שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שיחה:89-214 סמסטר א' תשעא

הוסרו 2 בתים, 22:05, 23 בפברואר 2011
/* שאלה 4 במבחן לדוגמא . */
: הפתרון הוא לעשות רק מה שמוכרחים. בסעיף הראשון רוצים להגדיר העתקה מ-<math>\ (H\cap C)/(B\cap C)</math> אל <math>\ H/B</math>. כל איבר במקור הוא קוסט <math>\ x(B\cap C)</math>, כאשר <math>\ x\in H \cap C</math>. יש לשלוח את הקוסט הזה אל קוסט של B, עם נציג מ-H. אבל רגע, <math>\ x\in H</math> לפי ההנחה, אז למה שלא נשלח <math>\ x(B \cap C) \mapsto xB</math>? זה מוגדר היטב כי הנציג שייך למקום הנכון, והגרעין של הקוסטים במקור (<math>\ B\cap C</math>) מוכל בגרעין של הקוסטים בתמונה (<math>\ B</math>); כלומר, החלפת הנציג לא תשנה את התוצאה. יותר מזה, הפונקציה היא חד-חד-ערכית כי אם <math>\ xB=B</math> אז <math>\ x\in H\cap B</math> ולכן הקוסט המקורי טריוויאלי.
: הסעיף השני דומה. צריך להגדיר העתקה <math>\ H/B\rightarrow HC/BC</math>. שוב, נשלח <math>\ xB \mapsto xBC</math>. זה מוגדר היטב מאותן סיבות, ועל כי אפשר לכסות כל קוסט <math>\ hcBC=hBC</math> על-ידי <math>\ hB</math>.
: התמונה של ההעתקה הראשונה היא <math>\ \{xB : x\in H\cap C\} = ((H \cap C) B)/B</math>, והגרעין של השניה הוא <math>\ \set{xB : x\in H, xBC=BC\} = (H \cap CB)/B</math>. השניים שווים כי <math>\ H \cap B\cdot C = (H \cap B) \cdot C</math>; זו המודולריות של סריג תת-החבורות.
: אפשר לראות את כל זה די בקלות אם מציירים את הסריג, ומפעילים את משפט האיזומורפיזם השני כדי להגיד ש-<math>\ (H\cap C)/(B\cap C) \cong (H\cap C)B /B \leq H/B</math> ו- <math>\ HC/BC \cong H/(H\cap CB) \twoheadleftarrow H/B</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 00:05, 24 בפברואר 2011 (IST)