בתרגיל 2 (http://math-wiki.com/images/5/56/Solution2abstractalgebra2011.pdf) שאלה 8,ג', למה הקוסט שיצא איזומורפי לX2? אני לא רואה למה זה קורה. לאן נעלם X1? כפי שאני רואה את זה זה שווה ל X1xX2 ולא איזומורפי לX2.
:: זה אכן איזומורפי ל-<math>X_2</math>. אנסה להבהיר את זה עם דוגמא. נתבונן ב- <math>G=\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2</math>, ותהי <math>H=\mathbb{Z}_4 \times \{0\}</math>. כעת נתבונן בקוסטים של <math>H</math>:: <math>(0,0)+H=H</math>:<math>(1,0)+H=H</math>:...:למעשה: <math>(a,0)+H=H</math>.:כעת, מה קורה אם יש 1 במקום השני?:<math>(0,1)+H= \mathbb{Z}_4 \times \{1\}</math>:וקל לראות כי::<math>(a,1)+H=\mathbb{Z}_4 \times \{1\}</math>.:לכן יש רק שני קוסטים, ואכן קבוצת המחלקות של <math>H</math> איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_2</math>.:אותו הדבר בדיוק קורה בתרגיל המדובר. נסו לחשוב מהו האיזומורפיזם המפורש שעושה את העבודה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] בתרגיל 3 (http://math-wiki.com/images/a/a6/Solution3abstractalgebra2011.pdf) שאלת בונוס 2, מהו C_H(a)? זהו המרכז (centralizer) של <math>a</math> ב- <math>H</math>. ותוכלו להסביר את הפתרון? (למשל למה ידוע ש <math>|[a]_H|=[H:C_H(a)]</math>). ידוע את זה לגבי כל חבורה, בפרט עבור <math>H</math>. באופן כללי, אני אוכל לנסות לכתוב את הפתרון באתר באופן יותר ברור, אבל כאן זה לא המקום להסביר את כל השאלה הזאת (כי זאת, אחרי הכל, שאלת בונוס).
בשאלת בונוס 3 באותו תרגיל, איך הגעתם לסדרי יתר מחלקות הצמידות? וגם, למה הסדר של חבורה נורמלית צריך להיות סכום של איברים מהקבוצה הנ"ל '''ועוד אחד'''? איבר היחידה לא נמצא כבר בתוך המסלולים האחרים? לדוגמה אם אנחנו במסלול בגודל 12, איבר היחידה הוא לא אחד מהאיברים במסלול, כך שלא צריך להוסיף עוד אחד ולקבל 13?
:בתרגיל 4(http://math-wiki.com/images/3/39/Solution4abstractalgebra2011.pdf), שאלת בונוס 2, למה G/K אבלית <-> [G,G] מוכל בK? למה G=<A,x>?
תודה רבה!
:: זאת שאלה חשובה. טענה: תהי <math>G</math> חבורה כלשהי ותהי <math>N</math> תת חבורה נורמלית של <math>G</math>. אזי <math>G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>G' \subseteq N</math>.
::הוכחה: נוכיח את הכיוון הלא טריוויאלי. נניח ש- <math>G/N</math> אבלית. צריך להוכיח כי<math>G' \subseteq N</math>. אז נניח בשלילה שלא. כלומר, קיים קומוטטור שלא שייך ל-<math>N</math>. זאת אומרת, קיימים <math>a,b \in G</math> כך ש- <math>[a,b]=aba^{-1}b^{-1} \notin N</math>. או.קיי. אבל <math>G/N</math> אבלית ולכן מתקיים לכל <math>a,b \in G</math>:
::<math>[aN,bN]=N</math>, אבל, <math>[aN,bN]=aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=aba^{-1}b^{-1}N=N</math> ואז מקבלים ש-<math>aba^{-1}b^{-1} \in N</math>, בסתירה להנחה שלנו. לכן חבורת המנה היא אבלית אם ורק אם <math>N</math> מכילה את חבורת הקומוטטורים. --[[משתמש: לואי פולב|לואי]]
== [[מדיה: AAexam2004B.pdf|מבחן 2004 מועד ב]] שאלה 6א ==