שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים

זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא בדף הראשי של הקורס.

הנחיות

1. כשאתם מתייחסים לתרגיל, אנא צטטו.
2. אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
3. חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "~~~~". פתיחת חשבון - חינם.
4. אם אינכם מקבלים כאן תשובה בתוך זמן קצר (הגדירו כרצונכם), אתם מוזמנים לשלוח קישור למרצה.

ארכיונים

• ארכיון 1

תרגיל 8 שאלה 3

האם יש קשר בין הסעיפים? כלומר, האם אני יכולה להיעזר בסעיף שהוכחתי?

מותר להיעזר בסעיפים שהוכחת. --מני 16:50, 19 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל8, על שאלות 1 ו2

1. לגבי "...מכילה שני איברים.", האם בדיוק שניים?

2. יכול להיות שהנתון $|G|=p^k$ מיותר, או יותר מדויק, שבעצם חשוב רק הנתון $|H|=p$?

תודה

• 1. כן, היא מכילה בדיוק שני איברים.
• 2. לא, הנתון הזה חיוני. נראה לי שאפשר להחליש אותו קצת (אולי לומר ש-P הוא הראשוני הקטן ביותר שמחלק את סדר החבורה... נראה לי שזה יעבוד) אבל אי אפשר להסתפק רק בנתון ש- $|H|=p$...נסו למצוא דוגמא נגדית כאשר משמיטים את הדרישה על סדר החבורה... :) --לואי 18:28, 22 בדצמבר 2012 (IST)

פתרונות לתרגילים 6- 7

היי אשמח אם תעלו פתרונות לתרגילים(:

שאלה מהתרגול

בתרגול האחרון היה להראות ש Aut של s4 איזומרפי ל-S4. האם יש אפשרות להסביר שוב מה עשינו שם?

הראינו תחילה שחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים איזומורפית ל$S_4$. אח"כ ראינו שאין עוד אוטומורפיזמים. כלומר כל האוטומורפיזמים היו אוטו' פנימיים. את זה עשינו ע"י כך שהראינו שיש לכל היותר 24 אוטומורפיזמים (המספר 24 הוא בדיוק הסדר של $S_4$. זה אומר שחבורת האוטומורפיזמים מתלכדת עם תת החבורה של האוטו' הפנימיים והיא איזו' ל$S_4$. החסימה מלמעלה ע"י 24 בוצעה ע"י העובדות הבאות:1. אם נתון אוטומורפיזם אז כל הערכים שלו נקבעים בצורה יחידה ע"י הערכים על קבוצת יוצרים.

2. איזו' שומר על סדר של איברים, מעביר מחלקת צמידות למחלקת צמידות מאותו הגודל ושומר על יחסים כגון:איברים מתחלפים עוברים לאיברים מתחלפים. --מני 16:34, 27 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 9 שאלה 5

זהו את החבורה $Aut \ (GL_n(\Z_7)/SL_n(\Z_7))$ לכל $n>0$

מה הכוונה זהו? למצוא את האיברים (או היוצרים) של חבורה זו? למצוא חבורה שהיא איזומורפית אליה?

למצוא חבורה איזומורפית. --מני 17:55, 27 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 10 שאלה 4

הפעולה במקרה הזה היא הפעולה הרגילה של מכפלה ישרה למחצה חיצונית?

כן. --מני 21:39, 31 בדצמבר 2012 (IST)

אני לא ממש מבינה איך הפעולה מוגדרת כאן. למשל בתרגול האחרון הגדרנו ממש 1=X0=id,X1 X=תטא. אבל כאן אני לא מבינה מה הפעולה עושה. אשמח לקבל הסבר יותר מפורט(:

לא הגדרנו בשאלה $\theta$ ספציפית, בניגוד לתרגול, שהרי הטענה היא לכל $\theta$.

אבל לכל $\theta$ שהיא הומורפיזם כפי שצויין בשאלה המכפלה הישרה למחצה מוגדרת היטב והיא כמובן תלויה ב $\theta$. הכפל הוא תמיד:$(k,q)(k',q')=(k\theta_q(k'),qq')$

תיאורטית כל פעם שבוחרים $\theta$ אחרת מקבלים חבורה אחרת. בפועל מקבלים תמיד (וזוהי השאלה שצריך לפתור) חבורה שאיזומורפית לאחת משתי החבורות שצויינו בתרגיל.

שני כיוונים לפתרון: כיוון ממש לא מומלץ אבל אפשרי- למצוא ממש את כל ה$\theta$ האפשריות ואז לפתור. כיוון שני- להראות איכשהו שבלי תלות ב $\theta$ אלא רק מעצם העובדה שהיא הומומורפיזם אפשר להסיק שהחבורה שנוצרת בסוף איזו' לאחת משתי החבורות שצויינו.--מני 14:14, 1 בינואר 2013 (IST)

סליחה על החפירה(: יש אפשרות להגיד שבגלל שההומומורפיזם שולח את Z2 ל- Z2*Z2)Au) אז למעשה Z2 נשלח לחבורה שאיזומורפית לחבורה לא אבלית ולכן המכפלה הישרה למחצה החיצונית לא תהיה אבלית?

אין שום בעיה. המטרה בפורום היא לשאול שאלות. הלוואי שיותר אנשים היו מנצלים אותו:).

לעצם השאלה- זה נכון שחבורת האוטומורפיזמים שהזכרת אינה אבלית אבל מזה לא נובע שהמכפלה הישרה למחצה (חיצונית) תהיה לא אבלית.אחת מהאופציות יוצאת בסופו של דבר חבורה אבלית. אנחנו אומרים שיש אפשרות שהחבורה שנוצרת איזומורפית ל$\mathbb{Z}_2^3$ שהיא אבלית והאמת שהאפשרות הזו כן יכולה להתממש --מני 11:26, 2 בינואר 2013 (IST)

תרגיל9, שאלת בונוס

על סעיף ב: נדמה לי שהשאלה לא מדויקת מספיק, כי עבור $G=\{1_G\}$ זה נראה לא נכון.

נראה לי שפספסת את התיקון שהוספנו (מופיע מחוץ לקובץ)--מני 22:21, 31 בדצמבר 2012 (IST)

תודה

תרגיל 10 -שאלה 1 ושאלה 2

שאלה 1 -א. האם ניתן להיעזר בטענות מבדידה? או יש דרך אחרת? שאלה2- א. האם בסגירות ואסוציאטיביות אפשר להגיד שבגלל ש-Q ו K חבורות אז אנחנו מקבלים את התכונות בתורשה?

לגבי 1 א התשובה חיובית. אפשר פשוט לציין מהן הטענות שהוכחתם בבדידה מבלי להוכיח אותן כאן.

לגבי 2 א- התשובה שלילית. תורשה זו מילה שמאפיינת תכונה שעוברת ממבנה לתת מבנה לעיתים יש להוכיח אותה ולעיתים היא מתקבלת מיידית. למשל במעבר מחבורה לתת חבורה. זה לא המצב כאן. גם את הסגירות וגם את האסוציאיטיבות יש להוכיח. הסגירות די קלה ומהירה והאסוציאטיביות מייגעת. --מני 14:24, 1 בינואר 2013 (IST)

תרגיל 8

אשמח אם תעלו פתרון לתרגיל 8(:

תרגיל 10 שאלה 1 סעיף ב

בהינתן נתוני השאלה, בטוח שהטענה $G=Ker(\psi) \rtimes Im(\phi)$ נכונה תמיד? כלומר, גם עבור המקרה שהחבורות לא סופיות?

כן, הטענה נכונה גם לחבורות אינסופיות. --לואי 18:49, 3 בינואר 2013 (IST)

אפשר הכוונה לאיך מוכיחים כי G=ker*im ? האם צריך להראות הכלה דו כיוונית או שמה צריך להראות קיום הצגה? אני לא מצליח להראות שאם g, איבר כלשהו ב G, לא בגרעין של פסיי אזי הוא בהכרח בתמונת פי. אפשר עזרה בנידון?

הכלה אחת יש לך תמיד. צריך להראות רק הכלה אחת. אני מציע לעשות משהו מאד דומה למה שעשינו בליניארית בשנה שעברה בתרגילים דומים.

אפשר לנסות ללכת הפוך להניח ש$g=hk$ כאשר $h$ בגרעין ו$k$ בתמונה. אפשר מייד לפרש מה זה אומר להיות בתמונה. אח"כ אפשר לנסות איכשהו להשתמש בנתון כדי לקבל מה צריך להיות $h$ או $k$ (אני לא זוכר מה מהם) ואז מבינים גם מהו השני. בשלב הזה מראים שאם היה פירוק אז זאת היתה הצורה שלו. עכשיו צריך לבדוק שאכן זהו הפירוק הדרוש .--מני 16:05, 6 בינואר 2013 (IST)

תרגיל10, שאלה4

תיקון אפשרי: נתקלתי בעוד אפשרות, ומצאתי דוגמה, למקרה שיש איזומורפיות ל$\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_2$. תודה.

אנא צטטו את השאלה שאליה אתם מתייחסים.

זה בלתי אפשרי משתי סיבות. ראשית, אם המכפלה הישרה למחצה של Q ב-K היא אבלית, אז גם Q וגם K אבליות, וגם הפעולה מוכרחה להיות טריוויאלית. אבל במקרה כזה המכפלה הישרה למחצה היא בעצם מכפלה ישרה, ולכן שווה ל-$\,K\times Q = \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$.

שנית, גם K וגם Q הן תת-חבורות של המכפלה הישרה למחצה, והן זרות שם. לכן יש בה לפחות 3+1=4 אברים מסדר 2. אבל בחבורה $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_2$ יש רק 3 אברים מסדר 2 (וארבעה מסדר 4: $\,(1,0),(1,1),(3,0),(3,1)$). עוזי ו. 22:18, 5 בינואר 2013 (IST)

אפשר בבקשה לפרסם פתרונות לתרגיל מס'10?

וגם 9.. תודה!:)

כמובן! ברגע שהגמדים שלנו יסיימו לכתוב אותם...--לואי 01:00, 11 בינואר 2013 (IST)

תרגיל 12 שאלה 1 (א)

האם צריך לבוא משהו אחרי הנקודתיים?

כן... :) תכף יתוקן...--לואי 22:21, 16 בינואר 2013 (IST)

דוגמה נגדית - כל מונואיד קומוטטיבי עם צמצום משאל הוא חבורה

בתרגול נתתם את הדוגמה-(כפל,N)- לא מובן לי הצמצום משמאל בדוגמה הנ"ל, אשמח לקבל הסבר.

בדוגמה זו אם $ab=ac$ אז $b=c$ לכן מתקיים צמצום משמאל וזה כמובן מונואיד קומוטטיבי אבל המבנה אינו חבורה כי למעשה פרט ל1 אף איבר לא הפיך. --מני 19:24, 21 בינואר 2013 (IST)

אופן חישוב ציון התרגילים הסופי

תודה על ההעלאה המהירה של הציונים לאתר, אבל אופן החישוב שגוי, חישבתם בדף המצורף את הממוצע של 11 התרגילים, ולא תשעת הטובים.

שאלות לקראת המבחן

1. האם חבורת קליין='A4 ?

2. הראה ששוויון המחלקות של החבורה הדיהדרלית D6 הוא- 2+3+3+2+2. ברור לי שהמרכז הוא מגודל 2. ושיש לי עוד שתי מחלקות צמידות מגודל 2 (2^2). מה ההסבר לגבי שתי המחלקות מגודל 3?

3.מצא את כל החבורות שיש להן בדיוק 2 מחלקות צמידות. למשל S3 נכון?

4. שאלה שהופיעה במבחן- מיין את החבורות האבליות A מסדר 5^2*5^3 כך ש-A/A^3=3^4 ו- 4^2=A/A^4 איך ניגשים לשאלה כזאת?

תודה(:

תשובות:

1. כן.

2. ההסבר הוא שמסתכלים על האיברים שנותרו (לא הרבה) ורואים שזה אכן מה שקורה.

3. לא, כי ב-$S_3$ יש 3 מחלקות צמידות.

4. מאוד דומה למה שעשינו בכיתה. שימו לב שהחבורה הכללית ביותר (האבלית) מסדר זה היא מהצורה $\mathbb{Z}_3 \times... \mathbb{Z}_{3^2} \times...\times \mathbb{Z}_{3^5} \times \mathbb{Z}_2 \times... \mathbb{Z}_{2^2} \times...\times \mathbb{Z}_{2^5}$

ובהתחלה מספר העותקים של כל אחד מהנ"ל לא ידוע. כעת, שימו לב ש- $A^4$ זה בעצם $4A$ והיעזרו בתרגיל דומה שפתרנו בכיתה. --לואי 19:26, 24 בינואר 2013 (IST)

בהמשך לשאלה 4, זה ממש כמו שעשינו בתרגול? שהיינו צריכים למצוא את ה-n-ים בסוף? עובדים על כל הפירוק ביחד או מחלקים לפירוק של שתיים ולפירוק של שלוש?

שאלות ממבחנים

1. קבע האם החבורות איזומורפיות או שאינן איזומורפיות :

א. המרכז (c)של (34)(12) ו Z4*Z2

ב. Z3*Z4 ותת החבורה הנוצרת על ידי האברים (2,20)ו (9,10) של Z12*Z40

2. הראה שהתמורות (456)(123) ו(654)(123) צמודות ב-A6.

3. תן דוגמה-

א. אוטומורפיזם שאינו פנימי

ב. אוטומורפיזם של תת-חבורה, שאינו צמצום אוטומורפיזם של החבורה.

תודה(:

1. א. מדובר על המרכז של (12)(34) בחבורה הסימטרית S_4. המרכז נוצר על-ידי (12), (34) וחבורת הארבעה של קליין, והוא איזומורפי ל-D_4 כפי שראינו כמה פעמים.

1. ב. תת-החבורה הזו נוצרת גם על ידי (2,20) ו-(1,10), ולכן נוצרת על-ידי (1,10) שהוא אכן איבר מסדר 12. לכן החבורות איזומורפיות.

2. יש להצמיד את (123)(456) ו- (654)(123).

3. א. כל אוטומורפיזם של חבורה אבלית, אינו פנימי; תנו לזה דוגמא קונקרטית.

3. ב. קחו למשל את תת-החבורה <a^2,b> של החבורה <a,b|a^4=b^2=[a,b]=1> (אבלית מסדר 8). לתת-החבורה יש אוטומורפיזם המחליף את a^2 ו-b, אבל אין אוטומורפיזם של החבורה כולה שעושה דבר כזה, משום ש-a^2 הוא ריבוע של איבר בחבורה, ואילו b אינו ריבוע של אף איבר. עוזי ו. 21:42, 27 בינואר 2013 (IST)