שיחה:88-212 תשעב סמסטר ב/תרגילים

זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא בדף הראשי של הקורס.

הנחיות

1. כשאתם מתייחסים לתרגיל, אנא צטטו.
2. אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
3. חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "~~~~. פתיחת חשבון - חינם.

שאלות

תרגיל 1

ההגדרות בהרצאה ובתרגול היו קצת שונות. כשכתוב בשיעורי בית חוג- הכוונה שיש יחידה או שלא בהכרח? Tomer Yogev 23:34, 21 במרץ 2012 (IST)

בתרגיל הבית הכוונה לחוג לאו דוקא עם יחידה. השאלה האחרונה הייתה חסרת משמעות אחרת. בשאלה 2, אם קבעתם שהחוג הוא חוג עם יחידה אז אמרו מהי היחידה, ואם קבעתם שהחוג הוא בלי יחידה אז פשוט אימרו זאת. Adam Chapman 12:00, 25 במרץ 2012 (IST)

תרגיל 1 שאלה 2

מי זה בדיוק A וB? למי הם שייכים?

מדובר באברים כלליים בקבוצה המועמדת להיות חוג, ונועדו להדגים את הפעולות שמועמדות להיות החיבור והכפל בחוג (אם זהו אכן חוג).

תרגיל 1 שאלה 5

אפשר להסביר מי זה Z3 x Z4? אני לא מצליחה להבין מה יש בחוג הזה. תודה!

Zn הוא חוג השאריות מודולו n. המספרים הם בין 0 לְ-n-1 והחיבור והכפל 'כרגיל', רק מודולו n.

המכפלה של חוגים - כפי שהוגדרה בהרצאה (הקבוצה היא המכפלה הקרטזית, הפעולות נעשות אבר-אבר).

פורמלית, זה חוג המנה Z/nZ.

אבל אם אני אכפיל 2X3 אז למה זה שווה? באיזה מודולו אני משתמשת? 3, 4, 12?

זה זוגות סדורים. (2,3) זה פשוט (2,3).

הפעולות נעשות אבר־אבר. הרכיב השמאלי מחושב מודולו 3 ואִלו הימני - מודולו 4.

תרגיל 2 שאלה 6

האם הכוונה להומומורפיזם יוניטרי? אם לא אז תמיד קיים הומומורפיזם האפס. אם כן, האם במקרה של הפרכה מספיק להראות מקרה שבו לא קיים הומומורפיזם או שצריך להראות שבאף מקרה לא קיים (אם זה בכלל המצב)?

הכוונה להומומורפיזם לאו דוקא יוניטרי שאינו הומומורפיזם האפס. אם המצב הוא שבאף מקרה לא קיים אז צריך לרשום זאת ולהסביר למה. אני מעלה עכשיו תיקון.Adam Chapman 18:18, 5 באפריל 2012 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 4ב'

יכול להיות שהכוונה היא שC מוכלת בX ולא בP(X)?

אמת. אני מעלה תיקון.Adam Chapman 18:21, 5 באפריל 2012 (IDT)

שאלה (מצטער על הבורות): מה ההגדרה של חבורה חיבורית ותת חבורה חיבורית? תודה וחג שמח!!!

כזכור, החוג הוא מבנה הכולל קבוצה ('תשתית') ושני סמלי פונקציה, 'חבור' ו'כפל', כך שלגבי פעולת החבור מדובר בחבורה אבלית [ולגבי הכפל מדובר במונואיד (אם בלי יחידה, אגודה) ה'מודבק' בעזרת פלוג על החבור]. חבורה זו נקראת 'החבורה החבורית' של אותו חוג. בהתאמה, תת-קבוצה של התשתית, או של 'קבוצת החוג' (יש בעיה לומר 'תת קבוצה של חוג' כי החוג איננו קבוצה) המהווה תת-חבורה לגבי החבור של החבורה החבורית של החוג, תקרא תת-חבורה חבורית.

אידיאלים בחוג הפולינומים בשני משתנים

שאלה. "בהרצאה האחרונה הזכרת את החוג $\mathbb{C}[X,Y]$ שבו יש פולינומים עם שני משתנים כאשר המקדמים שייכים לשדה המספרים המרוכבים. האם תוכל לומר לי בבקשה כיצד נראים איברי חוג המנה של החוג הזה מעל האידיאל <x^2+y^2-1>?

תשובה. פורמלית זו שאלה די קלה. $\ \mathbb{C}[X,Y] = \mathbb[X][Y]$, כלומר, חוג הפולינומים במשתנה Y, שהמקדמים שלהם בעצמם פולינומים במשתנה X. חוג המנה הוא ביחס לאידיאל הנוצר על-ידי $\ Y^2+(X^2-1)$, כלומר, בחוג המנה מתקיים השוויון $\ Y^2 = 1-X^2$, ולכן אפשר להמיר כל חזקה זוגית של Y בפולינום ב-X, וכל חזקה אי-זוגית בכפולה של Y בפולינום כזה. לכן אפשר לכתוב כל איבר בחוג המנה (באופן יחיד) בצורה $\ f+gY$ כאשר f,g פולינומים ב-X, והכפל הוא באופן המובן מאליו, עם החוק הנוסף $\ Y^2 = 1-X^2$.

אבל השאלה הנכונה היא לא "איך נראים האיברים", אלא מהו החוג. האם החוג הזה הוא תחום שלמות? שדה? נראה שהוא תחום שלמות אבל אינו שדה.

בחוגי פולינומים *מעל שדה* קל לטפל (כפי שעוד נלמד בהמשך), וגם במקרה שלנו כדאי להתחיל את התשובה בהכלה $\ \mathbb{C}[X][Y] \subset \mathbb{C}(X)[Y]$. היתרון הוא שעכשיו מדובר בפולינומים ב-Y, עם מקדמים מה*שדה* של הפונקציות הרציונליות ב-X. הפולינום שלנו אי-פריק מעל השדה הזה (אין לו שורשים שם: $\ \sqrt{1-X^2}$ אינו פולינום), ולכן המנה $\ \mathbb{C}(X)[Y]/\langle Y^2+X^2-1\rangle$ היא שדה. מכיוון שחוג המנה $\ \mathbb{C}[X,Y]/\langle Y^2+X^2-1\rangle$ מוכל בחוג הקודם, הוא תחום שלמות, ולכן האידיאל שלנו ראשוני. אבל המנה אינה שדה, משום שהאידיאל הזה אינו מקסימלי: הוא מוכל למשל באידיאל המקסימלי $\ \langle X, Y-1\rangle$ או ב-$\ \langle X-1, Y\rangle$ (ובאינסוף אידיאלים מקסימליים אחרים). עוזי ו. 23:24, 21 באפריל 2012 (IDT)

שאלה על חוגים בלי יחידה

נניח ש-R חוג קומוטטיבי. כידוע, אידיאל הוא תת-חבורה הסופגת כפל מבחוץ. כלומר, היא צריכה להיות סגורה לחיבור, לפעולת הנגדי, ולכפל מבחוץ. מכיוון שלחוג יש איבר יחידה, הסגירות לכפל מבחוץ גוררת את הנגדי: $\ -a = (-1)\cdot a$.

אני מחפש דוגמא נגדית לטענה דומה עבור חוגים בלי יחידה. כלומר, מבוקשים חוג בלי יחידה R ותת-קבוצה לא ריקה I, הסגורה לחיבור ולכפל מבחוץ, אבל אינה אידיאל (משום שיש בה איבר a שהנגדי לו אינו ב-I). עוזי ו. 23:59, 21 באפריל 2012 (IDT)

Z עם כפל טריוויאלי: a*b=0 לכל a,b. לקחת בתור התת קבוצה את הטבעיים עם 0?

ובכן, במקרה זה, זהו חוג קצת 'מנוון'. כדי לפתור את הבעיה נוכל לכפול את החוג הזה בחוג אחר (נאמר חוג השלמים), ולקחת את תת הקבוצה של הטבעיים עם 0 כפול {0}.

תרגיל 5 שאלה 2

למה נדרש התיקון שהחוג קומוטטיבי? האם הטענה אינה נכונה לכל חוג כללי? הרי תמיד מתקיים ש- I*J מוכל ב- I חיתוך J לכל שני אידיאלים דו צדדיים. --Sagiv 16:50, 4 במאי 2012 (IDT)

זה נכון. אפשר להוכיח זאת גם במקרה הלא קומוטטיבי. היה נדמה לי לרגע שזה יקל להגביל את השאלה לחוגים קומוטטיביים, אך במחשבה שניה זה לא היה חיוני.Adam Chapman 00:02, 16 במאי 2012 (IDT)

שאלה מההרצאה

כתבנו בהרצאה שבחוג z[sqrt(-6)] qq אין איברים עם נורמה 2+-, 3+-, ולכן האיברים 2,3,sqrt(-6) הם אי פריקים.. לא הבנתי ממש איך הגענו לזה, ואיך נובע מכך שהאיברים הם אי פריקים. תודה מראש :)

נורמה של אבר כללי בחוג המתואר היא מהצורה a^2+6b^2. רואים שלא יכול להתקבל כאן ערך שהוא 2+- או 3+- (כי b חייב להיות אפס, ושורש 2 ושורש 3 אינם שלמים). מכאן שכל פרוק של 2, למשל, המקבל נורמה 4, יהיה טריוויאלי (כי אחד המחלקים של 4 יהיה יחידה בחוג השלמים). באופן דומה עבור 3 ועבור 6-.

---

שאלה: אמנם בכיתה לא התייחסנו למקרה הזה כי לא הוא מעניין, אבל האם איבר הפיך נחשב אי פריק?

לפי הגדרה 3.2.22 בחוברת של פרופ' וישנה בגרסת 1 במרץ, אבר אי פריק הוא בראש ובראשונה שונה מאפס ולא הפיך.

בתרגיל 7, שאלה 2

יש להוסיף כי D איננו 1 וחפשי מרבועים (אלא אם כן זה אפריורי).

זה נכון. למען האמת, מספיק להניח ש$d$ איננו ריבוע של מספר שלם (כי אחרת החוג שמדובר בו איננו תחום כלל). זה לא אמור לשחק תפקיד בשום מקום בפיתרון.Adam Chapman 23:54, 15 במאי 2012 (IDT)

נשים לב גם ש-1 עצמו הוא רבוע של שלם ושקול לעצמו מודולו 4, אך יוצר UFD. בפרט, חייבים להשתמש בנתון זה.

שאלה מההרצאה האחרונה (עם אדם)

כשרצינו להוכיח שעבור איבר P ראשוני טבעי, אם יש איבר X בz[i] כך שהנורמה שלו היא P - זה גורר שp לא ראשוני בz[i], אמרנו שp שווה למכפלה של X בצמוד שלו, ולכן P פריק. למה זה אומר שP פריק? מי אמר שX או הצמוד שלו לא הפיכים?

אם הנורמה של x היא p, היא לא הפיכה ולכן x איננו הפיך (כמו כן, הנורמה של x שווה לנורמת הצמוד לו).

תרגיל בית מספר 8, שאלה 2

הפולינום הנתון פריק מעל הרציונליים, ולכן איננו אי פריק מעליהם. אמנם, הוא אי פריק לגורמים לינאריים מעל הרציונליים, אך אין בכך כדי לומר שהוא אי פריק שם.

אכן יש בעיה עם השאלה. תודה. נעלה תיקון בימים הקרובים. Adam Chapman 00:10, 16 במאי 2012 (IDT)

הבעיה תוקנה.Adam Chapman 15:04, 18 במאי 2012 (IDT)

תרגיל בית מספר 7, שאלה 1

האם בסעיף ג' - S בעצמו הוא גם תחום שלמות? וגם - בשאלה 3, האם מספיק להראות שאגף ימין היא לא מכפלה של איברים אי פריקים? ולכן זה לא סותר את זה שהפירוק אינו יחיד..

בקשר לשאלה 1, התשובה היא כן. בקשר לשאלה 3, זהו צעד חשוב בתשובה אבל לא מספיק. צריך להראות שכאשר מפרקים כמו שצריך בצד שמאל לאיברים אי-פריקים, אז מקבלים את אותו הפירוק כמו בצד ימין.Adam Chapman 16:53, 16 במאי 2012 (IDT)

תודה. והאם בשאלה 4 צריך להראות ממש שהאיברים לא מתחלקים בזה בזה? (יש שם 4 עם אותה נורמה, אז עבור ארבעתם צריך להראות בעזרת עבודה שחורה?)

זאת לא עבודה קשה במיוחד. ישנה העובדה ש$a|b$ אם ורק אם $a^{-1} b$ נמצא בחוג כאשר המכפלה מחושבת בשדה השברים. במקרה שלנו לחשב את ההפכי של מספר זה פשוט הצמוד שלו חלקי הנורמה. זה לא יותר משורה לדעתי לכל זוג, ויש גם נימוק שאפשר להשתמש בו על מדוע כאשר בודקים שני מספרים מאותה נורמה מספיק להראות שאחד לא מתחלק בשני.Adam Chapman 15:10, 18 במאי 2012 (IDT)

לגבי הערה מהאתר

אפשר בבקשה להסביר למה הכוונה בהערה האחרונה שפורסמה באתר לגבי תרגיל מספר 7, שאלה 1?

הוסבר בתרגול האחרון עם אדם - אי פריק 'באמת' הוא אבר שאין לו פרוק 'אמתי', כלומר, כזה שחזק גם בשדה השברים.

הכוונה שלי היא לא להתבלבל עם ההגדרה של אי פריק "באמת". בתרגיל הבית, איבר אי פריק ב$R[x]$ הוא איבר פשוט איבר אי פריק ב$R[x]$, ולא שום דבר מעבר לזה (לא בשדה השברים ולא כלום). קיוויתי שזה יחסוך בלבול אך נראה לי שרק הגברתי את הבעיה. תשכחו מהעניין של אי-פריק "באמת" כשאתם עונים על תרגיל הבית הזה.Adam Chapman 15:06, 24 במאי 2012 (IDT)

שאלה

בהרצאה אמרנו (בהוכחה שאם R תחום פריקות יחידה אז גם R[x] תחום פריקות יחידה) שאם f פולינום אי פריק בR[x] אז בפרט f פרימיטיבי. למה זה?

אחרת, כל המונומים שלו היו מתחלקים בראשוני כלשהו p, ומכאן הפרוק - הפולינום שווה לְ־p כפול מה שנשאר. הפרוק אמתי כי p ראשוני ולכן לא הפיך, ומצד שני מניחים שדרגת הפולינום גדולה מאפס, ולכן p והפולינום אינם חברים.

אבל לא מדובר על פירוק מעל שדה השברים? "מה שנשאר" שייך לשדה השברים. (כמו למשל שיש משפט שf|g מעל R אם ורק אם התכולות מתחלקות וגם f^|g^ אבל מעל שדה השברים.)

"מה שנשאר" הוא פולינום. מעל שדה השברים הסקלרים (ובפרט p) הופכים להפיכים. מכל מקום, אנחנו השתמשנו בעובדה זו על מנת להראות שכל אי פריק מעל [R[x הוא ראשוני שם. איך מתגנב לכאן שדה השברים? יודעים שחוג הפולינומים מעל שדה הוא UFD, ויודעים שאם פולינום הוא אי פריק (ופרימיטיבי) מעל חוג UFD, הוא אי פריק מעל שדה השברים (זהו אחד מהנסחים של הלמה של גאוס שבאים לפני המשפט שבו אנחנו דנים). כעת, חוג הפולינומים מעל שדה השברים הוא UFD ולכן האי פריקות מתרגמת שם לראשוניות, שאותה, בתורה, נתן לתרגם שוב לראשוניות מעל [R[x (וכאן שוב משתמשים בפרימיטיביות של הפולינום).

שאלה

למה מודול מעל F[x]/<x^3> הוא מ"ו + אופרטור T כך שT^3=0? איבר כללי שם הוא מהצורה a+bx+cx^2, אך מה קורה עם T^3 של האיבר החופשי (a)? למה זה מתאפס?

כי להפעיל את T זה כמו להכפיל בx