא ההגדרה של חסומה. אם אתה חושב שזה גורר חסימות צריך להוכיח את זה (וכמובן לנסח את התנאי כמו שצריך, מה זה אפסילון? הוא קבוע? הרי אז בוודאי זה לא נכון - לדוגמא $a_n=n$ מקיימת $a_{n+1} -1 \leq a_n\leq a_{n+1}+1$). --ארז שיינר 15:25, 13 בנובמבר 2010 (IST)

נגיד ו אפסילון קבוע וידוע שהסידרה מיתכנסת

אם הסדרה מתכנסת אז היא חסומה, זה משפט. תחשוב על זה: ניקח אפסילון=1. אזי לכל n>N מתקיים $|a_n-L|<1$, ואז $-1+L<a_n<1+L$ אז חסם מלעיל הוא $M=max\{a_1,a_2,...,a_{[N]},1+L\}$ וחסם מלרע הוא $m=min\{a_1,a_2,...,a_{[N]},-1+L\}$, כאשר [N] זה העיגול למעלה של N. והסדרה מקיימת $|a_n|<=max\{|M|,|m|\}$ כי $-max\{|M|,|m|\}=min\{-|M|,-|m|\}<=m<=a_n<=M<=max\{|M|,|m|\}$

האא אוקי ואז לא משנה שמדובר ב$a_{n+1}$ כי אני מגדיר מקסימום ומינימיום אחלה

שאלת סימון

אם מאריתמטיקה של גבולות מגיעים לביטוי שהוא גבול של מספר קבוע-לא תלוי ב-n, האם עדיין צריך לכתוב מתחת לגבול ש-n שואף לאינסוף? לדוגמה $lim(n+1)=limn+lim1$. מתחת לגבול השמאלי כתוב n שואף לאינסוף, מתחת לגבול שבאמצע כתוב n שואף לאינסוף, ומתחת לגבול הימני?

עקרונית כולם הם lim כשn שואף לאינסוף כי לא למדנו עד עכשיו על שום גבול אחר. אבל דווקא מהסיבה הזו לפעמים משמיטים בכתיב את הn שואף לאינסוף, כי זה ברור. --ארז שיינר 18:15, 13 בנובמבר 2010 (IST)

גבול עליון ותחתון

אוף הגעתי למסקנה שאני לא מבינה את ההגדרה של גבול עליון ותחתון. למשל, האם אריתמטיקה של גבולות פועלת? למשל $limsupa_n+limsupbn=lim(supa_n+supb_n)$?? אם כן, אז מה זה בכלל אומר $supa_n+supb_n$?

למשל עבור הסדרה $a_n=2+1/n$ או הסדרה $b_n=-n$, כמה שווה:

1. $limsup(a_n)$

2. $lim(supa_n+supb_n)$

3. $sup(a_2)$

4. $supa_2+supb_2$

אבל לא בעזרת המשפט שהופך את זה לאינפימום של סדרת הסופרימומים (כמו שכתוב בעמוד הראשי), אלא לפי הגדרת גבול של סדרה.

גם לא הבנתי איזו מן סדרה זו. כלומר אם נגיד $c_n=supa_n$ אז $limc_n=limsupa_n$, ואז כמה שווה $c_1$? וכמה $c_5$?

בקיצור אני מבולבלת.

תשובה

קודם כל, בכלל ובפרט, הדרך היחידה ללמוד את המקצוע היא בעזרת ההגדרות שאנחנו נותנים. אין שום משמעות לlimsup פרט להגדרות בעמוד הראשי, אז איך את רוצה תשובה בלי זה?

אין דבר כזה sup a_n. כאשר אומרים $limsup a_n$ הכוונה היא בלבד לזו שבעמוד הראשי, בוודאי לא לגבול של אובייקט בשם sup a_n. זה בערך כמו לשאול על הגדרת הגבול איך מחשבים את הli של m a_n. (מהביטוי lim a_n).

כן הזכרנו את $sup \{a_n,a_{n+1},...\}$ בעמוד הראשי - זה החסם העליון (שלמדנו בתחילת הסמסטר) של הקבוצה (הרי הגדרנו רק חסם עליון של קבוצות) של האיברים שרשומים בסוגריים המסולסלות. החסם העליון הינו מספר, ולכן $b_n$ המוזכרת שם הינה סדרה של מספרים ולכן יש לה גבול רגיל.

1. הגבול העליון הוא 2 (וגם התחתון, כי הגבול העליון והגבול התחתון של סדרה מתכנסת שווים לגבול שלה, וזו סדרה שמתכנסת ל2)

2. אין שום משמעות לביטוי הזה, לא תראי אותו כתוב בשום מקום.

3. כנ"ל

4. כנ"ל

כן יש משמעות לביטוי $limsup (a_n + b_n)$ ובמקרה הזה מכיוון ש$a_n+b_n$ היא סדרה המתכנסת במובן הרחב למינוס אינסוף, כך גם הגבול החלקי הגדול ביותר יהיה מינוס אינסוף.

השאלה הראשונה בתרגיל 5 מראה שבהגדרה שבעמוד הראשי ניתן היה להחליף את $inf\{b_1,b_2,...\}$ בביטוי $lim b_n$ מכיוון שזו סדרה מונוטונית יורדת.

--ארז שיינר 18:32, 13 בנובמבר 2010 (IST)

אז בעצם בביטוי $limsupa_n$ אין שום דבר שקשור ל-lim, חוץ מזה שזה הגבול החלקי הגדול ביותר. כלומר אי אפשר להפעיל עליו אריתמטיקה של גבולות, אי אפשר כלום, אפשר רק להפוך אותו ל-$inf\{b_1,b_2,...\}$ כאשר $b_n=sup\{a_n,a_{n+1},...\}$, ולשכוח שהיה שם גבול אי פעם. אני צודקת?

תודה רבה!

בדיוק. זו הסיבה שאני נותן לכם (בבית ובכיתה) משפטים דומים לאריתמטיקה, אבל לא כל משפטים האריתמטיקה עובדים פה (למשל $limsup a_n + limsup b_n$ באופן כללי יכול להיות שונה מאשר $limsup (a_n+b_n)$. דוגמא פשוטה $a_n=3\cdot (-1)^n, b_n = 3 \cdot (-1)^{n+1}$. תנסי לבד לחשב את $limsup a_n, limsup b_n, limsup (a_n+b_n)$ ותראי שאכן נוסחאת האריתמטיקה הנ"ל נכשלת (כלומר אין שיוויון). --ארז שיינר 19:18, 13 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה 4

האם בשאלה 4 ניתן לכתוב להגיד את הגבול, ואז לכתוב הוכחה במילים (לא הכי פורמלית בעולם, אבל מתקבלת)? כמו "מכיוון ש {an+bn} חסומה, הסדרה bn חייבת "לבטל" את איברי an ששואפים לאינסוף... או שאסור? אם אסור, אז אין לי מושג איך פותרים את התרגיל ואשמח לרמז. תודה

תשובה

אסור, כמובן (:

רמז: אריתמטיקה של גבולות. תציבו כמה דוגמאות, תראו לאן הסדרה מתכנסת, תנסו להסתכל על המרחק בין איברי הסדרה לבין הגבול, ותראו אם הוא אכן שואף לאפס. --ארז שיינר 19:21, 13 בנובמבר 2010 (IST)

אני יודע לאן הסדרה מתכנסת, אני רק לא יודע איך להוכיח את זה, שלא לדבר על להבין איך אריתמטיקה של גבולות קשור כאן- An שואפת לאינסוף! איך אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות על סדרות כל כך לא-קונקרטיות?

a_n לא מתכנסת, אבל כביכול $\frac{a_n}{b_n}$ מתכנסת. תעשה מה שאמרתי... תבדוק את המרחק בין $\frac{a_n}{b_n}$ לבין הגבול. --ארז שיינר 19:49, 13 בנובמבר 2010 (IST)

הכוונה היא כמו בהגדרת גבול? אם כן, זה מה שהגעתי אליו $|an/bn-L|<e -> (-e+L)bn<an<(e+L)bn ->(-e+L)limbn<infinity<(e+L)limbn$ כאשר L מספר שאותו אני יודע. מכאן אני לא יודע מה עושים

אם תרשום מהו L ותפתח את הביטוי $\frac{a_n}{b_n} - L$ מה תקבל?

ואו- הבנתי- כמעט הצלחתי! הבעיה היחידה שנותרה לי, והיא עדיין בעיה קשה שאין לי מושג איך לפתור ואני עדיין צריך בה עזרה, היא איך לעבור מ n_k לn. בעזרת העובדה ש an+bn חסומה הגעתי לביטוי שדומה למה שצריך להוכיח רק עם n_k במקום עם n, מכיוון שסדרה חסומה היא לא בהכרח מתכנסת אלא רק יש לה תת סדרה מתכנסת. עכשיו יש לי אותה בעיה כמו בשאלה 5 (שאלה מתחת לזאת)- איך לעבור לביטוי עם n? תודה!

תרגיל 4 שאלה 5

בעזרת העזרה של ארז משאלות קודמות, הגעתי לכך ש limsup (an+bn) = liman + limbnk, כאשר bnk תת סדרה מתכנסת של bn. אבל אין לי מושג איך להמשיך מכאן. אפשר רמז? תודה!

אתה יכול להראות מהמצב הזה בקלות שצד אחד קטן שווה מהצד השני (בשיוויון אותו רוצים להוכיח). אז כל מה שנותר הוא להראות בדרך נוספת שגם הצד השני קטן לשווה לצד הראשון, ואז הוכחת שיוויון. --ארז שיינר 19:31, 13 בנובמבר 2010 (IST)

אופס, התבלבלתי- הגעתי לכך ש limsup (an+bnk) = liman + limbnk. עדיין אפשר שצד אחד ממה שצריך להוכיח קטן מהשני? למרות ששני הצדדים לא מופיעים במה שצריך להוכיח?