הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג"

גרסה מ־16:29, 28 באפריל 2013

להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:

$\vec r, \vec v, \vec a$ פונקציות המיקום, המהירות והתאוצה כפונקציה של הזמן $t$ בהתאמה.
לכל פונקציה $f$ של הזמן נסמן $f_0=f(0)$ ערך הפונקציה בזמן ההתחלה.
לכל וקטור $\vec u$ נסמן כ־ $u=\left|\vec u\right|$ את גודלו וכ־ $\hat u=\sgn\!\left(\vec u\right)$ את כיוונו.

הקדמה

יחידות

זמן – שנייה: $\mathrm s$
מרחק – מטר: $\mathrm m$
מסה – קילוגרם: $\mathrm{kg}$
כוח – ניוטון: $\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}$
אנרגיה – ג׳אול: $\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}$
תדירות – הרץ: $\mathrm{Hz=s^{-1}}$

קבועים

גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א: $g\approx9.8\mathrm\frac ms$

תזכורות ונוסחאות

מכפלה וקטורית: $\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}$
גרדיאנט: $\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z$
דיברגנץ: $\nabla\cdot F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz}$
רוטור/קרל: $\nabla\times F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z$
לפלסיאן: $\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

קואורדינטות

עבור $x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:

מ־↓ ל־←	קרטזיות	גליליות	כדוריות
קרטזיות		$\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}$	$\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}$
גליליות	$\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}$		$\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}$
כדוריות	$\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}$	$\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}$

כאשר $\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ ו־ $\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}$ .

כמו כן, $\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\rho\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\theta$ .

קינמטיקה

$\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v\ \and\ \omega=\dot\theta$ .
תנועה במהירות קבועה: $\vec v(t)\equiv\vec v_0$ . אזי $\vec r=\vec v_0t+\vec r_0$ .
תנועה בתאוצה קבועה: $\vec a(t)\equiv\vec a_0$ . אזי $\vec v=\vec a_0t+\vec v_0$ ו־ $\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v_0t+\vec r_0$ .
תנועה בגודל מהירות קבוע: $|\vec v|\equiv\text{const.}$ . זה קורה אם״ם $\vec a\perp\vec v$ .
תנועה כללית במעגל: אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור $xy$ שרדיוסו $R$ אזי $\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}$ , $\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}$ , ו־ $\vec a=\vec a_R+\vec a_T$ כאשר $\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r$ נקראת התאוצה הרדיאלית והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־ $\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v$ נקראת התאוצה הטנגנטית/משיקית והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן $\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z$ נקבל $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ ו־ $\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r$ .

תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־ $\omega(t)\equiv\text{const.}$ . לכן $\theta=\omega t+\theta_0$ ו־ $\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R$ . התאוצה נקראת צנטריפטלית.

התדירות מוגדרת כ־ $f:=\frac\omega{2\pi}$ .
זמן המחזור מוגדר כ־ $T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega$ .

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
+* <math>\vec r, \vec v, \vec a</math> פונקציות המיקום, המהירות והתאוצה כפונקציה של הזמן <math>t</math> בהתאמה.
+* לכל פונקציה <math>f</math> של הזמן נסמן <math>f_0=f(0)</math> ערך הפונקציה בזמן ההתחלה.
+* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=\left|\vec u\right|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn\!\left(\vec u\right)</math> את כיוונו.
 == הקדמה ==
 === יחידות ===
@@ שורה 6: / שורה 11: @@
 * '''כוח – ניוטון:''' <math>\mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}}</math>
 * '''אנרגיה – ג׳אול:''' <math>\mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m}</math>
+* '''תדירות – הרץ:''' <math>\mathrm{Hz=s^{-1}}</math>
+=== קבועים ===
+* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac ms</math>
 === תזכורות ונוסחאות ===
-* '''מכפלה וקטורית:''' {{left|<math>\begin{align}\mathbf u\times\mathbf v&:=(u_yv_z-u_zv_y)\hat\mathbf x+(u_zv_x-u_xv_z)\hat\mathbf y+(u_xv_y-u_yv_x)\hat\mathbf z\\&\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}\end{align}</math>}}
+* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
 * '''גרדיאנט:''' <math>\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z</math>
 * '''דיברגנץ:''' <math>\nabla\cdot F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz}</math>
@@ שורה 15: / שורה 24: @@
 === קואורדינטות ===
-עבור <math>r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \varphi\in(-\pi,\pi]\ \and\ \theta\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math>:
+עבור <math>x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:
 {| border="1" class="wikitable"
 |-
@@ שורה 24: / שורה 33: @@
 |- align="left"
 ! קרטזיות
 |
-| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2}\\\varphi=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
+| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}</math>
-| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\varphi=\mbox{atan2}(y,x)\\\theta=\arccos(z/\rho)\end{array}</math>
+| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array}</math>
 |- align="left"
 ! גליליות
-| <math>\begin{array}{l} x=r\cos(\varphi)\\y=r\sin(\varphi)\\z=z\end{array}</math>
+| <math>\begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array}</math>
 |
-| <math>\begin{array}{l} \rho=\sqrt{r^2+z^2}\\\varphi=\varphi\\\theta=\arctan(r/z)\end{array}</math>
+| <math>\begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array}</math>
 |- align="left"
 ! כדוריות
-| <math>\begin{array}{l} x=\rho\sin(\theta)\cos(\varphi)\\y=\rho\sin(\theta)\sin(\varphi)\\z=\rho\cos(\theta)\end{array}</math>
+| <math>\begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
-| <math>\begin{array}{l} r=\rho\sin(\theta)\\\varphi=\varphi\\z=\rho\cos(\theta)\end{array}</math>
+| <math>\begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array}</math>
 |
 |}
 כאשר <math>\mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> ו־<math>\mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x>0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x<0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases}</math>.
-כמו כן, <math>\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=r\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm dz=\rho^2\sin(\theta)\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm d\varphi</math>.
+כמו כן, <math>\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\rho\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\theta</math>.
+== קינמטיקה ==
+* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v\ \and\ \omega=\dot\theta</math>.
+* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\vec v_0</math>. אזי <math>\vec r=\vec v_0t+\vec r_0</math>.
+* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\vec a_0</math>. אזי <math>\vec v=\vec a_0t+\vec v_0</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v_0t+\vec r_0</math>.
+* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
+* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
+:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta_0</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
+::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
+::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג"

גרסה מ־16:29, 28 באפריל 2013

תוכן עניינים

הקדמה

יחידות

קבועים

תזכורות ונוסחאות

קואורדינטות

קינמטיקה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים