הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג"

גרסה מ־19:54, 29 באפריל 2013

להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:

$\vec r, \vec v, \vec a, m$ הן המיקום, המהירות, התאוצה והמסה כפונקציה של הזמן $t$ בהתאמה.
לכל פונקציה $f$ של הזמן נסמן $f_0=f(0)$ ערך הפונקציה בזמן ההתחלה.
לכל וקטור $\vec u$ נסמן כ־ $u=|\vec u|$ את גודלו וכ־ $\hat u=\sgn(\vec u)$ את כיוונו.

הקדמה

יחידות

זמן – שנייה: $\mathrm s$
מרחק – מטר: $\mathrm m$
מסה – קילוגרם: $\mathrm{kg}$
כוח – ניוטון: $\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}$
אנרגיה – ג׳אול: $\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}$
תדירות – הרץ: $\mathrm{Hz=s^{-1}}$

קבועים

גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א: $g\approx9.8\mathrm\frac ms$

תזכורות ונוסחאות

מכפלה וקטורית: $\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}$
גרדיאנט: $\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z$
דיברגנץ: $\nabla\cdot F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz}$
רוטור/קרל: $\nabla\times F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z$
לפלסיאן: $\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

קואורדינטות

עבור $x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:

מ־↓ ל־←	קרטזיות	גליליות	כדוריות
קרטזיות		$\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}$	$\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}$
גליליות	$\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}$		$\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}$
כדוריות	$\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}$	$\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}$

כאשר $\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ ו־ $\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}$ .

כמו כן, $\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\rho\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\theta$ .

קינמטיקה

$\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v$ .
התדירות הזוויתית: $\omega:=\dot\theta$ .
התנע: $\vec p=m\vec v$ .
תנועה במהירות קבועה: $\vec v(t)\equiv\vec v_0$ . אזי $\vec r=\vec v_0t+\vec r_0$ .
תנועה בתאוצה קבועה: $\vec a(t)\equiv\vec a_0$ . אזי $\vec v=\vec a_0t+\vec v_0$ ו־ $\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v_0t+\vec r_0$ .
תנועה בגודל מהירות קבוע: $|\vec v|\equiv\text{const.}$ . זה קורה אם״ם $\vec a\perp\vec v$ .
תנועה כללית במעגל: אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור $xy$ שרדיוסו $R$ אזי $\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}$ , $\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}$ , ו־ $\vec a=\vec a_R+\vec a_T$ כאשר $\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r$ נקראת התאוצה הרדיאלית והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־ $\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v$ נקראת התאוצה הטנגנטית/משיקית והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן $\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z$ נקבל $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ ו־ $\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r$ .

תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־ $\omega(t)\equiv\text{const.}$ . לכן $\theta=\omega t+\theta_0$ ו־ $\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R$ . התאוצה נקראת צנטריפטלית.

התדירות מוגדרת כ־ $f:=\frac\omega{2\pi}$ .
זמן המחזור מוגדר כ־ $T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega$ .

מכניקה

חוקי התנועה של ניוטון

גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: $\vec v\equiv\text{const.}$ .
גוף שמסתו $m$ ופועל עליו כוח $\vec F=\dot\vec p$ .
אם גוף 1 מפעיל כוח $\vec F_{21}$ על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח $\vec F_{12}=-\vec F_{21}$ על גוף 1.

כוחות נפוצים

כוח אלסטי: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה $\vec r_\text{loose}$ במצב רפוי ובנקודה $\vec r$ בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח $\vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose})$ כאשר $k>0$ הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־ $\Delta x$ השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.

מתנד (אוסצילטור) הרמוני: מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו.
דוגמה: אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־ $x$ וש־ $x_0=0$ היא הנקודה בה הקפיץ רפוי אזי משוואת הכוחות בציר ה־ $x$ על הגוף תהא $F_x=-kx=m\ddot x$ ולכן $x(t)=A\sin(\omega t+\phi)$ כש־ $m$ מסת הגוף, $\omega=\sqrt\frac km$ , $A$ היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת $\phi$ ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.

כוח מתיחות: בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני כוח $\vec T=-T\hat\mathbf n$ כאשר $\hat\mathbf n$ וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־ $T$ גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
כוח נורמלי: משטח מפעיל כוח $\vec N$ על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
כוח הכובד: בקרבת כדה״א מופעל כוח הגרביטציה $-mg\hat\mathbf z$ כאשר $m$ מסת הגוף ו־ $\hat\mathbf z$ וקטור יחידה בכיוון מעלה.

חוקי השימור

תהא מערכת ובה הגופים $1,2,\dots,n$ . נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף $i$ כ־ $\vec F_{ie}$ . מסת הגוף $i$ מסומנת $m_i$ , מיקומו $\vec r_i$ והתנע שלו – $\vec p_i$ .

המסה הכוללת של המערכת מוגדרת כ־ $M:=\sum_{i=1}^n m_i$ .
מרכז המסה של המערכת מוגדר כ־ $\vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M$ .
התנע הכולל של המערכת מוגדר כ־ $\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i$ . אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־ $M\dot\vec R$ .
לפי החוק השלישי של ניוטון $\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\dot\vec p_i=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}$ .
חוק שימור התנע: אם שקול הכוחות החיצוניים הוא $\vec 0$ אז $\dot\vec p=0$ , כלומר התנע הכולל קבוע.

אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
-* <math>\vec r, \vec v, \vec a</math> פונקציות המיקום, המהירות והתאוצה כפונקציה של הזמן <math>t</math> בהתאמה.
+* <math>\vec r, \vec v, \vec a, m</math> הן המיקום, המהירות, התאוצה והמסה כפונקציה של הזמן <math>t</math> בהתאמה.
 * לכל פונקציה <math>f</math> של הזמן נסמן <math>f_0=f(0)</math> ערך הפונקציה בזמן ההתחלה.
-* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=\left|\vec u\right|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn\!\left(\vec u\right)</math> את כיוונו.
+* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
 == הקדמה ==
@@ שורה 52: / שורה 52: @@
 == קינמטיקה ==
-* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v\ \and\ \omega=\dot\theta</math>.
+* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
+* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
+* '''התנע:''' <math>\vec p=m\vec v</math>.
 * '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\vec v_0</math>. אזי <math>\vec r=\vec v_0t+\vec r_0</math>.
 * '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\vec a_0</math>. אזי <math>\vec v=\vec a_0t+\vec v_0</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v_0t+\vec r_0</math>.
@@ שורה 60: / שורה 62: @@
 ::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
 ::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.
+== מכניקה ==
+=== חוקי התנועה של ניוטון ===
+# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
+# גוף שמסתו <math>m</math> ופועל עליו כוח <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
+# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.
+=== כוחות נפוצים ===
+* '''כוח אלסטי:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_\text{loose}</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח <math>\vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose})</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta x</math> השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
+:* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו.
+:* {{הערה|דוגמה:}} אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> וש־<math>x_0=0</math> היא הנקודה בה הקפיץ רפוי אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, <math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
+* '''כוח מתיחות:''' בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני כוח <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
+* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל כוח <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
+* '''כוח הכובד:''' בקרבת כדה״א מופעל כוח הגרביטציה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה.
+=== חוקי השימור ===
+תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>. מסת הגוף <math>i</math> מסומנת <math>m_i</math>, מיקומו <math>\vec r_i</math> והתנע שלו – <math>\vec p_i</math>.
+* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
+* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M</math>.
+* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
+* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\dot\vec p_i=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
+* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
+:* אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).

הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג"

גרסה מ־19:54, 29 באפריל 2013

תוכן עניינים

הקדמה

יחידות

קבועים

תזכורות ונוסחאות

קואורדינטות

קינמטיקה

מכניקה

חוקי התנועה של ניוטון

כוחות נפוצים

חוקי השימור

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים