שיחה:89-214 סמסטר א' תשעד

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

שאלה 3 בתרגיל בית 1

נניח אני רוצה לבטא את המחלק המשותף המקסימלי של 840,575 כצירוף לינארי שלהם.

בשלב הראשון, אני מוצא את המחלק המשותף המקסימלי ע"י אלגוריתם אוקלידיס באופן הבא:

zz (840,575)=(575,265)=(265,45)=(45,40)=(40,5)=5 zz

המעבר הראשון משמאל לימין, נובע מכך ש: zz 840=575*1+265 zz

המעבר השני משמאל לימין, נובע מכך ש: zz 575=265*2+45 zz

המעבר השלישי משמאל לימין נובע מכך ש: zz 265=45*5+40 zz

המעבר הרביעי משמאל לימין נובע מכך ש: zz 45=40*1+5 zz

המעבר האחרון נובע מכך שהמחלק המשותף המקסימלי של 40 ו-5 הוא 5.

כעת מה שאני רוצה לעשות, זה לבטא את המחלק המשותף המקסימלי של 840,575 שהוא כאמור המספר 5, כצירוף לינארי של 840, 575. כיצד בדיוק אני עושה את זה. ראיתי פתרון בתרגול, אבל השיטה לא ממש מובנת לי. אשמח להסבר מפורט, כיצד בדיוק אני צריך לעשות את זה.

תודה מראש ושבת שלום!

שתי הערות עריכה בויקי: כדאי להשתמש בכותרות (מוסיפים עם מספר של "=" משני הצדדים) וכדאי להשתמש בכתיב מתמטי (הכפתור עם $\sqrt{n}$) כדי להכניס ביטויים מתמטיים.

התשובה לשאלה היא פשוט ליישם את אלגוריתם אוקלידס המורחב. רמז קל: זה גם מה שנדרש בשאלה 1. בקישור יש כמה דוגמאות מפורטות.

הדרך שבה מצאת את המחלק המשותף המקסימלי נכונה, ודרושה להמשך. בכל שלב (מעבר) באלגוריתם אוקלידס אפשר להציג את שארית החלוקה $r$ כצירוף של שני המספרים שמחלקים $r=n-qm$. נתחיל מן השלב האחרון ונתקדם "מעלה":

• בסוף קיבלת כי $5 = 1 \cdot 45 - 1 \cdot 40$.
• נציב את הביטוי ל-$40$ מהשלב אחד לפני האחרון $5 = 1 \cdot 45 - 1 \cdot (265 - 5 \cdot 45)$. אם נצמצם נקבל $5 = -1 \cdot 265 + 6 \cdot 45$.
• כעת מציבים ביטוי עבור $45$ עם $265$ ו-$575$.

כך ממשיכים עד שמגיעים לביטוי עם המספרים המקוריים שעבורם חיפשנו $\mathrm{gcd}$.

אם f | 2c וגם f | 2d האם אני יכול להסיק מכך ש- ( f | (2c,2d  ?

תודה.

כרמז, מה יקרה אם פשוט נסמן $n = 2c$ וגם $m = 2d$? מה יודעים אם $f | n,m$?

מה שיודעים, זה ש-f מחלק כל צירוף לינארי של n ושל m? איך אני יכול להסיק מזה ש-f מחלק את (n,m) ?

לזה בדיוק התכוונתי. לגב מה שאתה מנסה להסיק: ראינו בכיתה תכונה חשובה של ה-$\mathrm{gcd}$. איך אפשר להציג אותו?

אפשר להציג אותו כצירוף לינארי של n ו-m??????????

שאלה 4 סעיף ג'

שתיי שאלות:

1. האם אני יכול לומר שקיים מספר x כך ש- x|a+b וגם x|a-b? אם כן, למה?

2. במידה ואני יכול לטעון את מה שכתבתי בשאלה 1, ובמידה והראיתי ש- x|2d, האם אני יכול לומר ש- zz (a+b,a-b) | 2d zz ? אם כן, למה?

הערת עריכה בויקי: אפשר לייצר רשימה ממוספרת על ידי שימוש בסולמית (#) בתחילת השורה.

1. לא לגמרי הבנתי את השאלה: לכל זוג מספרים הגדרנו את הממ"מ, ובכל מקרה $1$ תמיד מחלק כל מספר. בגלל זה, אפשר להתחיל את הפתרון עם הנחה כמו "יהי $e$ מחלק משותף (לאו דווקא מקסימלי) של $a+b$ ושל $a-b$..."
2. הרמז הוא שאפשר להשתמש בשאלה 4 סעיף ב' כדי לפתור את הסעיף הנוכחי. מה אתה יודע על הסכום וההפרש של $a+b$ ושל $a-b$?

מה שאני יודע שזה ש-$e$ מחלק גם את הסכום שלהם וגם את ההפרש שלהם. כלומר את $2a$ ואת $2b$.

מצוין! מה זה אומר שמתקיים $e|2a,2b$? את מה עוד $e$ מחלק?

את $gcd(2a,2b)$???? למה?

שאלה

אם p מספר ראשוני, שלא מחלק את המספר a, למה נובע מכך ש- 1=(a,p) ? למעשה על מנת להגיד שהמחלק המשותף המקסימלי של a ו-p הוא 1, אני צריך לדעת גם ש-p לא מחלק את a, אבל גם ש-a לא מחלק את p. a לא מחלק את p מהסיבה ש-p ראשוני, ולכן בסה"כ a לא מחלק את P , ו-p לא מחלק את a ולכן המחלק המשותף המקסימלי הוא 1?

זה ההסבר?

יש כאן קצת סלט. קודם כל, רקע: עבור כל $n$ מתקיים $n|n$ וכמו כן $1|n$. כאשר אנחנו מחפשים $\mathrm{gcd}$ צריך למצוא את המספר הטבעי הגדול ביותר שמחלק גם את $p$ וגם את $a$. המספרים הטבעיים היחידים שמחלקים את $p$ הם כידוע רק $1$ ו-$p$. נתון כי $p$ לא מחלק את $a$, כלומר הוא לא מקיים את התנאי שנדרש להיות $\mathrm{gcd}$ שדורש לחלק את $a$. לכן נקבל $(a,p)=1$.

שאלה 6 בתרגיל 1

מה הכוונה למצוא מס' שלם חיובי $x$ כך ש- $17x = 1 (\bmod{53})$

לא ברור לי מה הכוונה ומה המשמעות של ה-$\mod 53$ הזה..

נא להשתמש בכפתור לנוסחאות מתמטיות. המשמעות של $\mod$ הוא לומר כי מדובר במשוואה מודולו $53$. כלומר מבקשים למצוא מספר $x$ כך שאם תכפול אותו ב-$17$ תקבל מספר שבחלוקה ב-$53$ תקבל שארית $1$.

תרגיל 1 שאלה 4 סעיף ב'

אם הוכחתי ש $e\mid ad \wedge ad\mid e$

כאשר:

$d=gcd(b,c)$ ו- $e=gcd(ab,ac)$

האם אני יכול להסיק מכך ש- $e=ad$ וכך לסיים את ההוכחה?

אם לא, איך אני עושה את שאלה 4 ב'?

זה אמור לנבוע מההגדרה של מחלק את: נאמר ש-$a\mid b$ אם קיים $c\in\mathbb{Z}$ כך ש-$ac=b$. חיים רוזנר 12:37, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

אם $a\mid 0$ למה שווה $a$? ואם $0\mid b$, למה שווה $b$?

אם אפשר גם הסבר קצר, זה יועיל.

גם כאן כדאי לחזור להגדרה של מחלק את, המופיעה במענה לשאלה הקודמת. חיים רוזנר 12:43, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

תרגיל 2 שאלה 1 סעיף ב'

אם אני רוצה להראות אסוציאטיביות, אני צריך לקחת 3 מטריצות כלליות מהצורה של איברי הקבוצה שבשאלה?

ואז ממש לעשות את הכפל בין 3 המטריצות, כאשר בפעם הראשונה אני כופל קודם את השתיים השמאליות ובפעם השנייה קודם את השתיים הימניות וצריך

לראות האם אני מקבל אותה תוצאה?

ושאלה שנייה, כשאני בודק אם קבוצה עם פעולה היא חבורה למחצה למשל (או מונויד או חבורה...אחרי הכל אלה מקרים פרטיים של חבורות למחצה), אני צריך לבדוק בבדיקה של האסוציאטיביות, האם התוצאה שאני מקבל היא בקבוצה?

כלומר כשבודקים אסוציאטיביות, לא צריך בין היתר לבדוק שכשאני מכפיל את השניים הראשונים ואז את השלישי, או את הראשון בשניים השניים, אז התוצאה שמתקבלת היא אכן בקבוצה?

לשאלתך הראשוונה: כן. לשאלתך השנייה. בכל מקרה צריך לבדוק שהפעולה סגורה. אל תבלבל את זה עם אסוציאטיביות.

שאלה על תרגיל 1 שאלה אחרונה סעיף ב'

השאלה הולכת כך:

מצאו שלם $a$ כך ש:

$a\equiv 1 (mod 11)$

$a\equiv 2 (mod 3)$

$a\equiv 4 (mod 5)$

כמה שאלות:

1. אני אמור בהתחלה למצוא a רק עבור שתיי משוואות כלשהן מתוך השלוש? לא חשוב איזה שתיי משוואות?

2. נניח אני מוצא פתרון ל-2 המשוואות הראשונות (האמת שאלה לא בדיוק משוואות אני חושב...כי זה לא סימן שווה)

בכל אופן, היות ו-$(11,3)=1$ , אני יכול להשתמש במשפט השאריות הסיני.

מה שאני צריך לעשות, זה למצוא צירוף לינארי של 11 ו-3 כך שיתקבל 1:

לכן $11\cdot (-1)+3\cdot 4=1$ . אגב, המקדמים של 11 ו-3 בצירוף לינארי שנותן 1, הם יחידים?

לכן

$a=11\cdot (-1)\cdot 2+3\cdot 4\cdot 1$

אבל 10- מודולו 11 שווה 1? כמה זה 10- מודולו 11?

וכמה זה 10- מודולו 3?'

אפשר עזרה בשאלה 1 ובשתיי השאלות המודגשות שבשאלה 2?

תרגיל 2 , שאלה 1 סעיף ב'

הראיתי שמתקיימת אסוציאטיביות ושקיים איבר יחידה.

כעת אני רוצה להראות שכל איבר הוא הפיך. על מנת לטעון את זה, אני צריך לדעת שקבוצת המטריצות הזו, היא קבוצה של מטריצות הפיכות.

איך אני מסביר את זה?

האם התנאי של דטרמיננטה שונה מאפס מתקיים כאן? במטריצות $2 \times 2$ די קל למצוא את המטריצה ההופכית. יש לשים לב שלא מספיק לומר כי מטריצה במבנה האלגברי הזה היא הפיכה, שהרי זה רק אומר שיש לה איבר הופכי באוסף של כל המטריצות. יש להראות כי האיבר ההופכי שייך למבנה האלגברי הזה.

תרגיל 2 שאלה 3 סעיף א'

1. האם אני יכול לומר שיש אסוציאטיביות מהסיבה שכפל מטריצות הוא אסוציאטיבי?

או שאני חייב לקחת שלוש מטריצות כלליות מהצורה של המטריצות בקבוצה G, ולהראות שמתקיימת תכונת האסוציאטיביות?

2. כל איבר ב-G הוא מטריצה בעלת דטרמיננטה שונה מאפס (כי זו מטריצה משולשית ולכן הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון, כלומר 1).

לכן לכל מטריצה בקבוצה יש מטריצה הופכית ולכן כל איבר בקבוצה הוא הפיך. מדוע אבל המטריצה ההפוכה של כל אחת מהמטריצות ההפיכות, שייכת גם היא לקבוצה?

איך אפשר להוכיח את זה?

1. מותר להניח (ולכתוב) כי כפל מטריצות הוא אסוציאטיבי, אבל צריך להסביר למה זה מספיק. יש לשים לב כי צריך להראות שהפעולה מוגדרת היטב, וכי כפל של שתי מטריצות מן הקבוצה $G$ אכן שייך לקבוצה $G$. לאחר מכן, אפשר להראות אסוציאטיביות.
2. אתה צודק כי קל לראות שהמטריצות הן הפיכות, ויותר חשוב מכך אתה צודק שזה לא מספיק. העובדה שמטריצה הפיכה רק מספר לנו שיש לה איבר הופכי במונואיד של כל המטריצות (לגבי כפל מטריצות). במקרה של $G$ צריך למצוא את המטריצה ההופכית של מטריצה $A \in G$ ולהראות שהיא מן הצורה של מטריצות ב-$G$. מציאת המטריצה ההופכית היא יחסית קלה כי המטריצות ב-$G$ הן בצורה "נוחה", ואז רואים מה היא צורת המטריצה ההופכית.

תרגיל 2 שאלה 3 סעיף ב'

יש שם שתי חבורות:

$H$ עם הפעולה $*$

$G$ עם הפעולה $\cdot$

$\cdot$ אני משער שזה פעולת הכפל הרגילה.

אבל מה זה $*$? כיצד מוגדרת הפעולה הזו?

(ערכתי את השאלה להוספת סימונים מתמטיים)

קודם כל, ההשערה אינה נכונה, כי אנחנו לא יודעים דבר על איברי $G$. כאשר כתוב למשל $(H,*)$ הכוונה לסימון הרגיל של חבורה שמוגדרת על ידי קבוצת האיברים $H$ והפעולה $*$. כך גם עם $(G,\cdot)$ שבה הכוונה לחבורה כלשהי עם איברים מהקבוצה $G$ והפעולה $\cdot$ שיכולה להיות כל פעולה שמקיימת את הדרישות מפעולה של חבורה.

תרגיל 2 שאלה 4ג'

הטענה אומרת שלכל איבר במונואיד יש הפיך מימין.

זה אומר שלכל איבר a ב-M, קיים b ב-M כך ש-a*b=e?

קצת מבלבל אותי הניסוח של השאלה והניסוח של ההגדרה של איבר הפיך מימין.

אתה צודק לגבי ההגדרה של קיום הפיך מימין לכל איבר: לכל $a \in M$, קיים $b \in M$ כך ש-$a*b=e$. יש להוכיח או להפריך האם במקרה זה $(M,*)$ הוא חבורה. אגב, השאלה הזאת סימטרית לחלוטין לו היינו בוחרים לדבר על הפיך משמאל.

תרגיל 2 שאלה 7

בשאלה 7 א', הראיתי ש-S הוא האיבר האדיש ב-A.

אני חושב שהתכונה הדרושה לכך ש-A תיהיה חבורה אינה מתקיימת. כלומר התכונה שלכל איבר ב-A קיים איבר הפיך לא מתקיימת לדעתי.

איך אני מראה את זה!? אני צריך להצביע על איבר ב-A שהחיתוך שלו עם כל איבר אחר מ-A לא נותן את S?

נניח אני מסתכל על הקבוצה הריקה. למעשה זו הקבוצה היחידה שאני יכול להסתכל עליה כי אני לא מכיר שום איבר ב-A.

החיתוך של הקבוצה הריקה עם כל איבר, הוא הקבוצה הריקה עצמה. ואם הקבוצה הריקה שונה מ-S, אזי לקבוצה הריקה אין איבר הפיך.

אבל איך אני יכול לדעת שהקבוצה הריקה שונה מהקבוצה S????

מצוין. מחלקים למקרים: אם $S$ היא הקבוצה הריקה אנחנו נקבל מקרה די משעמם, כי קבוצת החזקה של הקבוצה הריקה מכילה איבר אחד (הקבוצה הריקה). אחרת, אם $S$ היא לא הקבוצה הריקה, אז מצאת איבר לא הפיך.

תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב'

הפעולה "נקודה" היא פעולת החיתוך מהסעיף הקודם? או שזו פעולת הכפל הרגיל?

הפעולה "נקודה" היא פעולה שאתם צריכים להגדיר. להסתכל על הסעיף הקודם זה רעיון לא רע בכלל.

תרגיל 2 שאלה 2

לא ברור לי מה זה Z2,Z7 ובכלל מה זה Zn. האמת שגם דובר על זה בהרצאה וגם הנושא של מחלקות שקילות הוזכר בעניין הזה וזה ממש לא מובן לי.

אם אפשר הסבר מפורט על זה, ועל מה שצריך להבין בזה, זה מאד יועיל!

חשבון מודולרי הוא חשבון עם פעולות חיבור וכפל מודולו n. אנחנו מגדירים את הקבוצה $\mathbb Z_n$ להיות הקבוצה $\mathbb Z_n=\{0,1,\ldots,n-1\}$. על קבוצה זו אנחנו מגדירים פעולות חיבור וכפל, תחת יחס השקילות מודולו n. יש טענה האומרת שהחיבור והכפל האלה מוגדרים היטב. עבור כל n, מתקיים ש-$(\mathbb Z_n,+)$ היא חבורה, וש-$(\mathbb Z_n,\cdot)$ הוא מונואיד. משפט שמוכיחים בתחילת אלגברה לינארית קובע שעבור p ראשוני, $\mathbb Z_p$ הוא שדה; ובניסוח אחר, המונואיד $(\mathbb Z_n \setminus \{0\},\cdot)$ הוא חבורה.

השקילות שעליה דברנו היא השקילות מודולו n, הקובעת ששני מספרים שלמים a ו-b הם שקולים אם מתקיים $n \mid a-b$. חיים רוזנר (שיחה)

תרגיל 3, שאלה 1

מהי הפעולה עבור החבורות U9 ו U12 ?

הפעולה היא כפל מודולו n. אנחנו הגדרנו אותן כחבורת ההפיכים במונואיד הכפלי Zn. חיים רוזנר (שיחה) 12:01, 12 בנובמבר 2013 (EST)

שאלה לגבי תרגיל בית מס' 4, שאלה 4

רציתי הבהרה לגבי שאלה 4 בתרגיל 4, ובכלל, באופן כללי: בסעיף 1 נדרשתי להראות ש-G כפי שהוגדרה שם היא חבורה. האם מותר לי להשתמש בקריטריון המקוצר כדי להראות ש-G היא תת חבורה של $GL_3(\mathbb{Z}_3)$ ובזה הוכחתי שהיא חבורה, או שמא אני צריך להראות את כל 4 האקסיומות, כי הדרישה היא להראות ש-G חבורה ולא תת חבורה?

לפי הגדרה, תת־חבורה היא חבורה בעצמה (לגבי הפעולה המצומצמת). לכן אם אתה מראה כי אוסף מטריצות כלשהו הוא תת־חבורה של $GL_3(\mathbb{Z}_3)$, הוכחת כי הוא חבורה לגבי כפל מטריצות. כדי להוכיח שמשהו הוא תת־חבורה מותר להשתמש בקריטריון המקוצר.