:האם הכיוון <math>\left( \Leftarrow \right)</math> ברור? היזכר בהגדרה של איבר יחידה. אם <math>e</math> הוא איבר היחידה של <math>G</math> הוא בפרט איבר היחידה של <math>H</math> (האם ברור כי <math>e \in H</math>?).
:הכיוון <math>\left( \Rightarrow \right)</math> לא הרבה יותר מסובך. תת־החבורה <math>H</math> מכילה את איבר היחידה של החבורה <math>G</math>, ומהיחידות של איבר היחידה ב-<math>H</math> אם <math>e</math> הוא איבר היחידה ב-<math>H</math>, אז הוא שווה לאיבר היחידה מ-<math>G</math>.
== ניסיון הוכחה של הטענה הבאה: ==
יהי <math>a</math> איבר בחבורה <math>G</math>.
טענה: <math>o(a)=o(a^{-1})</math>.
יתכנו שניי מקרים:
1. הסדר של <math>a</math> סופי
2. הסדר של <math>a</math> אינסופי.
מקרה 1:
כיוון א': נניח שקיים <math>k\in \mathbb{N}</math> כך ש- <math>o(a)=k</math>.
לכן <math>a^k=e</math>.
ואז <math> \left (a^{-1} \right )^k=(a^{k})^{-1}=e^{-1}=e</math>.
אבל לא ידוע האם <math>k</math> הוא החזקה המינימלית של <math>a^{-1}</math>, שכאשר מעלים בה את <math>a^{-1}</math>, מקבלים <math>e</math>.
לכן <math>o(a^{-1})\leq o(a)=k</math>.
עכשיו אם רוצים להראות שהאי שיוויון ההפוך מתקיים, אפשר שוב להשתמש '''באותו <math>k</math>''' ממקודם???
ואז להוכיח באופן הבא:
<math>o(a^{-1})=k</math> לכן <math>(a^{-1})^{}k=e</math>.
ואז <math>\left (a^{k} \right )^{-1}=\left (a^{-1} \right )^{k}=e</math>.
האמת שנראה לי שכאן התבלבלתי קצת...אפשר בקשה לעשות לי סדר בהוכחה, ולהסביר לי למה אפשר לקחת שוב את אותו k???
איך אני מוכיח את הטענה במקרה שמדובר בסדר אינסופי?