https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&feed=atom&action=historyשיחה:89-214 סמסטר א' תשעב/תקצירים - היסטוריית גרסאות2024-03-29T04:46:05Zהיסטוריית הגרסאות של הדף הזה בוויקיMediaWiki 1.25alphahttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=19224&oldid=prevעוזי ו.: שדות סופיים2012-02-01T18:03:49Z<p>שדות סופיים</p>
<table class='diff diff-contentalign-right'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">גרסה מ־18:03, 1 בפברואר 2012</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 24:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 24:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''סיכום'''. מספר חיובי הוא מחלק משותף מקסימלי של a ו-b אם ורק אם הוא מחלק משותף גדול ביותר שלהם. את המחלק המשותף המשותף הזה, מסמנים <math>\ d = (a,b)</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 17:06, 1 בנובמבר 2011 (IST)</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''סיכום'''. מספר חיובי הוא מחלק משותף מקסימלי של a ו-b אם ורק אם הוא מחלק משותף גדול ביותר שלהם. את המחלק המשותף המשותף הזה, מסמנים <math>\ d = (a,b)</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 17:06, 1 בנובמבר 2011 (IST)</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">== בניית שדה מסדר q ==</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">* '''בעיה'''. נניח ש- <math>\ q = p^n</math> היא חזקה של ראשוני p. בנה שדה בן q אברים.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">'''הערה 1'''. הפתרון התאורטי שהוצג בשעור פשוט להפליא: בחר שדה המפצל את הפולינום <math>\ x^q-x</math> מעל השדה <math>\ \mathbb{Z}_p</math>; אוסף השורשים של הפולינום בשדה זה הוא שדה מסדר q. עם זאת, בניית שדה מפצל באופן מפורש דורשת עבודה רבה, ורצוי להכיר גם בניות מפורשות יותר.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">'''הערה 2'''. הראינו בכתה שאם f פולינום אי-פריק ממעלה n מעל <math>\ \mathbb{Z}_p</math>, אז "חוג המנה" <math>\ \mathbb{Z}_p[x]/\mathbb{Z}_p[x]f(x)</math>, הוא שדה מסדר q. האברים של חוג המנה הזה הם הקוסטים של כל הפולינומים ממעלה קטנה מ-n. כלומר, צירופים ליניאריים של <math>\ \bar{1}, \bar{x}, \bar{x}^2, \dots, \bar{x}^{n-1}</math>, כאשר <math>\ \bar{x}</math> הוא סימון מקוצר לקוסט <math>\ x+\mathbb{Z}_p[x]f(x)</math>. בין הקוסטים האלה יש פעולות של חיבור וכפל מודולו f, המבוצעות על-ידי חיבור וכפל הנציגים, ומעבר לשארית בחלוקה ל-f במקרה הצורך. זוהי, אם כך, בניה מפורשת להפליא: ברגע שנדע מהו הפולינום f, נוכל לכתוב את לוח החיבור והכפל של השדה מסדר q בקלות רבה.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">'''הערה 3'''. אמרנו (ולא הוכחנו) שיש שדה יחיד מכל סדר אפשרי q. מכאן שאם f,g שניהם פולינומים אי-פריקים ממעלה n מעל השדה מסדר p, אז השדות <math>\ \mathbb{Z}_p[x]/\mathbb{Z}_p[x]f(x)</math> ו- <math>\ \mathbb{Z}_p[x]/\mathbb{Z}_p[x]g(x)</math> איזומורפיים (כלומר, יש התאמה חד-חד-ערכית ועל ביניהם, השומרת על החיבור והכפל). שימו לב שהעתקה זו *אינה* מעבירה את הקוסט של x אל הקוסט של x.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">'''למה''' (שלא הוכחנו): מעל כל שדה סופי, קיים פולינום אי-פריק מכל מעלה. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">הלמה אינה *מספקת* פולינום כזה, אבל היא מבטיחה שהוא קיים - וכך יוצאים למסע החיפושים בלב קל ובוטח.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">'''פתרון'''. כדי למצוא שדה מסדר q, כל שעלינו לעשות בעקבות הערה 2 (והלמה) הוא למצוא פולינום אי-פריק ממעלה n מעל השדה מסדר p. אפשר למצוא פולינום כזה בדרכים שונות. למשל, וריאציה על "הנפה של ארטוסתנס" - לאחר שעורכים רשימה של כל הפולינומים ממעלה עד n, פוסלים בזה אחר זה את כל הכפולות של הפולינומים מן הרשימה. פולינום שלא נמחק, חזקה עליו שיהיה אי-פריק. הלמה מבטיחה שתהליך זה יושלם בהצלחה.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">'''דוגמא'''. נמצא את כל הפולינומים האי-פריקים ממעלה 3 מעל השדה בגודל 2. יש רק שני פולינומים ממעלה 1, ארבעה ממעלה 2, ושמונה ממעלה 3. לאחר שמוחקים מרשימת שמונה הפולינומים ממעלה 3 את ארבע הכפולות של x ואת ארבע הכפולות של x+1, נותרים בדיוק שניים (מדוע): <math>\ x^3+x+1, x^3+x^2+1</math>. לכן <math>\ \mathbb{Z}_2[x]/\mathbb{Z}_2[x](x^3+x+1)</math> הוא שדה מסדר 8. (כדי לבדוק שהבנתם את השדה, חשבו למשל את כל החזקות של x).</ins></div></td></tr>
</table>עוזי ו.https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=15494&oldid=prevעוזי ו.: /* שעור ראשון */2011-11-01T15:08:24Z<p><span dir="auto"><span class="autocomment">שעור ראשון</span></span></p>
<table class='diff diff-contentalign-right'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">גרסה מ־15:08, 1 בנובמבר 2011</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 13:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 13:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>ההגדרה הראשונה אינה תלויה בסימן (כלומר, אם d מקיים אותה, גם d- מקיים אותה). בהגדרה השניה d תמיד חיובי.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>ההגדרה הראשונה אינה תלויה בסימן (כלומר, אם d מקיים אותה, גם d- מקיים אותה). בהגדרה השניה d תמיד חיובי.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>אם מספר חיובי מקיים את ההגדרה הראשונה, אז הוא בוודאי מקיים את ההגדרה השניה (משום שכל מחלק משותף של a ו-b מחלק אותו). ההגדרה הראשונה "נקיה" יותר, אבל לשניה יש יתרון ברור: קל מאד להוכיח שהמחלק המשותף הגדול ביותר תמיד קיים (אלא אם a=b=0).</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>אם מספר חיובי מקיים את ההגדרה הראשונה, אז הוא בוודאי מקיים את ההגדרה השניה (משום שכל מחלק משותף של a ו-b מחלק אותו). ההגדרה הראשונה "נקיה" יותר, אבל לשניה יש יתרון ברור: קל מאד להוכיח שהמחלק המשותף הגדול ביותר תמיד קיים (אלא אם a=b=0)<ins class="diffchange diffchange-inline">. ובמברק: "מקסימלי הוא תמיד גדול-ביותר; הצרה היא שלא ברור שיש מקסימלי"</ins>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>בשעור הצגתי את ההגדרה הראשונה, ועצרתי באמצע ההוכחה שהמחלק המשותף המקסימלי קיים. ומסיבה טובה: זו טענה שלא ניתן להוכיח בלי המשפט על צירופים שלמים. הרי המשפט והוכחת קיום המחלק המשותף המקסימלי.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>בשעור הצגתי את ההגדרה הראשונה, ועצרתי באמצע ההוכחה שהמחלק המשותף המקסימלי קיים. ומסיבה טובה: זו טענה שלא ניתן להוכיח בלי המשפט על צירופים שלמים. הרי המשפט והוכחת קיום המחלק המשותף המקסימלי.</div></td></tr>
</table>עוזי ו.https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=15493&oldid=prevעוזי ו.: /* שעור ראשון */2011-11-01T15:07:15Z<p><span dir="auto"><span class="autocomment">שעור ראשון</span></span></p>
<table class='diff diff-contentalign-right'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">גרסה מ־15:07, 1 בנובמבר 2011</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 9:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 9:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>נניח ש-a,b הם שני מספרים (שלמים). הגדרנו שני מושגים *דומים אך שונים*:  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>נניח ש-a,b הם שני מספרים (שלמים). הגדרנו שני מושגים *דומים אך שונים*:  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>* d הוא '''מחלק משותף מקסימלי''' אם המחלקים שלו הם בדיוק המחלקים המשותפים ל-a ול-b (בניסוח אחר, <math>\ x |d \leftrightarrow d|a,b</math>).</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>* d הוא '''מחלק משותף מקסימלי''' אם המחלקים שלו הם בדיוק המחלקים המשותפים ל-a ול-b (בניסוח אחר, <math>\ x |d \leftrightarrow d|a,b</math>).</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>* d הוא '''מחלק משותף גדול ביותר''' אם הוא הגדול ביותר (לגבי יחס הסדר הרגיל) בין כל המחלקים המשותפים.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>* d הוא '''מחלק משותף גדול ביותר''' אם הוא הגדול ביותר (לגבי יחס הסדר הרגיל) בין כל המחלקים המשותפים <ins class="diffchange diffchange-inline">(סימנו ב-D את קבוצת המחלקים המשותפים, כך ש-<math>\ d = \max D</math>)</ins>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>ההגדרה הראשונה אינה תלויה בסימן (כלומר, אם d מקיים אותה, גם d- מקיים אותה). בהגדרה השניה d תמיד חיובי.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>ההגדרה הראשונה אינה תלויה בסימן (כלומר, אם d מקיים אותה, גם d- מקיים אותה). בהגדרה השניה d תמיד חיובי.</div></td></tr>
</table>עוזי ו.https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=15492&oldid=prevעוזי ו.: שעור 12011-11-01T15:06:35Z<p>שעור 1</p>
<p><b>דף חדש</b></p><div>== הנחיות ==<br />
<br />
ראשית, קיראו את ההנחיות ב[[עמוד ראשי|עמוד הראשי]]. דף זה מיועד לשאלות בנוגע לתרגילים - כולל קושיות ותהיות מתמטיות, וגם סוגיות טכניות (לפחות עד שנגְלה את אלה לדף אחר). אנא אל תפתחו כותרות ראשיות שלא לצורך. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:28, 7 באוקטובר 2010 (IST)<br />
<br />
== שעור ראשון ==<br />
<br />
אני מבקש להבהיר את נושא המחלק המשותף המקסימלי, שהשתבש קמעה במהלך השעור.<br />
<br />
נניח ש-a,b הם שני מספרים (שלמים). הגדרנו שני מושגים *דומים אך שונים*: <br />
* d הוא '''מחלק משותף מקסימלי''' אם המחלקים שלו הם בדיוק המחלקים המשותפים ל-a ול-b (בניסוח אחר, <math>\ x |d \leftrightarrow d|a,b</math>).<br />
* d הוא '''מחלק משותף גדול ביותר''' אם הוא הגדול ביותר (לגבי יחס הסדר הרגיל) בין כל המחלקים המשותפים.<br />
<br />
ההגדרה הראשונה אינה תלויה בסימן (כלומר, אם d מקיים אותה, גם d- מקיים אותה). בהגדרה השניה d תמיד חיובי.<br />
<br />
אם מספר חיובי מקיים את ההגדרה הראשונה, אז הוא בוודאי מקיים את ההגדרה השניה (משום שכל מחלק משותף של a ו-b מחלק אותו). ההגדרה הראשונה "נקיה" יותר, אבל לשניה יש יתרון ברור: קל מאד להוכיח שהמחלק המשותף הגדול ביותר תמיד קיים (אלא אם a=b=0).<br />
<br />
בשעור הצגתי את ההגדרה הראשונה, ועצרתי באמצע ההוכחה שהמחלק המשותף המקסימלי קיים. ומסיבה טובה: זו טענה שלא ניתן להוכיח בלי המשפט על צירופים שלמים. הרי המשפט והוכחת קיום המחלק המשותף המקסימלי.<br />
<br />
'''משפט'''. תמיד אפשר להציג את המחלק המשותף הגדול ביותר של a,b כצירוף שלם שלהם. (הוכחנו בכתה באמצעות השוואה בין קבוצת הצירופים השלמים החיוביים לבין קבוצת המחלקים המשותפים).<br />
<br />
'''מסקנה''' (שלא ראינו בכתה). המחלק המשותף המקסימלי תמיד קיים.<br />
<br />
'''הוכחת המסקנה'''. יהי d המחלק המשותף הגדול ביותר של a,b, שלא שניהם אפס. נראה שהוא מחלק משותף מקסימלי. אכן, נניח ש-x מחלק משותף של a ו-b; יש להוכיח שהוא מחלק את d (וידוע רק שהוא קטן-או-שווה ל-d). ובכן, מכיוון ש-x מחלק את a ו-b, הוא מחלק גם כל צירוף שלם שלהם, ולפי המשפט הוא מחלק גם את d.<br />
<br />
'''סיכום'''. מספר חיובי הוא מחלק משותף מקסימלי של a ו-b אם ורק אם הוא מחלק משותף גדול ביותר שלהם. את המחלק המשותף המשותף הזה, מסמנים <math>\ d = (a,b)</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 17:06, 1 בנובמבר 2011 (IST)</div>עוזי ו.