תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

הקדמה

יחידות

• זמן – שנייה: $\mathrm s$
• מרחק – מטר: $\mathrm m$
• מסה – קילוגרם: $\mathrm{kg}$
• כוח – ניוטון: $\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}$
• אנרגיה – ג׳אול: $\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}$

תזכורות ונוסחאות

• מכפלה וקטורית:
  $\begin{align}\mathbf u\times\mathbf v&:=(u_yv_z-u_zv_y)\hat\mathbf x+(u_zv_x-u_xv_z)\hat\mathbf y+(u_xv_y-u_yv_x)\hat\mathbf z\\&\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}\end{align}$
• גרדיאנט: $\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z$
• דיברגנץ: $\nabla\cdot F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz}$
• רוטור/קרל: $\nabla\times F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z$
• לפלסיאן: $\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

קואורדינטות

עבור $r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \varphi\in(-\pi,\pi]\ \and\ \theta\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$:

מ־↓ ל־←	קרטזיות	גליליות	כדוריות
קרטזיות		$\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2}\\\varphi=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}$	$\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\varphi=\mbox{atan2}(y,x)\\\theta=\arccos(z/\rho)\end{array}$
גליליות	$\begin{array}{l} x=r\cos(\varphi)\\y=r\sin(\varphi)\\z=z\end{array}$		$\begin{array}{l} \rho=\sqrt{r^2+z^2}\\\varphi=\varphi\\\theta=\arctan(r/z)\end{array}$
כדוריות	$\begin{array}{l} x=\rho\sin(\theta)\cos(\varphi)\\y=\rho\sin(\theta)\sin(\varphi)\\z=\rho\cos(\theta)\end{array}$	$\begin{array}{l} r=\rho\sin(\theta)\\\varphi=\varphi\\z=\rho\cos(\theta)\end{array}$

כאשר $\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ ו־$\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}$.

כמו כן, $\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=r\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm dz=\rho^2\sin(\theta)\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm d\varphi$.