שינויים

== תרגיל 1, 4 שאלה 2, סעיף ה 3 ==

האם צריך להוכיח ש-1) הכוונה היא בנקודת שבת "של g" <math>\Deltax| g*x=x</math> אסוציאטיבית, או שמספיק לציין את זה? בנקודת שבת "של G" (כבר הוכחנו במתמטיקה בדידה). תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]^{[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]} 22:50, 6 באוגוסט 2011 (IDT):מספיק לציין. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:02, 7 באוגוסט 2011 (IDTאיקסים כך שלכל g בG מתקיים g*x=x)?

2)סימטריות של הריבוע =סיבובים?תודה:1) לא נתונה g ספציפית, לכן הכוונה לנקודת שבת "של החבורה" (ליתר דיוק, של הפעולה), כלומר איבר x ב-X שנשאר במקום ע"י כל איברי g ב-G.:2) סיבובים ושיקופים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 08:16, 30 באוגוסט 2011 (IDT)::תודה = מערכת שעות למחר 8= שאלה == ב Sn, טיפוסי המחזורים הבאים: (--)(---) ו- (---)(--) נחשבים טיפוסים שונים, או זהים? תודה!:זהים: כי מחזורים זרים מתחלפים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 10:39, 30 באוגוסט 2011 (IDT)::תודה! == תרגיל 4 - שאלת בונוס 2 == בשאלת הבונוס השניה בתרגיל 4, מה זה בדיוק [G,G] ו-[G,A]? תודה מראש!;): אלו חבורות הקומוטטורים. אם G היא חבורה ו-A,B תת-חבורות שלה, אז <math>\ [A,B]</8 math> היא תת-החבורה של G הנוצרת על-ידי כל הקומוטטורים <math>\ [a,b] = aba^{-1}b^{-1}</math> עבור <math>\ a\in A, b\in B</math>. שימו לב שבאופן כללי, לא כל איבר של <math>\ [A,B]</math> הוא קומוטטור. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:36, 30 באוגוסט 2011 (IDT) == בקשר לשאלה 11 == האם מתקיים ש exp(G)= lcm({ O(g)|g in G }) zzz? זה לפחות מתקיים בחבורה Sn? תודה!:הטענה נכונה. בכל חבורה סופית האקספוננט הוא ה-lcm של סדרי כל האיברים (בפרט ב-Sn). נסו להוכיח זאת. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 08:42, 1 בספטמבר 2011 (IDT)::צריך להוכיח זאת לצורך התרגיל? תודה.:::לא, אתם יכולים פשוט להשתמש בזה. אני כן ממליץ (בלי קשר לתרגיל) לנסות להבין למה זה נכון. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 13:26, 1 בספטמבר 2011 (IDT)::::תודה! == כמה שאלות לגבי שאלה 6 == 1. הכוונה (ב-ב.) היא שצריך להוכיח שקיים אפימורפיזם מZ^m לG, נכון?2. אני יכול לטעון שקבוצה מסוימת יוצרת את Z^m בלי להוכיח את זה?3. זה טריויאלי להשתמש בעובדה שניתן להגדיר הומומורפיזם ע"י שליחת יוצר בקבוצה אחת ליוצר בקבוצה אחרת?תודה!== שאלה 7 סעיף ב' == מה זה G' ?: ('''לא מתרגל''') חבורה הנוצרת ע"י כל הקומוטטורים ב-G. למדנו זאת בחלק נרחב מהתרגול, קשה לי להאמין שלא נתקלת בזה.: מקווה שעזרתי;) == סיכומים (של סטודנטים) לקורס זה ==

כפי שנעשה בקורסים האחרים באתר זה (כגון:ההרצאה תסתיים [[88-236 תשעא סמסטר קיץ|אינפי 4]]), העליתי סיכומים של הקורס (שכתבו סטודנטים שלמדו בו) לדף השיחה שלי - ממש [[משתמש:Gordo6/סיכומים אלגברה מופשטת 1|כאן]] תוך הוספת הערה שאלו סיכומים שנכתבו על ידי הסטודנטים, ולכן כמובן שאין התחייבות של המרצים ו/או המתרגלים לתקינותם.  כמו כן - הוספתי לדף הראשי של הקורס הזה קישור לדף הסיכומים, ממש כפי שנעשה בקורסים האחרים. מקווה שזה בסדר. במידה וזה בעייתי, אין לי בעיה להסיר את הקישור המדובר בעקבות בקשה שלכם ו/או שאתם תסירו אותו. תודה, [[משתמש:Gordo6|גל]]. == בקשה == מתרגלים יקרים, תוכלו להעלות את הפתרונות של תרגילי הבית? וגם אולי מבחנים? (זה חשוב כדי להתאמן למבחן).תודה רבה! ::קיבלתם! :) הפתרונות נמצאים מתחת לתרגילים. עוד היום יעלו גם מבחנים של פרופסור מגרל משנים קודמות. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]:::תודה == חבורות חופשיות == חבורות חופשיות זה בחומר למבחן? לא תרגלנו את הנושא והנושא מרגיש לא מובן, לכן נשמח אם לא נבחן עליו. תודה! ::המבחן כבר כתוב, וכולל את כל החומר שלמדתם. חבורה חופשית זה נושא גדול, ובמסגרת מה שהספקת בהרצאה - אין הרבה מה לתרגל. אני מציעה שתעברו על החומר במחברת ותנסו להבין את הרעיונות המרכזיים. --[[משתמש: לואי פולב|לואי]] == שיעור חזרה מחר == איפה השיעור מחר? תודה מראש. ::זה מופיע בהודעות, בדף הראשי == שיעור חזרה היום == הי לואי,המזכירות שלחה עכשיו מייל לכולם שהתרגול בשעה 14, למרות שכתוב באתר שהוא בשעה 16. אז מתי הוא יהיה? גל. ::הי גל, בסוף הוא יהיה בשעה 14:00. ההודעה באתר תוקנה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]. == כמה שאלות על תרגילי הבית == בתרגיל 2 (http://math-wiki.com/images/5/56/Solution2abstractalgebra2011.pdf) שאלה 8,ג', למה הקוסט שיצא איזומורפי לX2? אני לא רואה למה זה קורה. לאן נעלם X1? כפי שאני רואה את זה זה שווה ל X1xX2 ולא איזומורפי לX2.  :: זה אכן איזומורפי ל-<math>X_2</math>. אנסה להבהיר את זה עם דוגמא. נתבונן ב-<math>G=\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2</math>, ותהי <math>H=\mathbb{Z}_4 \times \{0\}</math>. כעת נתבונן בקוסטים של <math>H</math>:: <math>(0,0)+H=H</math>:<math>(1,0)+H=H</math>:...:למעשה: <math>(a,0)+H=H</math>.:כעת, מה קורה אם יש 1 במקום השני?:<math>(0,1)+H= \mathbb{Z}_4 \times \{1\}</math>:וקל לראות כי::<math>(a,1)+H=\mathbb{Z}_4 \times \{1\}</math>.:לכן יש רק שני קוסטים, ואכן קבוצת המחלקות של <math>H</math> איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_2</math>.:אותו הדבר בדיוק קורה בתרגיל המדובר. נסו לחשוב מהו האיזומורפיזם המפורש שעושה את העבודה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]   בתרגיל 3 (http://math-wiki.com/images/a/a6/Solution3abstractalgebra2011.pdf) שאלת בונוס 2, מהו C_H(a)?   זהו המרכז (centralizer) של <math>a</math> ב- <math>H</math>.  ותוכלו להסביר את הפתרון? (למשל למה ידוע ש <math>|[a]_H|=[H:C_H(a)]</math>). ידוע את זה לגבי כל חבורה, בפרט עבור <math>H</math>.   באופן כללי, אני אוכל לנסות לכתוב את הפתרון באתר באופן יותר ברור, אבל כאן זה לא המקום להסביר את כל השאלה הזאת (כי זאת, אחרי הכל, שאלת בונוס). בשאלת בונוס 3 באותו תרגיל, איך הגעתם לסדרי יתר מחלקות הצמידות? וגם, למה הסדר של חבורה נורמלית צריך להיות סכום של איברים מהקבוצה הנ"ל '''ועוד אחד'''? איבר היחידה לא נמצא כבר בתוך המסלולים האחרים? לדוגמה אם אנחנו במסלול בגודל 12, איבר היחידה הוא לא אחד מהאיברים במסלול, כך שלא צריך להוסיף עוד אחד ולקבל 13? :00בתרגיל 4(http://math-wiki.com/images/3/39/Solution4abstractalgebra2011.pdf), והתרגול יתחיל ב13שאלת בונוס 2, למה G/K אבלית <-> [G,G] מוכל בK? למה G=<A,x>?תודה רבה! :30 ויסתיים לקראת 16:15זאת שאלה חשובה. טענה: תהי <math>G</math> חבורה כלשהי ותהי <math>N</math> תת חבורה נורמלית של <math>G</math>. אזי <math>G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>G' \subseteq N</math>.::הוכחה: נוכיח את הכיוון הלא טריוויאלי. נניח ש- <math>G/N</math> אבלית. צריך להוכיח כי<math>G' \subseteq N</math>. אז נניח בשלילה שלא. כלומר, קיים קומוטטור שלא שייך ל-<math>N</math>. זאת אומרת, קיימים <math>a,b \in G</math> כך ש- <math>[a,b]=aba^{-1}b^{-1} \notin N</math>. או.קיי. אבל <math>G/N</math> אבלית ולכן מתקיים לכל <math>a,b \in G</math>: ::<math>[aN,bN]=N</math>, אבל, <math>[aN,bN]=aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=aba^{-1}b^{-1}N=N</math> ואז מקבלים ש-<math>aba^{-1}b^{-1} \in N</math>, בסתירה להנחה שלנו. לכן חבורת המנה היא אבלית אם ורק אם <math>N</math> מכילה את חבורת הקומוטטורים.--[[משתמש: לואי פולב|לואי]]:::תודה על התשובות! == [[מדיה: AAexam2004B.pdf|מבחן 2004 מועד ב]] שאלה 6א == השאלה היא: "בעזרת משפט ברנסייד מצא מספר ריבועים '''לא שקולים''' עד כדי סיבובים ושיקופים אם מותר לצבוע את הקודקודים בשני צבעים קבועים".האם אפשר למצוע את מספר הריבועים השקולים (כפי שלמדנו לעשות בעזרת הלמה של ברנסייד), ואז לקחת את מספר כלל האפשרויות, לחסר ממנו את מספר הצביעות השקולות שמצאנו ולקבל את מספר הצביעות הלא שקולות?תודה מראש, [[משתמש:gordo6|גל.]] ::לא, כי משפט ברנסייד בעצמו מספק את התשובה הדרושה. לפי משפט ברנסייד אנחנו מוצאים את מספר המסלולים של פעולת החבורה. בכל מסלול - איברי המסלול הם שקולים אחד לשני, מצד שני, שני איברים ממסלולים שונים - לא יהיו שקולים. לכן למצוא את מספר המסלולים משמע למצוא את מספר הצביעות '''השונות''', או את מספר הריבועים '''הלא שקולים''' (במקרה של השאלה הנ"ל). [[משתמש:לואי פולב|לואי]] נ.ב. מצאתי עוד מבחנים נוספים של פרופ' מגרל שלא העלתם, אז העלתי אותם לדף המבחנים.::נהדר, תודה! :) [[משתמש:לואי פולב|לואי]] == שאלה == האם מתקיים <math>Un~=Z_\phi(n)</math> (הכוונה היא שחבורת ההפיכים של Zn איזו' לZ של פי (פונקצית אוילר) של n), לפחות אולי לn ראשוני? תודה! ::אני לא בטוחה שהבנתי את השאלה, אבל על פי '''ההגדרה''': חבורת אוילר <math>U_n</math> היא חבורת האיברים ההפיכים של <math>\mathbb{Z}_n</math>.  ::האם זה עונה על השאלה?..--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] :::אני די בטוח שהשאלה פה היא האם חבורת אוילר מסדר n כלשהו איזו' לZ של פי של אן (כלומר לחבורת מודולו פי אן - כאשר פי אן היא פונקציית אוילר או במילים אחרות העוצמה של חבורת אוילר). התשובה לזה, כמובן, קשורה לשאלה האם חבורת אוילר היא ציקלית (שכן האיזו ששאלת עליו יקרה אם"ם היא ציקלית). עם זאת לא כל חבורת אוילר היא ציקלית - למשל U_20. עם זאת, חבורות אבליות הן אבליות ולכן ניתנות לפירוק למכפלה של חבורות ציקליות. מקווה שעזרתי, [[משתמש:gordo6|גל.]] == שיעור חזרה עם המרצה == מתי ואיפה הוא יתקיים?תודה!:ראה מייל שפרופ' מגרל שלח לי לגבי זמן השיעור, מיקומו ומטרותיו. [[משתמש:gordo6|גל]]."השיעור יתקיים ביום ראשון ב 2 לאוקטובר בשעה 16:00חדר המחלקה אחד מהאופציות אבליתכן שיהיה שינוי חדר באותו יום אני מתכוון לדבר קצת על החומר -- לסכם כמה דבריםואם יש לכם שאולות לגבי המשפטיםלמשל אם משהו לא ברור בהוכחה זאת המטרה של השיעור" == שאלה - אוטומורפיזמים ב-Sn == ערב טוב, האם אוטומורפיזם כלשהו על Sn שומר על סימן תמורה? כלומר: <math>\forall f \in Aut(S_n), \alpha \in S_n : sign(\alpha) = sign(f(\alpha))</math> תודה מראש!

== תרגיל 2 שאלה 1ב::בהחלט! יש לא מעט אוטומורפיזמים כאלה.קודם כל - אוטומורפיזם הזהות. או למשל: אוטומורפיזם ההצמדה (הוא שומר על מבנה המחזורים ולכן שומר גם על הסימן) --[[משתמש: לואי פולב| לואי]]::: תודה, אך את זאת ידעתי כבר קודם. השאלה שלי הייתה האם ' ==''כל''' אוטומורפיזם כללי הוא בהכרח שומר סימן, אלא אם כן התכוונת שכל אוטומורפיזם שומר סימן (והדוגמאות היו כדי להסביר).

הכוונה היא לחבורת כל המטריצות הריבועיות הרציונליות מגודל 5::אז ככה, ביחס לפעולת הסכימה רכיב רכיב? ובאופן דומהזה מה שאני יודעת: עבור <math>n \neq 2, חבורת כל הווקטורים הרציונליים מגודל 56</math> מתקיים <math>Aut(S_n)=Inn(S_n)</math>, ביחס לפעולת הסכימה רכיב רכיב?:כןז"א יש רק את האוטומורפיזמים של ההצמדה (ואז הם שומרים סימן). אבל אני לא ממש בטוחה מה קורה ב- <math>S_6</math>, לא קופץ לי לראש כרגע... שווה לבדוק :)--[[משתמש:דורון פרלמןלואי פולב|דורון פרלמןלואי]] 23:::54אשמח להוסיף כאן עוד שאלה שנתקלתי בה, 8 באוגוסט 2011 (IDTובזמן שניסיתי להוכיח אותה עלה בראשי השאלה לגבי שמירת סימן), להוכיח שכל אוטומורפיזם על Sn שולח חילוף אל חילוף. יש לי עוד שאלה נוספת לגבי שאלה שמצאתי, אשמח אם אוכל לשאול אותך זאת::: באי-מייל, מה האי-מייל שלך?

== תרגיל 2 ::זה רשום בדף המשתמש שלי :) - שאלת הבונוס ==-[[משתמש:לואי פולב|לואי]]::: תודה מראש ;)

לגבי שאלת הבונוס, האם הטענה הבאה נכונה: <br>'''''טענה''''': עבור <math>G_{1} \subseteq G_{2} \subseteq ברור שאוטומורפיזם של הצמדה שומר על הסימן (כי הוא שומר על חילופים)... </math> חבורות פשוטותכפי שלואי כתבה, נגדיר <math>G כל אוטומורפיזם של החבורה הסימטרית, פרט למקרה n= \bigcup_{6, הוא פנימי (במקרה n}G_{n} </math>=6 המנה של חבורת האוטומורפיזמים ביחס לפנימיים היא מסדר 2: יש 1440 אוטומורפיזמים, מחציתם פנימיים), ולכן זה פותר את הבעיה - אבל כדי להוכיח את המשפט הזה (שכל האוטומורפיזמים פנימיים) צריך להראות שאין עוד מחלקה בגודל של מחלקת החילופים, וזה דורש קומבינטוריקה לא טריוויאלית.תהי תת חבורה נורמלית <math>H \triangleleft G</math>, השונה מתת החבורה המלאה : אפשר להוכיח את הטענה הכללית (G עצמה כלומרכל אוטומורפיזם שומר על הסימן) ושונה מתת באופן הבא. החילופים צמודים זה לזה; לכן גם התמונות שלהם צמודות זו לזו. אם התמונה של חילוף היתה זוגית, ממילא היו כל התמורות עוברות לתמורות זוגיות, אבל אז ההעתקה אינה על החבורה הטריוויאלית. אזי קיים <math>n_{0} \in \mathbb{N}</math> כך ש לכן התמונה של (כל) חילוף היא אי- <math>H \subset \bigcup_{n=1}^{n_{0}}G_{n}</math>זוגית. מכאן שהזוגיות של התמונה של מכפלת חילופים שווה לזוגיות של המכפלה עצמה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 15:29, 4 באוקטובר 2011 (IST)

תודה מראשבתרגיל 2 שאלה 2 א', חישבו את פי של 102=2*51.כתוב שפי של 51 זה 50 אבל 51=17*3 (לא ראשוני)לכן התשובה בתרגיל צריכה להיות 32 ולא 50

[[משתמש: לאחר מחשבה בנושא: הטענה הזאת לא נכונה... נסו כיוון אחר חופית|חופית]] כמובן, תודה! בשנה הבאה כבר יהיה מתוקן :) --[[משתמש: לואי פולב| לואי]]:: תודה רבה על התשובה המהירה! ;)

==בקשהמתי יעלו פתרונות למבחן? ==אתם יכולים להעלות את הפתרונות של תרגיל 1? תודה מראש.: ''' "כל דבר בא בעתו... כל דבר בא בעתו למי שיודע לחכות" ''' לב טולסטוי, "מלחמה ושלום"

: ובנימה עניינית (כותרת) עובדים על זה! ואגב, זה יהיה הרבה יותרמהיר אם יהיו מתנדבים לכתיבת הפתרונות : נעשה זאת בימים הקרובים =) --[[משתמש: לואי פולב| לואי]]:אם היינו יודעים איך לפתור לא היינו מבקשים פתרונות :P

== 2 שאלות :) אחוז ציון התרגיל ==

-בתרגיל 2 שאלה 4 א'- הכוונה ל Q/Z כחבורה? אם כן- מהי הפעולהבמידע האישי היה כתוב של המשקל של התרגיל הוא 10% למרות שבתחילת הקורס נאמר 15%, האם הטעות הזאת תתוקן?תודה-לגבי הרכבת מחזורים, אם למשל מסתכלים על :(1,2,3'''לא מתרגל''')(1הבעיה כבר תוקנה,3,2) מה בא קודם- הימני או המשאלי- כשהעלו את הציונים של הבחינה. בהזדמנות זאת אומרת למשל 1 עובר ל 3 ואז ל2 ולכן סך הכל 1 עובר ל-2 או ש 1 עובר ל-3 ו3 עובר ל-1 ולכן סך הכל 1 עובר לעצמו? אני רוצה לומר תודהעל זה שהגיעו הציונים תוך פחות משבוע, וחג שמח!