שימור תנע קווי

ניוטון הגדיר את התנע כוקטור השווה למכפלת המסה במהירות, או בסימון מתמטי: [math]\displaystyle{ \vec p=m\vec v }[/math],

כאשר [math]\displaystyle{ m }[/math] היא המסה ו [math]\displaystyle{ \vec v }[/math] הוא וקטור המהירות. חוק שימור התנע קובע כי במערכת סגורה (מערכת בה לא פועלים כוחות חיצוניים) נשמר התנע הכולל:

[math]\displaystyle{ \sum_i m_i \cdot \vec v_i(t) = const }[/math].

בניסוי זה נוכיח את חוק שימור התנע בשני ממדים באופן ניסיוני.

רקע תיאורטי

חוק שימור התנע הוא חוק וקטורי אשר מתקיים לכל אחד מן הצירים בנפרד. לכן ניתן לחלק את הבעיה לשני צירים מאונכים ולפתור עבור כל ציר בנפרד. ניתן לבחון את חוק שימור התנע באמצעות התנגשויות.

התנגשות אלסטית

התנגשות שאין בה איבוד אנרגיה קינטית לטובת חום כתוצאה מהמפגש בין המסות, נקראת התנגשות אלסטית. שתי המשוואות המתארות התנגשות זו הן משוואת אנרגיה ותנע.

כאשר שתי מסות [math]\displaystyle{ m_1, m_2 }[/math] מתנגשות במהירויות [math]\displaystyle{ v_1, v_2 }[/math] בהתאמה. נקבל משוואת שימור תנע: [math]\displaystyle{ m_1 \vec v_1+m_2 \vec v_2=m_1 \vec u_1+m_2 \vec u_2 }[/math] ,

כאשר [math]\displaystyle{ u_1, u_2 }[/math] הן המהירויות של המסות לאחר ההתנגשות.

בנוסף כיוון שההתנגשות אלסטית נקבל גם משוואת שימור אנרגיה: [math]\displaystyle{ \frac {1}{2}m_1 {\vec v_1}^2+\frac {1}{2}m_2 {\vec v_2}^2=\frac {1}{2}m_1 {\vec u_1}^2+\frac {1}{2}m_2 {\vec u_2}^2 }[/math]

התנגשות פלסטית

התנגשות שבה המסות המתנגשות נצמדות זו לזו, נקראת התנגשות פלסטית. עקב ההתנגשות יש איבוד אנרגיה לטובת חום, ולכן האנרגיה הקינטית לא נשמרת. שימור התנע מתקיים.

שתי ההתנגשויות שתוארו להלן הן שתי הקצוות של הסקאלה. יכולה להיות התנגשות שאיבוד החום בה קטן ולכן היא בקרוב אלסטית או ההפך. בניסוי שלהלן ההתנגשויות הן אלסטיות (בקירוב טוב). כלומר, יש איבוד קטן יחסית של אנרגיה לטובת חום כאשר הכדורים מתנגשים.

מערכת הניסוי

איור 1 - מערכת הניסוי

המערכת מורכבת ממסלול שיגור לכדור הפגיעה הבנוי כמסילה משופעת שבסופה חלק אופקי, ראו איור 1. בקצה המסילה ישנה תושבת לכדור נוסף (כדור המטרה), כאשר ההתנגשות בין הכדורים מתרחשת במישור האופקי בלבד. מסלול השיגור מורכב על השולחן, כאשר על הרצפה מונח גיליון נייר ונייר פחם. מנקודת השיגור ישתלשל חוט עם משקולת, שבעזרתם ניתן יהיה לסמן על גיליון הנייר את ראשית הצירים היא נקודת ההתנגשות. נתונים שני סוגי כדורים, כדור מתכת וכדור זכוכית השונים זה מזה במסות שלהם.

מהלך הניסוי

שחררו גולת מתכת אחת, עקבו אחר תנועתה. בדקו היכן היא פוגעת ברצפה, בעזרת זיהוי מקום הפגיעה על גליון הנייר. חזרו על הניסוי מספר פעמים עד לקבלת מקבץ מאפיין. שרטטו חץ שתחילתו בעקב האנך וסופו במרכז המקבץ, ומדוד את אורכו.

• חשב את רכיב התנע האופקי של הכדור באמצעות אורך החץ הנ"ל. בחישוב יש צורך בידיעת גובה הכדור בזמן בו הוא עוזב את המסילה.

התנגשות מצחית בין מסות שוות

הניחו גולה נוספת בקצה מסולו השיגור כך שתיווצר פגיעה מצחית, ראו איור 2. שחררו גולה זהה מראש המסילה. בצעו זאת מספר פעמים לקבלת מקבץ מאפיין. הקפידו לשחרר את הגולה כל פעם מאותה נקודה.

• היכן נמצאת כל גולה לאחר פגיעתה ברצפה? הסבירו! סמנו חצים ובדקו את הרכיב האופקי של התנע עבור כל גולה.

• האם רכיב התנע האופקי נשמר? הסבירו.
• האם ההתנגשות היא אלסטית? הוכיחו!

התנגשות דו ממדית בין מסות שוות

הניחו את הגולה בקצה מסלול השיגור אולם הפעם סובבו את התושבת כך שהפגיעה לא תהיה מצחית. עקבו אחר תנועת כל אחת מהגולות. חזרו על הניסוי לקבלת מקבץ נקודות מאפיין.

שרטטו את הוקטורים המייצגים את התנע של כל כדור לפני, ואחרי ההתנגשות. והראו האם חוק שימור התנע מתקיים. האם ההתנגשות היא אלסטית? הראו.

בצע ניסוי זה בשלוש זוויות פגיעה שונות.

התנגשות מצחית בין מסות שונות

מדדו את היחס בין המסות של שתי הגולות (מתכת וזכוכית). העמידו את כדור הזכוכית על התושבת, ושחררו את כדור הפלדה מראש המסלול. סמנו על גליון הנייר את מקום הפגיעה של כל אחד מהכדורים וחזרו על הניסוי לקבלת מקבץ.

בדקו את חוק שימור התנע. האם ההתנגשות היא אלסטית גם במקרה זה? הראו.

• מה יקרה אם כדור הברזל יעמוד על התושבת ואילו הזכוכית ישוחרר מראש המסלול? בדקו את תשובתכם בניסוי.

התנגשות דו ממדית בין מסות שונות

הניחו את גולת הזכוכית על הכן והפעם דאגו שהפגיעה לא תהיה מצחית. עקבו אחר תנועת כל אחת מהגולות. חזרו על הניסוי לקבלת מקבץ נקודות מתאים. שרטטו את הווקטורים המייצגים את התנע של כל כדור לפני, ואחרי ההתנגשות. האם חוק שימור התנע מתקיים? הראו!

• האם ההתנגשות היא אלסטית? הראו!

שאלות לדיון

1. על הכדורים הנופלים פועל כח חיצוני – הגרביטציה. איך בכל זאת מראים בניסוי זה שימור תנע?

2. האם מותר להשתמש בנוסחא [math]\displaystyle{ v=\sqrt{2gh} }[/math] כדי לחשב את המהירות בקצה המסילה של הכדור המתגלגל? כאשר [math]\displaystyle{ h }[/math] הוא הגובה ממנו שוחרר הכדור.

3. מה היה משתנה בניסוי, אילו המערכת היתה מוצבת בירח?

4. הראו באופן תיאורטי מדוע הזווית בין הכיוונים המיצגים את מהירויות הכדורים לאחר ההתנגשות היא ישרה כאשר מסת הכדורים שווה, ולעומת זאת כאשר המסה שונה הזווית תהיה חדה.

5. אם היינו מבצעים מספר רב של התנגשויות בין מסות שוות, כאשר כל פעם משנים את זוית הפגיעה בין הכדורים, מהו המיקום הגיאומטרי של כל נקודות הפגיעה? הסבירו.